Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Метод Гомори Симплекс-метод Метод Фогеля
Транспортная задача Задача о назначениях Распределительный метод
Метод потенциалов Задача коммивояжера Открытые и закрытые задачи

Определение рациональных маятниковых маршрутов

Оставшиеся грузы необходимо распределить по складской сети в Санкт-Петербурге в соответствии с индивидуальным заданием. Потребности каждого склада представить в табл. 9 (общая потребность – 57 т, является одинаковой для всех вариантов).
Необходимо определить рациональные маятниковые маршруты доставки потребителям, если известно:
  1. Грузоподъемность одного транспортного средства составляет 1,5 т.
  2. Время работы на маршруте – 9 часов в день.
  3. Время на погрузку, разгрузку и оформление документов – 1 час.
  4. Средняя скорость движения – 25 км/час.
  5. Адрес автотранспортного предприятия – ул. Хрустальная, 27.

Далее представлен пример расчета параметров маршрута. В табл. 10 представлены исходные данные для примера.
Таблица 10 - Пример исходных данных
Пункт отправленияПункт назначенияОбъем перевозок, тОбъем перевозок за одну поездку, тКоличество поездок
Склад на железнодорожной станцииС161,54
С251,54
С3121,58
С471,55
С531,52
Итого3323

Этап 1. Определите расстояния между объектами логистической сети. Результаты удобно свести в табл. 11.
Таблица 11 - Пример матрицы расстояний до складов, км
Исходный пункт Пункт назначения
Автоколонна (А)Склад (С)С1С2С3С4С5
Автоколонна-8181481723
Склад8-123121618

Этап 2. Необходимо определить затраты времени на одну поездку (пример в табл.12).
Для расчета затрат времени необходимо использовать формулу

где tc-i-c– время работы на маршруте, мин; с– индекс склада; i– индекс потребителя; lc-i– расстояние между складом и потребителем, км; li-c– расстояние между потребителем и складом, км; tпр– время, необходимое на погрузку и разгрузку, мин; V– скорость транспортного средства, км/час.
Аналогично рассчитывается время работы на маршруте, при условии возвращения в автоколонну
где tc-i-a– время работы на маршруте, мин; с– индекс склада; i– индекс потребителя; a – индекс автоколонны; lc-i– расстояние между складом и потребителем, км.; li-a – расстояние между потребителем и автоколонной, км.; tпр – время, необходимое на погрузку и разгрузку, мин; V – скорость транспортного средства, км/час.
Пример расчета для маршрута: Склад железнодорожной станции (далее Склад) – Склад 1

Результат представить в табл. 12
Таблица 12 - Пример расчета затрат времени на одну поездку
МаршрутЗатраты времени, мин
Склад – С1 – Склад118
Склад – С1 – Автоколонна132
Склад – С2 – Склад74
Склад – С2 – Автоколонна101
Склад – С3 – Склад118
Склад – С3 – Автоколонна108
Склад – С4 – Склад137
Склад – С4 – Автоколонна139
Склад – С5 – Склад146
Склад – С5 – Автоколонна158

В табл. 12 строка маршрута «Склад – С1 – Склад» – означает, что транспортное средство загружается товаром на складе железнодорожной станции, едет до Склада 1, разгружается, а после этого возвращается обратно для последующей загрузки.
Строка маршрута «Склад – С1 – Автоколонна» означает, что транспортное средство загружается товаром на складе предприятия, едет до Склада 1, разгружается, а после этого возвращается в Автоколонну и больше в этот день не возит товар.
Этап 3. Составляем исходную рабочую матрицу (табл. 13).
Таблица 13 - Пример исходной матрицы
Пункт назначенияРасстояние до автоколонны, кмРасстояние до склада, кмРазность расстояния, кмКоличество необходимых поездок

С1
18126 (18-12)4

С2
143114

С3
812-48

С4
171615

С5
231852

Наименьшую оценку (-4) имеет пункт назначения Склад 3, а наибольшую оценку (11) Склад 2. Это означает, что начальным пунктом маршрута будет Склад 2, и весь рабочий день транспортное средство будет отвозить грузы в этот склад и лишь последняя поездка будет на Склад 3, откуда автомобиль поедет в автоколонну. Это необходимо для минимизации порожнего пробега.
Маршрут номер 1 для одного автомобиля: Автоколонна – Склад – Склад 2 – Склад – Склад 3 – Автоколонна. Известно, что время работы на маршруте составляет 9 часов в день (540 мин). Если автомобиль обслужит Склад 3 и вернется оттуда в автоколонну, он затратит 108 мин (табл. 12). Следовательно, на обслуживание Склада 2 остается 432 мин (540-108).
Если время на поездку на Склад 2 и обратно составляют 74 мин, то в этот пункт автомобиль сможет сделать 5 поездок. Но по условиям задачи необходимо лишь 4.
Таким образом, маршрут этого транспортного средства на рабочий день включает 4 поездки на Склад 2 и одну на Склад 3 (результаты представлены в табл. 18).
Этап 4. Определяем новую исходную матрицу (табл.14).
Таблица 14 - Исходная матрица

Пункт назначения

Расстояние до автоколонны, км

Расстояние до склада, км

Разность расстояния, км

Количество необходимых поездок

С1

18

12

6

4

С3

8

12

-4

7

С4

17

16

1

5

С5

23

18

5

2
Наибольшую оценку разности расстояния имеет Склад 1, а наименьшую Склад 3.
Маршрут номер 2 для одного автомобиля: Автоколонна – Склад – Склад 1 – Склад – Склад 3 – Автоколонна. Известно, что время работы на маршруте составляет 9 часов в день (540 мин). Если автомобиль обслужит Склад 3 и вернется оттуда в автоколонну, он затратит 108 мин. Следовательно, на обслуживание Склада 1 остается 432 мин (540-108).
Если время на поездку на Склад 1 и обратно составляют 118 мин, то в этот пункт автомобиль сможет сделать 4 поездки. Полученный маршрут представлен в табл. 18
Этап 5. Определяем новую исходную матрицу (табл. 15).
Таблица 15 - Исходная матрица
Пункт назначенияРасстояние до автоколонны, кмРасстояние до склада, кмРазность расстояния, кмКоличество необходимых поездок

С3
812-46

С4
171615

С5
231852
Наибольшую оценку разности расстояния имеет Склад 5, а наименьшую Склад 3.
Маршрут номер 3 для одного автомобиля: Автоколонна – Склад – Склад 5 – Склад – Склад 3 – Автоколонна. Известно, что время работы на маршруте составляет 9 часов в день (540 мин). Если автомобиль обслужит Склад 3 и вернется оттуда в автоколонну, он затратит 108 мин. Следовательно, на обслуживание Склада 1 остается 432 мин.
 Если время на поездку на Склад 5 и обратно составляют 146 мин, то в этот пункт автомобиль сможет сделать 2 поездки. После двух поездок останется еще 140 минут. Это позволит совершить еще одну поездку в пункт 4.
Полученный маршрут представлен в табл. 18
Этап 6. Определяем новую исходную матрицу (табл. 16)
Наибольшую оценку разности расстояния имеет Склад 4, а наименьшую Склад 3.
Таблица 16 - Исходная матрица
Пункт назначенияРасстояние до автоколонны, кмРасстояние до склада, кмРазность расстояния, кмКоличество необходимых поездок

С3
812-45

С4
171614
Маршрут номер 4 для одного автомобиля: Автоколонна – Склад – Склад 4 – Склад – Склад 3 – Автоколонна. Известно, что время работы на маршруте составляет 9 часов в день (540 мин). Если автомобиль обслужит Склад 3 и вернется оттуда в автоколонну, он затратит 108 мин. Следовательно, на обслуживание Склада 4 остается 432 мин. Это позволит автомобилю сделать 3 поездки.
Полученный маршрут представлен в табл. 18
Этап 7. Определяем новую исходную матрицу (табл. 17).
Таблица 17 - Исходная матрица
Пункт назначенияРасстояние до автоколонны, кмРасстояние до склада, кмРазность расстояния, кмКоличество необходимых поездок

С3
812-44

С4
171611
Наибольшую оценку разности расстояния имеет Склад 4, а наименьшую Склад 3.
Маршрут номер 5 для одного автомобиля: Автоколонна – Склад – Склад 4 – Склад – Склад 3 – Автоколонна.
Полученный маршрут представлен в табл. 18
Таблица 18 - Сводная маршрутная ведомость
Маршрут Показатели маршрута
Количество поездокОбъем перевозок, тКоличество автомобилей, шт.Время работы, мин
1Склад – Склад 2 - Склад45,0 1296
Склад – Склад 3 - Автоколонна11,5108
Итого56,51404
2Склад – Склад 1 - Склад46,0 1472
Склад – Склад 3 - Автоколонна11,5108
Итого57,51580
3Склад – Склад 5 - Склад23,0 1292
Склад – Склад 4 – Склад11,5137
Склад – Склад 3 - Автоколонна11,5108
Итого46,01537
4Склад – Склад 4 – Склад34,5 1411
Склад – Склад 3 - Автоколонна11,5108
Итого46,01519
5Склад – Склад 4 – Склад11,01137
Склад – Склад 3 – Склад34,51354
Склад – Склад 3 – Автоколонна11,51108
Итого57,01599
Итого233352639
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ ПО СКЛАДСКОЙ СЕТИ
В ходе работы над курсовым проектом грузы были распределены между складами (табл. 9). Далее необходимо прикрепить выбранные вами магазины к складам, для организации дальнейших поставок. Всего в течение месяца будет необходимо развести по магазинам следующий объем грузов (табл.19).
Таблица 19 - Адреса магазинов в Санкт-Петербурге

НаименованиеАдресОбъем поставки, т

1
Данные о магазинах берутся из табл. 66

2
16

3
10

4
17

5
8

Прикрепление потребителей (магазинов) к складам осуществляется с применением методов линейного программирования.
Постановка задачи.
Имеется 5 поставщиков (склады логистической сети), располагающих определенным количеством продукции (табл. 9), и 5 потребителей (магазины), у которых есть потребность в данной продукции (табл. 19). Необходимо определить транспортные затраты на доставку груза от любого поставщика до любого потребителя и прикрепить потребителей так, чтобы суммарные транспортные расходы по доставке продукции поставщикам были минимальными.
Этап 1. Определяем транспортные затраты. Затраты на транспортировку зависят от расстояния от склада до потребителя. Стоимость перевозки одной тонны груза на один километр составляет 50 руб/т. Предположим, что расстояние от Склада 1 до Магазина 1 составляет 24 км, тогда стоимость доставки одной тонны груза составит 1200 руб.
Информацию о расстояниях необходимо определить самостоятельно, используя ресурс maps.google.ru. Результаты расчета стоимости доставки груза представить в виде табл. 20.
Для построения экономико-математической модели введем обозначения: i– номер поставщика (i= 1,…,m), m– количество поставщиков (в курсовом – 5);  j- номер потребителя (j= 1,…,n), n– количество поставщиков (в курсовом – 5); Ai– ресурсы i-го поставщика, т.е. количество груза, которое поставщик может поставить потребителям (табл.9), т; Вj– потребность в продукции  j-го потребителя (табл. 19), т; Cij– транспортные расходы по доставке одной тонны груза от i-го поставщика j-му потребителю, руб./т.; Xij– количество продукции, поставляемой от i-го поставщика j-му потребителю, т. Эта величина неизвестна и подлежит определению.
Транспортные расходы по доставке одной тонны груза от i-го поставщика j-му потребителю
           Потребитель ПоставщикМагазин 1Магазин 2Магазин 3Магазин 4Магазин 5
Склад 112001300170025002900
Склад 21500160050020002800
Склад 380090085012002900
Склад 419001500130017002900
Склад 57001300180021002200

Экономико-математическая модель должна содержать целевую функцию, системы ограничений и условия неотрицательности переменных. В рассматриваемой задаче необходимо свести к минимуму транспортные расходы

гдеCij– транспортные расходы по доставке одной тонны груза от i-го поставщика j-му потребителю, руб./т.; Xij– количество продукции, поставляемой от i-го поставщика j-му потребителю, т.
Достижение минимального значения целевой функции происходит при определенных условиях (ограничениях). Первое из них состоит в том, что по оптимальному варианту от каждого поставщика планировалось то количество продукции, которым он располагает

Второе заключается в том, что по оптимальному плану количество продукции каждому потребителю должно соответствовать его потребности

Наконец, в модели указывается условие не отрицательности переменных
xi≥0.
После построения модели решается задача прикрепления поставщиков потребителям. Расчеты могут выполняться методом потенциалов (табл. 21). В этой таблице кроме ресурсов поставщиков, потребностей потребителей и транспортных расходов, имеются столбец и строка для записи потенциалов Uiи Vj, которые дают возможность определить оптимальность плана закрепления поставщиков за потребителями. В правом верхнем углу ячеек указана стоимость доставки продукции (руб/т).
Этап 1. Составление исходного плана. Для составления исходного плана воспользуемся приемом, который называется «метод северо-западного угла». Согласно этому методу заполнение таблицы следует начинать с левого верхнего квадрата и с позиции этого квадрата сравнить ресурсы первого поставщика (15 т) и потребности первого потребителя (6 т), выбрать меньшее из них и записать в данный квадрат, которые теперь называется «загруженным» (табл. 22). Это означает, что потребности первого потребителя удовлетворены. Затем необходимо подвинуться вправо и сравнить оставшиеся у первого поставщика ресурсы (15 – 6 = 9) и потребность второго потребителя (16), записав меньшую цифру в ячейку первой строки второго столбца, передвинуться вниз, т.к. ресурсы первого поставщика закончились, а потребность второго потребителя еще не удовлетворена. Так, двигаясь шаг за шагом, получаем исходный план.
Таблица 21 - Исходные данные
Потребители М1 М2 М3 М4 М5 Ресурсы поставщиков Ai, т
Поставщик     Vj Ui V1 V2 V3 V4 V5
C1 U1 X111200 X121300 X131700 X142500 X152900 15
C2 U2 X211500 X221600 X23500 X242000 X252800 6
C3 U3 X31800 X32900 X33850 X341200 X352900 9
C4 U4 X411900 X421500 X431300 X441700 X452900 18
C5 U5 X51700 X521300 X531800 X542100 X552200 9
Потребность Bj, т 6 16 10 17 857
Таблица 22 - Исходный план прикрепления потребителей к поставщикам
Потребители М1 М2 М3 М4 М5 Ресурсы поставщиков Ai, т
Поставщик     Vj Ui
C1 61200 91300170025002900 15
C21500 6160050020002800 6
C3800 1900 885012002900 9
C419001500 21300 1617002900 18
C570013001800 12100 82200 9
Потребность Bj, т 6 16 10 17 857

Этап 2. Проверка исходного плана. Необходимо проверить исходный план на соответствие следующим условиям:
Число «загруженных» клеток в таблице должно быть на единицу меньше суммы чисел поставщиков и потребителей, в рассматриваемом примере 9 (5 + 5 – 1), т.е. условие соблюдено.
Не должно быть ни одного занятого квадрата, который оказался бы единственным в строке и столбце таблицы, т.е. условие соблюдено.
Этап 3. Проверка на оптимальность. Для осуществления проверки исходного плана на оптимальность необходимо рассчитать потенциалы Ui и Vj. Эти потенциалы определяются только для «загруженных» ячеек. Сумма индексов Ui и Vjдолжна быть равна транспортным издержкам соответствующих ячеек. В этом примере U1 + V1= 1200; U1 + V2= 1300; U2 + V2= 1600; U3 + V2= 900; U3 + V3= 850; U4 + V3= 1300; U4 + V4= 1700; U5 + V4= 2100; U5 + V5= 2200.
Индексы определяем следующим образом: 1) принимаем U1= 0 (так всегда); 2) из первого уравнения получаем V1= 1200 – 0 = 1200; 3) из второго уравнения получаем V2= 1300 – 0 = 1300; 4) точно также, решая все уравнения, определяем потенциалы для всех потребителей и поставщиков (табл. 23).
Далее для «незагруженных» ячеек рассчитывается Cij=Ui+Vj (в табл. 23 рассчитанные значения представлены курсивом).
Полученные значения Cij, как правило, отличаются от значений Cij (транспортные расходы). Если во всех «незагруженных» ячейках соблюдается неравенство Cij≤Cij, то план считается оптимальным. В рассматриваемом примере есть ячейки, в которых это неравенство не соблюдается, а значит, план не является оптимальным.
Таблица 23 - Исходный план прикрепления потребителей к поставщикам с рассчитанными значениями потенциалов
Потребители М1 М2 М3 М4 М5 Ресурсы поставщиков Ai, т
Поставщик     Vj Ui 1200 1300 1250 1650 1750
C1 0 61200 91300 12501700 16502500 17502900 15
C2 300 15001500 61600 1550500 19502000 20502800 6
C3 - 400 800800 1900 8850 12501200 13502900 9
C4 50 12501900 13501500 21300 161700 17002900 18
C5 450 1650700 17501300 17001800 12100 82200 9
Потребность Bj, т 6 16 10 17 857

Этап 4. Улучшение исходного плана. Это происходит путем перемещения поставки в «незагруженную» ячейку, в которой Cij-Cij=max. В нашем примере это квадрат С2-М3 (1550 – 500 = 1050). В случае если разность окажется одинаковой для нескольких ячеек, следует выбрать любую ячейку произвольно.
Итак, в рассматриваемом примере поставка должна быть перемещена в квадрат С2-М3. Перемещения производятся в определенном порядке с тем, чтобы не были нарушены условия, выраженные в приведенных выше уравнениях. Для этого образуем связку, т.е. замкнутую ломаную линию, состоящую из вертикальных и горизонтальных отрезков, таким образом, чтобы одной из вершин образованного многоугольника был квадрат, куда производится перемещение, а остальные вершины находились в «загруженных ячейках». В табл. 2 представлен такой многоугольник.
После образования связи свободному квадрату и связанным с ним «загруженным» ячейкам присваиваются поочередно знаки « + » и « – », начиная со свободного квадрата.
Таблица 24 - Перемещение поставки в квадрат С2-М3

Среди тех квадратов, которые отмечены знаком « – », выбираем наименьший объем поставки (6 т.). Именно этот объем подлежит перемещению из квадратов со знаком « – » в квадраты со знаком « + ».  В результате получен новый план (табл. 25). Таблица 25 - Скорректированный план прикрепления потребителей к поставщикам
Потребители М1 М2 М3 М4 М5 Ресурсы поставщиков, Ai, т
Поставщик     Vj Ui
C1 61200 91300170025002900 15
C215001600 650020002800 6
C3800 7900 285012002900 9
C419001500 21300 1617002900 18
C570013001800 12100 82200 9
Потребность Bj, т 6 16 10 17 857

Повторяем описанные выше шаги. Результат представлен в табл. 26 Таблица 26 - План прикрепления потребителей к поставщикам с рассчитанными значениями потенциалов

Это решение также не является оптимальным, следовательно, необходимо его улучшить путем перенесения поставок в свободные ячейки (в ячейку С5-М1). Результат представлен в табл. 27 Таблица 27 - Скорректированный исходный план прикрепления потребителей к поставщикам
Потребители М1 М2 М3 М4 М5 Ресурсы поставщиков Ai, т
ПоставщикVj Ui
C1 51200 101300170025002900 15
C215001600 650020002800 6
C3800 6900 385012002900 9
C419001500 11300 1717002900 18
C5 170013001800 2100 82200 9
Потребность Bj, т 6 16 10 17 857
Проверим его на оптимальность (табл. 28). Таблица 27 - План прикрепления потребителей к поставщикам с рассчитанными значениями потенциалов
Потребители М1 М2 М3 М4 М5 Ресурсы поставщиков Ai, т
Поставщик     Vj Ui 1200 1300 1250 1650 2750
C1 0 51200 101300 12501700  16502500 27502900 15
C2 -750 4501500 5501600 6500  9002000 20002800 6
C3 - 400 800800 6900 3850  12501200 23502900 9
C4 50 12501900   13501500 11300 171700 28002900 18
C5 - 500 1700 8001300 7501800  11502100 82200 9
Потребность Bj, т 6 16 10 17 857

Полученное решение является оптимальным, так как для всех ячеек соблюдается неравенство Cij≤Cij.