Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Метод Гомори Симплекс-метод Метод Фогеля
Транспортная задача Задача о назначениях Распределительный метод
Метод потенциалов Задача коммивояжера Открытые и закрытые задачи

Определение рациональных маятниковых маршрутов

Оставшиеся грузы необходимо распределить по складской сети в Санкт-Петербурге в соответствии с индивидуальным заданием. Потребности каждого склада представить в табл. 9 (общая потребность – 57 т, является одинаковой для всех вариантов).
Необходимо определить рациональные маятниковые маршруты доставки потребителям, если известно:
  1. Грузоподъемность одного транспортного средства составляет 1,5 т.
  2. Время работы на маршруте – 9 часов в день.
  3. Время на погрузку, разгрузку и оформление документов – 1 час.
  4. Средняя скорость движения – 25 км/час.
  5. Адрес автотранспортного предприятия – ул. Хрустальная, 27.

Далее представлен пример расчета параметров маршрута. В табл. 10 представлены исходные данные для примера.
Таблица 10 - Пример исходных данных
Пункт отправления Пункт назначения Объем перевозок, т Объем перевозок за одну поездку, т Количество поездок
Склад на железнодорожной станции С1 6 1,5 4
С2 5 1,5 4
С3 12 1,5 8
С4 7 1,5 5
С5 3 1,5 2
Итого 33 23

Этап 1. Определите расстояния между объектами логистической сети. Результаты удобно свести в табл. 11.
Таблица 11 - Пример матрицы расстояний до складов, км
Исходный пункт Пункт назначения
Автоколонна (А) Склад (С) С1 С2 С3 С4 С5
Автоколонна - 8 18 14 8 17 23
Склад 8 - 12 3 12 16 18

Этап 2. Необходимо определить затраты времени на одну поездку (пример в табл.12).
Для расчета затрат времени необходимо использовать формулу

где tc-i-c– время работы на маршруте, мин; с– индекс склада; i– индекс потребителя; lc-i– расстояние между складом и потребителем, км; li-c– расстояние между потребителем и складом, км; tпр– время, необходимое на погрузку и разгрузку, мин; V– скорость транспортного средства, км/час.
Аналогично рассчитывается время работы на маршруте, при условии возвращения в автоколонну
где tc-i-a– время работы на маршруте, мин; с– индекс склада; i– индекс потребителя; a – индекс автоколонны; lc-i– расстояние между складом и потребителем, км.; li-a – расстояние между потребителем и автоколонной, км.; tпр – время, необходимое на погрузку и разгрузку, мин; V – скорость транспортного средства, км/час.
Пример расчета для маршрута: Склад железнодорожной станции (далее Склад) – Склад 1

Результат представить в табл. 12
Таблица 12 - Пример расчета затрат времени на одну поездку
Маршрут Затраты времени, мин
Склад – С1 – Склад 118
Склад – С1 – Автоколонна 132
Склад – С2 – Склад 74
Склад – С2 – Автоколонна 101
Склад – С3 – Склад 118
Склад – С3 – Автоколонна 108
Склад – С4 – Склад 137
Склад – С4 – Автоколонна 139
Склад – С5 – Склад 146
Склад – С5 – Автоколонна 158

В табл. 12 строка маршрута «Склад – С1 – Склад» – означает, что транспортное средство загружается товаром на складе железнодорожной станции, едет до Склада 1, разгружается, а после этого возвращается обратно для последующей загрузки.
Строка маршрута «Склад – С1 – Автоколонна» означает, что транспортное средство загружается товаром на складе предприятия, едет до Склада 1, разгружается, а после этого возвращается в Автоколонну и больше в этот день не возит товар.
Этап 3. Составляем исходную рабочую матрицу (табл. 13).
Таблица 13 - Пример исходной матрицы
Пункт назначения Расстояние до автоколонны, км Расстояние до склада, км Разность расстояния, км Количество необходимых поездок

С1
18 12 6 (18-12) 4

С2
14 3 11 4

С3
8 12 -4 8

С4
17 16 1 5

С5
23 18 5 2

Наименьшую оценку (-4) имеет пункт назначения Склад 3, а наибольшую оценку (11) Склад 2. Это означает, что начальным пунктом маршрута будет Склад 2, и весь рабочий день транспортное средство будет отвозить грузы в этот склад и лишь последняя поездка будет на Склад 3, откуда автомобиль поедет в автоколонну. Это необходимо для минимизации порожнего пробега.
Маршрут номер 1 для одного автомобиля: Автоколонна – Склад – Склад 2 – Склад – Склад 3 – Автоколонна. Известно, что время работы на маршруте составляет 9 часов в день (540 мин). Если автомобиль обслужит Склад 3 и вернется оттуда в автоколонну, он затратит 108 мин (табл. 12). Следовательно, на обслуживание Склада 2 остается 432 мин (540-108).
Если время на поездку на Склад 2 и обратно составляют 74 мин, то в этот пункт автомобиль сможет сделать 5 поездок. Но по условиям задачи необходимо лишь 4.
Таким образом, маршрут этого транспортного средства на рабочий день включает 4 поездки на Склад 2 и одну на Склад 3 (результаты представлены в табл. 18).
Этап 4. Определяем новую исходную матрицу (табл.14).
Таблица 14 - Исходная матрица

Пункт назначения

Расстояние до автоколонны, км

Расстояние до склада, км

Разность расстояния, км

Количество необходимых поездок

С1

18

12

6

4

С3

8

12

-4

7

С4

17

16

1

5

С5

23

18

5

2
Наибольшую оценку разности расстояния имеет Склад 1, а наименьшую Склад 3.
Маршрут номер 2 для одного автомобиля: Автоколонна – Склад – Склад 1 – Склад – Склад 3 – Автоколонна. Известно, что время работы на маршруте составляет 9 часов в день (540 мин). Если автомобиль обслужит Склад 3 и вернется оттуда в автоколонну, он затратит 108 мин. Следовательно, на обслуживание Склада 1 остается 432 мин (540-108).
Если время на поездку на Склад 1 и обратно составляют 118 мин, то в этот пункт автомобиль сможет сделать 4 поездки. Полученный маршрут представлен в табл. 18
Этап 5. Определяем новую исходную матрицу (табл. 15).
Таблица 15 - Исходная матрица
Пункт назначения Расстояние до автоколонны, км Расстояние до склада, км Разность расстояния, км Количество необходимых поездок

С3
8 12 -4 6

С4
17 16 1 5

С5
23 18 5 2
Наибольшую оценку разности расстояния имеет Склад 5, а наименьшую Склад 3.
Маршрут номер 3 для одного автомобиля: Автоколонна – Склад – Склад 5 – Склад – Склад 3 – Автоколонна. Известно, что время работы на маршруте составляет 9 часов в день (540 мин). Если автомобиль обслужит Склад 3 и вернется оттуда в автоколонну, он затратит 108 мин. Следовательно, на обслуживание Склада 1 остается 432 мин.
 Если время на поездку на Склад 5 и обратно составляют 146 мин, то в этот пункт автомобиль сможет сделать 2 поездки. После двух поездок останется еще 140 минут. Это позволит совершить еще одну поездку в пункт 4.
Полученный маршрут представлен в табл. 18
Этап 6. Определяем новую исходную матрицу (табл. 16)
Наибольшую оценку разности расстояния имеет Склад 4, а наименьшую Склад 3.
Таблица 16 - Исходная матрица
Пункт назначения Расстояние до автоколонны, км Расстояние до склада, км Разность расстояния, км Количество необходимых поездок

С3
8 12 -4 5

С4
17 16 1 4
Маршрут номер 4 для одного автомобиля: Автоколонна – Склад – Склад 4 – Склад – Склад 3 – Автоколонна. Известно, что время работы на маршруте составляет 9 часов в день (540 мин). Если автомобиль обслужит Склад 3 и вернется оттуда в автоколонну, он затратит 108 мин. Следовательно, на обслуживание Склада 4 остается 432 мин. Это позволит автомобилю сделать 3 поездки.
Полученный маршрут представлен в табл. 18
Этап 7. Определяем новую исходную матрицу (табл. 17).
Таблица 17 - Исходная матрица
Пункт назначения Расстояние до автоколонны, км Расстояние до склада, км Разность расстояния, км Количество необходимых поездок

С3
8 12 -4 4

С4
17 16 1 1
Наибольшую оценку разности расстояния имеет Склад 4, а наименьшую Склад 3.
Маршрут номер 5 для одного автомобиля: Автоколонна – Склад – Склад 4 – Склад – Склад 3 – Автоколонна.
Полученный маршрут представлен в табл. 18
Таблица 18 - Сводная маршрутная ведомость
Маршрут Показатели маршрута
Количество поездок Объем перевозок, т Количество автомобилей, шт. Время работы, мин
1 Склад – Склад 2 - Склад 4 5,0 1 296
Склад – Склад 3 - Автоколонна 1 1,5 108
Итого 5 6,5 1 404
2 Склад – Склад 1 - Склад 4 6,0 1 472
Склад – Склад 3 - Автоколонна 1 1,5 108
Итого 5 7,5 1 580
3 Склад – Склад 5 - Склад 2 3,0 1 292
Склад – Склад 4 – Склад 1 1,5 137
Склад – Склад 3 - Автоколонна 1 1,5 108
Итого 4 6,0 1 537
4 Склад – Склад 4 – Склад 3 4,5 1 411
Склад – Склад 3 - Автоколонна 1 1,5 108
Итого 4 6,0 1 519
5 Склад – Склад 4 – Склад 1 1,0 1 137
Склад – Склад 3 – Склад 3 4,5 1 354
Склад – Склад 3 – Автоколонна 1 1,5 1 108
Итого 5 7,0 1 599
Итого 23 33 5 2639
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ ПО СКЛАДСКОЙ СЕТИ
В ходе работы над курсовым проектом грузы были распределены между складами (табл. 9). Далее необходимо прикрепить выбранные вами магазины к складам, для организации дальнейших поставок. Всего в течение месяца будет необходимо развести по магазинам следующий объем грузов (табл.19).
Таблица 19 - Адреса магазинов в Санкт-Петербурге

Наименование Адрес Объем поставки, т

1
Данные о магазинах берутся из табл. 6 6

2
16

3
10

4
17

5
8

Прикрепление потребителей (магазинов) к складам осуществляется с применением методов линейного программирования.
Постановка задачи.
Имеется 5 поставщиков (склады логистической сети), располагающих определенным количеством продукции (табл. 9), и 5 потребителей (магазины), у которых есть потребность в данной продукции (табл. 19). Необходимо определить транспортные затраты на доставку груза от любого поставщика до любого потребителя и прикрепить потребителей так, чтобы суммарные транспортные расходы по доставке продукции поставщикам были минимальными.
Этап 1. Определяем транспортные затраты. Затраты на транспортировку зависят от расстояния от склада до потребителя. Стоимость перевозки одной тонны груза на один километр составляет 50 руб/т. Предположим, что расстояние от Склада 1 до Магазина 1 составляет 24 км, тогда стоимость доставки одной тонны груза составит 1200 руб.
Информацию о расстояниях необходимо определить самостоятельно, используя ресурс maps.google.ru. Результаты расчета стоимости доставки груза представить в виде табл. 20.
Для построения экономико-математической модели введем обозначения: i– номер поставщика (i= 1,…,m), m– количество поставщиков (в курсовом – 5);  j- номер потребителя (j= 1,…,n), n– количество поставщиков (в курсовом – 5); Ai– ресурсы i-го поставщика, т.е. количество груза, которое поставщик может поставить потребителям (табл.9), т; Вj– потребность в продукции  j-го потребителя (табл. 19), т; Cij– транспортные расходы по доставке одной тонны груза от i-го поставщика j-му потребителю, руб./т.; Xij– количество продукции, поставляемой от i-го поставщика j-му потребителю, т. Эта величина неизвестна и подлежит определению.
Транспортные расходы по доставке одной тонны груза от i-го поставщика j-му потребителю
           Потребитель Поставщик Магазин 1 Магазин 2 Магазин 3 Магазин 4 Магазин 5
Склад 1 1200 1300 1700 2500 2900
Склад 2 1500 1600 500 2000 2800
Склад 3 800 900 850 1200 2900
Склад 4 1900 1500 1300 1700 2900
Склад 5 700 1300 1800 2100 2200

Экономико-математическая модель должна содержать целевую функцию, системы ограничений и условия неотрицательности переменных. В рассматриваемой задаче необходимо свести к минимуму транспортные расходы

гдеCij– транспортные расходы по доставке одной тонны груза от i-го поставщика j-му потребителю, руб./т.; Xij– количество продукции, поставляемой от i-го поставщика j-му потребителю, т.
Достижение минимального значения целевой функции происходит при определенных условиях (ограничениях). Первое из них состоит в том, что по оптимальному варианту от каждого поставщика планировалось то количество продукции, которым он располагает

Второе заключается в том, что по оптимальному плану количество продукции каждому потребителю должно соответствовать его потребности

Наконец, в модели указывается условие не отрицательности переменных

После построения модели решается задача прикрепления поставщиков потребителям. Расчеты могут выполняться методом потенциалов (табл. 21). В этой таблице кроме ресурсов поставщиков, потребностей потребителей и транспортных расходов, имеются столбец и строка для записи потенциалов Uiи Vj, которые дают возможность определить оптимальность плана закрепления поставщиков за потребителями. В правом верхнем углу ячеек указана стоимость доставки продукции (руб/т).
Этап 1. Составление исходного плана. Для составления исходного плана воспользуемся приемом, который называется «метод северо-западного угла». Согласно этому методу заполнение таблицы следует начинать с левого верхнего квадрата и с позиции этого квадрата сравнить ресурсы первого поставщика (15 т) и потребности первого потребителя (6 т), выбрать меньшее из них и записать в данный квадрат, которые теперь называется «загруженным» (табл. 22). Это означает, что потребности первого потребителя удовлетворены. Затем необходимо подвинуться вправо и сравнить оставшиеся у первого поставщика ресурсы (15 – 6 = 9) и потребность второго потребителя (16), записав меньшую цифру в ячейку первой строки второго столбца, передвинуться вниз, т.к. ресурсы первого поставщика закончились, а потребность второго потребителя еще не удовлетворена. Так, двигаясь шаг за шагом, получаем исходный план. Таблица 21 - Исходные данные
Потребители М1 М2 М3 М4 М5 Ресурсы поставщиков Ai, т
Поставщик      Vj Ui V1 V2 V3 V4 V5
C1 U1 X11 1200 X12 1300 X13 1700 X14 2500 X15 2900 15
C2 U2 X21 1500 X22 1600 X23 500 X24 2000 X25 2800 6
C3 U3 X31 800 X32 900 X33 850 X34 1200 X35 2900 9
C4 U4 X41 1900 X42 1500 X43 1300 X44 1700 X45 2900 18
C5 U5 X51 700 X52 1300 X53 1800 X54 2100 X55 2200 9
Потребность Bj, т 6 16 10 17 8 57
Таблица 22 - Исходный план прикрепления потребителей к поставщикам
Потребители М1 М2 М3 М4 М5 Ресурсы поставщиков Ai, т
Поставщик      Vj Ui
C1 6 1200 9 1300 1700 2500 2900 15
C2 1500 6 1600 500 2000 2800 6
C3 800 1 900 8 850 1200 2900 9
C4 1900 1500 2 1300 16 1700 2900 18
C5 700 1300 1800 1 2100 8 2200 9
Потребность Bj, т 6 16 10 17 8 57

Этап 2. Проверка исходного плана. Необходимо проверить исходный план на соответствие следующим условиям:
Число «загруженных» клеток в таблице должно быть на единицу меньше суммы чисел поставщиков и потребителей, в рассматриваемом примере 9 (5 + 5 – 1), т.е. условие соблюдено.
Не должно быть ни одного занятого квадрата, который оказался бы единственным в строке и столбце таблицы, т.е. условие соблюдено.
Этап 3. Проверка на оптимальность. Для осуществления проверки исходного плана на оптимальность необходимо рассчитать потенциалы Ui и Vj. Эти потенциалы определяются только для «загруженных» ячеек. Сумма индексов Ui и Vjдолжна быть равна транспортным издержкам соответствующих ячеек. В этом примере U1 + V1= 1200; U1 + V2= 1300; U2 + V2= 1600; U3 + V2= 900; U3 + V3= 850; U4 + V3= 1300; U4 + V4= 1700; U5 + V4= 2100; U5 + V5= 2200.
Индексы определяем следующим образом: 1) принимаем U1= 0 (так всегда); 2) из первого уравнения получаем V1= 1200 – 0 = 1200; 3) из второго уравнения получаем V2= 1300 – 0 = 1300; 4) точно также, решая все уравнения, определяем потенциалы для всех потребителей и поставщиков (табл. 23).
Далее для «незагруженных» ячеек рассчитывается  (в табл. 23 рассчитанные значения представлены курсивом).
Полученные значения , как правило, отличаются от значений Cij(транспортные расходы). Если во всех «незагруженных» ячейках соблюдается неравенство , то план считается оптимальным. В рассматриваемом примере есть ячейки, в которых это неравенство не соблюдается, а значит, план не является оптимальным. Таблица 23 - Исходный план прикрепления потребителей к поставщикам с рассчитанными значениями потенциалов
Потребители М1 М2 М3 М4 М5 Ресурсы поставщиков Ai, т
Поставщик      Vj Ui 1200 1300 1250 1650 1750
C1 0 6 1200 9 1300 1250 1700 1650 2500 1750 2900 15
C2 300 1500 1500 6 1600 1550 500 1950 2000 2050 2800 6
C3 - 400 800 800 1 900 8 850 1250 1200 1350 2900 9
C4 50 1250 1900 1350 1500 2 1300 16 1700 1700 2900 18
C5 450 1650 700 1750 1300 1700 1800 1 2100 8 2200 9
Потребность Bj, т 6 16 10 17 8 57

Этап 4. Улучшение исходного плана. Это происходит путем перемещения поставки в «незагруженную» ячейку, в которой  В нашем примере это квадрат С2-М3 (1550 – 500 = 1050). В случае если разность окажется одинаковой для нескольких ячеек, следует выбрать любую ячейку произвольно.
Итак, в рассматриваемом примере поставка должна быть перемещена в квадрат С2-М3. Перемещения производятся в определенном порядке с тем, чтобы не были нарушены условия, выраженные в приведенных выше уравнениях. Для этого образуем связку, т.е. замкнутую ломаную линию, состоящую из вертикальных и горизонтальных отрезков, таким образом, чтобы одной из вершин образованного многоугольника был квадрат, куда производится перемещение, а остальные вершины находились в «загруженных ячейках». В табл. 2 представлен такой многоугольник.
После образования связи свободному квадрату и связанным с ним «загруженным» ячейкам присваиваются поочередно знаки « + » и « – », начиная со свободного квадрата. Таблица 24 - Перемещение поставки в квадрат С2-М3

Среди тех квадратов, которые отмечены знаком « – », выбираем наименьший объем поставки (6 т.). Именно этот объем подлежит перемещению из квадратов со знаком « – » в квадраты со знаком « + ».  В результате получен новый план (табл. 25). Таблица 25 - Скорректированный план прикрепления потребителей к поставщикам
Потребители М1 М2 М3 М4 М5 Ресурсы поставщиков, Ai, т
Поставщик      Vj Ui
C1 6 1200 9 1300 1700 2500 2900 15
C2 1500 1600 6 500 2000 2800 6
C3 800 7 900 2 850 1200 2900 9
C4 1900 1500 2 1300 16 1700 2900 18
C5 700 1300 1800 1 2100 8 2200 9
Потребность Bj, т 6 16 10 17 8 57

Повторяем описанные выше шаги. Результат представлен в табл. 26 Таблица 26 - План прикрепления потребителей к поставщикам с рассчитанными значениями потенциалов

Это решение также не является оптимальным, следовательно, необходимо его улучшить путем перенесения поставок в свободные ячейки (в ячейку С5-М1). Результат представлен в табл. 27 Таблица 27 - Скорректированный исходный план прикрепления потребителей к поставщикам
Потребители М1 М2 М3 М4 М5 Ресурсы поставщиков Ai, т
Поставщик      Vj Ui
C1 5 1200 10 1300 1700 2500 2900 15
C2 1500 1600 6 500 2000 2800 6
C3 800 6 900 3 850 1200 2900 9
C4 1900 1500 1 1300 17 1700 2900 18
C5 1 700 1300 1800 2100 8 2200 9
Потребность Bj, т 6 16 10 17 8 57
Проверим его на оптимальность (табл. 28). Таблица 27 - План прикрепления потребителей к поставщикам с рассчитанными значениями потенциалов Потребители М1 М2 М3 М4 М5 Ресурсы поставщиков Ai, т Поставщик      Vj Ui 1200 1300 1250 1650 2750 C1 0 5 1200 10 1300 1250 1700  1650 2500 2750 2900 15 C2 -750 450 1500 550 1600 6 500  900 2000 2000 2800 6 C3 - 400 800 800 6 900 3 850  1250 1200 2350 2900 9 C4 50 1250 1900   1350 1500 1 1300 17 1700 2800 2900 18 C5 - 500 1 700 800 1300 750 1800  1150 2100 8 2200 9 Потребность Bj, т 6 16 10 17 8 57
Полученное решение является оптимальным, так как для всех ячеек соблюдается неравенство .