Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Назначение. Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Решение оформляется в формате Word (см. пример). Если необходимо найти уравнение касательной к кривой (y = f(x)), то необходимо использовать данный сервис.
Функция задана в явном виде z = f(x,y)
Написать уравнения касательной к поверхности z = в точке M0(;)

Функция задана в неявном виде f(x,y,z)
Написать уравнения касательной к поверхности F(x,y,z) = в точке M(;;).
Дополнительно находить уравнение нормали

Правила ввода функций:
  1. Все математические операции выражаются через общепринятые символы (+,-,*,/,^). Например, x2+xy, записываем как x^2+x*y.
  2. Корень квадратный: sqrt. Например, sqrt(x^2+1/2*y^2), arcsin(x) = asin(x), ex = exp(x), число π = pi.

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М0.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y), в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид:

z – z0 = f’x(x0,y0)(x – x0) + f’y(x0,y0)(y – y0)

Вектор называется вектором нормали к поверхности σ в точке М0. Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости.
Нормалью к поверхности σ в точке М0 называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая направление вектора N.
Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y), в точке M0(x0,y0,z0), где z0 = f(x0,y0), имеют вид:
Уравнение нормали к поверхности

Пример №1. Поверхность задана уравнением x3+5y. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z - z0 = f'x(x0,y0,z0)(x - x0) + f'y(x0,y0,z0)(y - y0)
По условию задачи x0 = 0, y0 = 1, тогда z0 = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y:
f'x(x,y) = (x3+5•y)'x = 3•x2
f'x(x,y) = (x3+5•y)'y = 5

В точке М0(0,1) значения частных производных:
f'x(0;1) = 0
f'y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) или -5•y+z = 0

Пример №2. Поверхность задана неявным образом y2-1/2*x3-8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:

Для нашей функции:

Тогда:

В точке М0(1,0,1) значения частных производных:
f'x(1;0;1) = -3/16
f'y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z - 1 = -3/16(x - 1) + 0(y - 0) или 3/16•x+z-19/16 = 0

загрузка...