Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Теория игр Решение интегралов Пределы онлайн
Деление столбиком онлайн Транспортная задача Двойственная задача
Графический метод онлайн Производная онлайн Симплекс-метод

Анализ эффективности оптимального решения задачи графическим методом

Предприятие выпускает два вида продукции (A и B), используя при этом три вида ресурсов. Известны объемы каждого вида ресурсов (bi, i=1,2,3), доход от реализации единицы продукции каждого вида (cj, j=1,2), а также нормы расхода ресурсов на изготовление единицы продукции каждого вида (aij, i=1,2,3, j=1,2). Определить план выпуска продукции, максимизирующий суммарный доход. Решение.
1. Геометрический метод позволил получить статическую область допустимых решений, представленную на рис. 1.7. Рассмотрим, как влияет на оптимальное решение изменение запасов ресурсов А и В и соотношения в производстве красок.
2. Оптимальное решение задачи получено в точке Е. Эта точка образована пересечением прямых, соответствующих ресурсам (1) и (2). Следовательно, ресурсы (1) и (2) - дефицитные ресурсы, а ресурсы (3) - (6) - недефицитные, так как они имеются в избытке.
3. Для дефицитных ресурсов определим предельно допустимое увеличение запасов, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение.
4. В рассматриваемой задаче используемые запасы сырья А и В являются дефицитными ресурсами (1) и (2), поэтому последовательно рассмотрим сначала увеличение запасов сырья А (ресурса 1). На рис. 1.10 видно, что при увеличении запаса этого ресурса прямая (1) перемещается вверх параллельно самой себе.
При этом треугольник DKE стягивается в точку К. В этом случае, областью допустимых решений становится многоугольник ABCKF, а оптимальному решению соответствует точка К. Ограничения (2) и (4) становятся связующими. В точке К ограничение (1) становится избыточным, поскольку любое дальнейшее увеличение запаса ресурса А не влияет ни на область допустимых решений, ни на оптимальное решение.

5. Для определения координат точки К решим систему уравнений (2) и (4)
xн +0,5xв = 4
xв = 2
Решение этой системы : xв = 2 и xн = 3, т.е. К(3;2).
6. Подстановка координат точки К(3; 2) в левую часть ограничения (1) определяется максимально допустимый запас ресурса А: R1(K) = 0,5xн + хв= 0,5·3 + 2 = 3,5 (т)
7. Определим предельное увеличение запаса ресурса А: ΔR1 = R1(K) – R1 исходное = 3,5 - 3 = 0,5 (т)
8. Новое оптимальное значение целевой функции будет равно: Fmax(K) = 2·3 + 3·2=12 (тыс. руб.).
9. Увеличение функции цели составит: ΔF(K) = Fmax(K) - Fmax исходное =
10. Коэффициент эффективности сырья А (ресурса 1) составит Е1 = ΔF(K)/ΔR1= .
11. Аналогично решается задача о целесообразности увеличения запасов дефицитного ресурса (2) (сырья В) в соответствующем ограничении (2) (рис. 1.11).
12. Новым оптимальным решением слановится точка L, где пересекаются прямые (1) и (6), т. е. 0,5xн + xв = 3 и xв = 0,5. Очевидно, ее координаты xн = 5 и xв = 0,5, причем запас сырья В можно увеличить до значения, равного ΔR2 = R2(L) - R2 исходное = (xн+ 0,5xв) - R2 = (5 +0,5·0,5) - 4 = 5,25 - 4 = 1,25 (т), т. е. на 1,25 т,

13. Новое оптимальное значение целевой функции в точке L будет равно: Fmax(L) = 2 · 5 + 3 · 0,5 = 11,5 (тыс. руб.). Увеличение функ ции цели составит: ΔF(L) = Fmax(L) – Fmaxисходное=
14. Коэффициент эффективности сырья В (ресурса 2) составит

На основе полученных данных можно сделать вывод о том, что дополнительные вложения (инвестиции) следует направить прежде всего на увеличение ресурса (1) (сырье А) , а затем – ресурса (2) .
15. Для недефицитных ресурсов определим излишки недефицитных ресурсов (возможность снижения запасов недефицитных ресурсов, т. е. решим задачу об уменьшении правой части несвязанных ограничений).
Ограничение (4) xв ≤ 2 задает уровень спроса на краску для внутренних работ. На рис. 1.12 видно, что прямую CD (4) можно опускать параллельно вниз до точки оптимума Е с координатами (; ), не изменяя оптимального решения. Таким образом, при уменьшении спроса на краску для внутренних работ до величины оптимальность полученного ранее решения сохраняется. Излишки ресурса (4) составляют ΔR4 = R4 исходное – . Следовательно, предприятие может сохранять найденный оптимальный план () при уменьшении спроса на краску для внутренних работ до тонны.

Ограничение (3): хв - хн ≤ 1,5 представляет соотношение между суточным спросом на краску для внутренних работ и суточным спросом на краску для наружных работ. В этом случае, правую часть ограничения также можно уменьшать до тех пор, пока прямая ВС (3) (рис. 1.13) не достигнет точки Е.

При этом правая часть ограничения (3) станет равной: . Излишки ресурса (3) составляют ΔR3 = R3
исходное - R3(E) = 1,5 -(-2) = 3,5. В точке Е соотношение (3) может быть записано в виде: xв - хн ≤ -2 или хн - xв ≥ 2. Полученный результат показывает, что если суточный спрос на краску для наружных работ будет превышать суточный спрос на краску для внутренних работ не менее чем на 2 т, ранее полученное оптимальное решение не измениться.