Метод неопределенных множителей Лагранжа

Пусть задача состоит в отыскании плана X, доставляющего экстремальное значение целевой функции
max(min): Z = z(X) (5.1)
при ограничениях
qi(X) = bi, i = 1..m (5.2)
Будем считать, что функции (5.1) – (5.2) непрерывны и дважды дифференцируемые по своим аргументам. Как можно решить такую задачу условной оптимизации? Рассмотрим случай, когда число переменных равно двум и число ограничений – одному:
max(min): Z = z(x1,x2), (5.3)
q(x1,x2) = b. (5.4)
Выразим переменную x 2 в уравнении (5.4), получим выражение
x2 = φ(x1). (5.5)
Подставим его в целевую функцию (5.3). Получим
Z = z(x1, φ(x1)) (5.6)
как неявную функцию от переменной x 1. Необходимым условием существования экстремума функции (5.6), включающей исходное ограничение (5.4), является условие
(5.7)
или . (5.8)
Продифференцируем (5.4) по x 1 как неявную функцию

Так как x2 = φ(x1), имеем
(5.9)
Подставим (5.9) в (5.8), получим
(5.10)
Обозначив (5.11)
получим из (5.10), (5.11), (5.4) систему уравнений:
(5.12)

Система уравнений (5.12) есть необходимое условие существования условного локального экстремума задачи (5.3) – (5.4). Решив систему (5.12) с неизвестными x1, x2 и λ найдем все точки X* подозрительные на экстремум. Систему (5.12) необходимых условий определения подозрительных точек на экстремум X* можно получить формальным путем. Составим вспомогательную функцию L(X, λ)=z(x1,x2)+λ[ b- q( x1, x2)]. Она называется функцией Лагранжа, а λ – неопределенным множителем Лагранжа. Если в ней считать x1, x2 и λ независимыми переменными, найти частные производные по x1, x2 и λ и приравнять их к нулю, то получим систему (5.12).
Для задачи в общем виде (5.1) – (5.2) функция Лагранжа будет иметь вид:

где
Исходная задача (5.1) – (5.2) отыскания условного экстремума заменяется задачей отыскания безусловного экстремума функции Лагранжа L(X, λ), которая может быть решена через систему уравнений:

(5.13)(5.14)

Условия (5.13) – (5.14) необходимы для экстремума задачи (5.1) – (5.2), т.е. каждая точка X * задачи (5.1) – (5.2) является решением условий (5.13) – (5.14). Однако условия (5.13) – (5.14) не являются достаточными, т.е. не обязательно, чтобы любое решение системы (5.13) – (5.14) доставляло экстремальное значение функции (5.1).
Пример 5.1. Исследовать точки на экстремум x 1+ x 2=1
Составим функцию Лагранжа

Составим необходимые условия существования экстремума

Решим систему уравнений

а т.к.

то тогда

Значение целевой


Чтобы оценить, является ли точка экстремальной и какой экстремум она дает, обратимся к достаточному условию существования экстремума функции двух переменных (условию Лежандра-Клебша.
Составим определитель


Рис. 5.2 - Графическое решение
Так как и Δ>0, то в точке X*(½; ½) функция Z достигает минимальное значение. Графическое решение (рис. 5.2) показывает, что максимальное значение Zmax=1 достигается в точках (x1=1; x2=0) и (x1=0; x2=1) Таким образом, если бы исходная задача в примере ставилась бы на отыскание максимума, то с помощью решения системы уравнений необходимых условий существования экстремума мы точку максимума бы не определили. Требуется иной подход, который рассмотрим ниже в других разделах.

Перейти к онлайн решению

загрузка...