Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Метод Гомори Симплекс-метод Метод Фогеля
Транспортная задача Задача о назначениях Распределительный метод
Метод потенциалов Задача коммивояжера Открытые и закрытые задачи

Метод Фогеля

Данный метод состоит в следующем:
  1. на каждой итерации находят разности между двумя наименьшими тарифами во всех строках и столбцах, записывая их в дополнительные столбец и строку таблицы;
  2. находят максимальную разность и заполняют клетку с минимальной стоимостью в строке (столбце), которой соответствует данная разность.
В строке или столбце, соответствующем выбранному штрафу, для заполнения выбирается не вычеркнутая клетка с минимальным тарифом. Если существует несколько одинаковых по величине максимальных штрафов в матрице, то в соответствующих строках или столбцах выбирается одна не вычеркнутая клетка с минимальным тарифом. Если клеток с минимальным тарифом также несколько, то из них выбирается клетка (i,j) с максимальным суммарным штрафом, т.е. суммой штрафов по i-й строке и j-му столбцу.
Количество столбцов (магазины)
Количество строк (поставщики)

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Графический метод решения ЗЛП

Симплексный метод решения ЗЛП

Решение матричной игры
С помощью сервиса в онлайн режиме можно определить цену матричной игры (нижнюю и верхнюю границы), проверить наличие седловой точки, найти решение смешанной стратегии методами: минимакс, симплекс-метод, графический (геометрический) метод, методом Брауна.

Экстремум функции двух переменных

Задачи динамического программирования

Как правило, опорный план, получаемый с помощью метода Фогеля, является сразу оптимальным (как в примере №2), но иногда приходиться применять и метод потенциалов для его улучшения (пример №1).

Пример №1. Ниже приведены числовые данные транспортных задач. Стоимость перевозки единицы продукции записаны в клетках таблицы. Запасы указаны справа от таблиц, а потребности – снизу. Из каждого плана найти оптимальный план методом потенциалов.
Решение:
Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов.

1 2 3 4 5 Запасы
1 9 5 7 10 18 78
2 36 29 6 38 40 94
3 41 20 11 25 19 29
4 30 28 13 39 50 86
Потребности 49 60 78 50 50

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.
∑ a = 78 + 94 + 29 + 86 = 287
∑ b = 49 + 60 + 78 + 50 + 50 = 287
Занесем исходные данные в распределительную таблицу.
1 2 3 4 5 Запасы
1 9 5 7 10 18 78
2 36 29 6 38 40 94
3 41 20 11 25 19 29
4 30 28 13 39 50 86
Потребности 49 60 78 50 50

1. Используя метод Фогеля, построим первый опорный план транспортной задачи.
1. Для каждой строки и столбца таблицы условий найдем разности между двумя минимальными тарифами, записанными в данной строе или столбце, и поместим их в соответствующем дополнительном столбце или строке.
Первый минимальный элемент строки N=1 равен 5. Второй минимальный элемент строки N=1 равен 7. Разность равна 2.
Первый минимальный элемент строки N=2 равен 6. Второй минимальный элемент строки N=2 равен 29. Разность равна 23.
Первый минимальный элемент строки N=3 равен 11. Второй минимальный элемент строки N=3 равен 19. Разность равна 8.
Первый минимальный элемент строки N=4 равен 13. Второй минимальный элемент строки N=4 равен 28. Разность равна 15.
Первый минимальный элемент столбца N=1 равен 9. Второй минимальный элемент столбца N=1 равен 30. Разность равна 21.
Первый минимальный элемент столбца N=2 равен 5. Второй минимальный элемент столбца N=2 равен 20. Разность равна 15.
Первый минимальный элемент столбца N=3 равен 6. Второй минимальный элемент столбца N=3 равен 7. Разность равна 1.
Первый минимальный элемент столбца N=4 равен 10. Второй минимальный элемент столбца N=4 равен 25. Разность равна 15.
Первый минимальный элемент столбца N=5 равен 18. Второй минимальный элемент столбца N=5 равен 19. Разность равна 1.
Вычислив все эти разности, видим, что наибольшая из них соответствует строке (2). В этой строке минимальный тариф записан в клетке, находящейся на пересечении строки (2) и столбца (3).
1 2 3 4 5 Запасы Разности по строкам
1 9 5 7 10 18 78 2
2 36 29 6 38 40 94 23
3 41 20 11 25 19 29 8
4 30 28 13 39 50 86 15
Потребности 49 60 78 50 50 0 0
Разности по столбцам 21 15 1 15 1 0
Первый минимальный элемент строки N=1 равен 5. Второй минимальный элемент строки N=1 равен 9. Разность равна 4.
Первый минимальный элемент строки N=2 равен 29. Второй минимальный элемент строки N=2 равен 36. Разность равна 7.
Первый минимальный элемент строки N=3 равен 19. Второй минимальный элемент строки N=3 равен 20. Разность равна 1.
Первый минимальный элемент строки N=4 равен 28. Второй минимальный элемент строки N=4 равен 30. Разность равна 2.
Первый минимальный элемент столбца N=1 равен 9. Второй минимальный элемент столбца N=1 равен 30. Разность равна 21.
Первый минимальный элемент столбца N=2 равен 5. Второй минимальный элемент столбца N=2 равен 20. Разность равна 15.
Первый минимальный элемент столбца N=4 равен 10. Второй минимальный элемент столбца N=4 равен 25. Разность равна 15.
Первый минимальный элемент столбца N=5 равен 18. Второй минимальный элемент столбца N=5 равен 19. Разность равна 1.
Вычислив все эти разности, видим, что наибольшая из них соответствует столбцу (1). В этом столбце минимальный тариф записан в клетке, находящейся на пересечении строки (1) и столбца (1).
1 2 3 4 5 Запасы Разности по строкам
1 9 5 7 10 18 78 4
2 36 29 6 38 40 16 7
3 41 20 11 25 19 29 1
4 30 28 13 39 50 86 2
Потребности 49 60 0 50 50 0 0
Разности по столбцам 21 15 - 15 1 0

Первый минимальный элемент строки N=1 равен 5. Второй минимальный элемент строки N=1 равен 10. Разность равна 5.
Первый минимальный элемент строки N=2 равен 29. Второй минимальный элемент строки N=2 равен 38. Разность равна 9.
Первый минимальный элемент строки N=3 равен 19. Второй минимальный элемент строки N=3 равен 20. Разность равна 1.
Первый минимальный элемент строки N=4 равен 28. Второй минимальный элемент строки N=4 равен 39. Разность равна 11.
Первый минимальный элемент столбца N=2 равен 5. Второй минимальный элемент столбца N=2 равен 20. Разность равна 15.
Первый минимальный элемент столбца N=4 равен 10. Второй минимальный элемент столбца N=4 равен 25. Разность равна 15.
Первый минимальный элемент столбца N=5 равен 18. Второй минимальный элемент столбца N=5 равен 19. Разность равна 1.
Вычислив все эти разности, видим, что наибольшая из них соответствует столбцу (4). В этом столбце минимальный тариф записан в клетке, находящейся на пересечении строки (1) и столбца (4).
1 2 3 4 5 Запасы Разности по строкам
1 9 5 7 10 18 29 5
2 36 29 6 38 40 16 9
3 41 20 11 25 19 29 1
4 30 28 13 39 50 86 11
Потребности 0 60 0 50 50 0 0
Разности по столбцам - 15 - 15 1 0

Читать далее
4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.

v1=7 v2=5 v3=-16 v4=10 v5=18
u1=0 9 5[23] 7 10[50] 18[5]
u2=22 36 29 6[78] 38 40[16]
u3=1 41 20 11 25 19[29]
u4=23 30[49] 28[37] 13 39 50

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj <= cij.
Минимальные затраты составят: F( x) = 5*23 + 10*50 + 18*5 + 6*78 + 40*16 + 19*29 + 30*49 + 28*37 = 4870

Пример №2
Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

1 2 3 4 Запасы
1 5 2 1 8 10
2 2 1 2 3 10
3 4 8 1 4 20
Потребности 14 15 5 6

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.
∑a = 10 + 10 + 20 = 40
∑b = 14 + 15 + 5 + 6 = 40
Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.
Занесем исходные данные в распределительную таблицу.
1 2 3 4 Запасы
1 5 2 1 8 10
2 2 1 2 3 10
3 4 8 1 4 20
Потребности 14 15 5 6

Этап I. Поиск первого опорного плана.
1. Используя метод Фогеля, построим первый опорный план транспортной задачи. Для каждой строки и столбца таблицы условий найдем разности между двумя минимальными тарифами, записанными в данной строе или столбце, и поместим их в соответствующем дополнительном столбце или строке.
Данный метод состоит в следующем:
1. на каждой итерации находят разности между двумя наименьшими тарифами во всех строках и столбцах, записывая их в дополнительные столбец и строку таблицы;
2. находят максимальную разность и заполняют клетку с минимальной стоимостью в строке (столбце), которой соответствует данная разность.
Находим разности по строкам.
Для строки N=1 первый минимальный элемент min11= 1, второй минимальный элемент min21= 2. Их разность равна d = min21- min11= 1.
Для строки N=2 первый минимальный элемент min12= 1, второй минимальный элемент min22= 2. Их разность равна d = min22- min12= 1.
Для строки N=3 первый минимальный элемент min13= 1, второй минимальный элемент min23= 4. Их разность равна d = min23- min13= 3.
Находим разности по столбцам.
Для столбца N=1 первый минимальный элемент min11= 2. второй минимальный элемент min214. Их разность d = min21- min11= 2.
Для столбца N=2 первый минимальный элемент min12= 1. второй минимальный элемент min222. Их разность d = min22- min12= 1.
Для столбца N=3 первый минимальный элемент min13= 1. второй минимальный элемент min231. Их разность d = min23- min13= 0.
Для столбца N=4 первый минимальный элемент min14= 3. второй минимальный элемент min244. Их разность d = min24- min14= 1.
Вычислив все эти разности, видим, что наибольшая из них соответствует строке (3). В этой строке минимальный тариф записан в клетке, находящейся на пересечении строки (3) и столбца (3).
1 2 3 4 Запасы Разности по строкам
1 5 2 1 8 10 1
2 2 1 2 3 10 1
3 4 8 1 4 20 3
Потребности 14 15 5 6 0 0
Разности по столбцам 2 1 0 1 0

Искомый элемент равен 1
Для этого элемента запасы равны 20, потребности 5. Поскольку минимальным является 5, то вычитаем его.
x33= min(20,5) = 5.
0 0 x 0 0
0 0 x x 0
0 0 0 x 20 - 5 = 15
0 x 5 - 5 = 0 x x

Находим разности по строкам.
Для строки N=1 первый минимальный элемент min11= 2, второй минимальный элемент min21= 5. Их разность равна d = min21- min11= 3.
Для строки N=2 первый минимальный элемент min12= 1, второй минимальный элемент min22= 2. Их разность равна d = min22- min12= 1.
Для строки N=3 первый минимальный элемент min13= 4, второй минимальный элемент min23= 4. Их разность равна d = min23- min13= 0.
Находим разности по столбцам.
Для столбца N=1 первый минимальный элемент min11= 2. второй минимальный элемент min214. Их разность d = min21- min11= 2.
Для столбца N=2 первый минимальный элемент min12= 1. второй минимальный элемент min222. Их разность d = min22- min12= 1.
Для столбца N=4 первый минимальный элемент min14= 3. второй минимальный элемент min244. Их разность d = min24- min14= 1.
Вычислив все эти разности, видим, что наибольшая из них соответствует строке (1). В этой строке минимальный тариф записан в клетке, находящейся на пересечении строки (1) и столбца (2).
1 2 3 4 Запасы Разности по строкам
1 5 2 1 8 10 3
2 2 1 2 3 10 1
3 4 8 1 4 15 0
Потребности 14 15 0 6 0 0
Разности по столбцам 2 1 - 1 0

Искомый элемент равен 2
Для этого элемента запасы равны 10, потребности 15. Поскольку минимальным является 10, то вычитаем его.
x12= min(10,15) = 10.
x 0 0 x 10 - 10 = 0
0 x x x x
0 0 x 0 0
0 15 - 10 = 5 x 0 0

Находим разности по строкам.
Для строки N=2 первый минимальный элемент min12= 1, второй минимальный элемент min22= 2. Их разность равна d = min22- min12= 1.
Для строки N=3 первый минимальный элемент min13= 4, второй минимальный элемент min23= 4. Их разность равна d = min23- min13= 0.
Находим разности по столбцам.
Для столбца N=1 первый минимальный элемент min11= 2. второй минимальный элемент min214. Их разность d = min21- min11= 2.
Для столбца N=2 первый минимальный элемент min12= 1. второй минимальный элемент min228. Их разность d = min22- min12= 7.
Для столбца N=4 первый минимальный элемент min14= 3. второй минимальный элемент min244. Их разность d = min24- min14= 1.
Вычислив все эти разности, видим, что наибольшая из них соответствует столбцу (2). В этом столбце минимальный тариф записан в клетке, находящейся на пересечении строки (2) и столбца (2).
1 2 3 4 Запасы Разности по строкам
1 5 2 1 8 0 -
2 2 1 2 3 10 1
3 4 8 1 4 15 0
Потребности 14 5 0 6 0 0
Разности по столбцам 2 7 - 1 0

Искомый элемент равен 1
x22= min(10,5) = 5.
0 0 0 0 0
0 0 x 0 10 - 5 = 5
0 x x x x
0 5 - 5 = 0 x 0 0

Находим разности по строкам.
Для строки N=2 первый минимальный элемент min12= 2, второй минимальный элемент min22= 3. Их разность равна d = min22- min12= 1.
Для строки N=3 первый минимальный элемент min13= 4, второй минимальный элемент min23= 4. Их разность равна d = min23- min13= 0.
Находим разности по столбцам.
Для столбца N=1 первый минимальный элемент min11= 2. второй минимальный элемент min214. Их разность d = min21- min11= 2.
Для столбца N=4 первый минимальный элемент min14= 3. второй минимальный элемент min244. Их разность d = min24- min14= 1.
Вычислив все эти разности, видим, что наибольшая из них соответствует столбцу (1). В этом столбце минимальный тариф записан в клетке, находящейся на пересечении строки (2) и столбца (1).
1 2 3 4 Запасы Разности по строкам
1 5 2 1 8 0 -
2 2 1 2 3 5 1
3 4 8 1 4 15 0
Потребности 14 0 0 6 0 0
Разности по столбцам 2 - - 1 0

Искомый элемент равен 2
x21= min(5,14) = 5.
0 0 0 0 0
0 x 0 x 5 - 5 = 0
0 x x x x
14 - 5 = 9 x 0 0 0

Находим разности по строкам.
Для строки N=3 первый минимальный элемент min13= 4, второй минимальный элемент min23= 4. Их разность равна d = min23- min13= 0.
Находим разности по столбцам.
Для столбца N=1 первый минимальный элемент min11= 4. второй минимальный элемент min214. Их разность d = min21- min11= 0.
Для столбца N=4 первый минимальный элемент min14= 4. второй минимальный элемент min244. Их разность d = min24- min14= 0.
Вычислив все эти разности, видим, что наибольшая из них соответствует строке (3). В этой строке минимальный тариф записан в клетке, находящейся на пересечении строки (3) и столбца (1).
1 2 3 4 Запасы Разности по строкам
1 5 2 1 8 0 -
2 2 1 2 3 0 -
3 4 8 1 4 15 0
Потребности 9 0 0 6 0 0
Разности по столбцам 0 - - 0 0

Искомый элемент равен 4
x31= min(15,9) = 9.
0 0 0 0 0
0 x 0 0 0
0 x 0 0 15 - 9 = 6
9 - 9 = 0 x x x x

Находим разности по строкам.
Для строки N=3 первый минимальный элемент min13= 4, второй минимальный элемент min23= 4. Их разность равна d = min23- min13= 0.
Находим разности по столбцам.
Для столбца N=4 первый минимальный элемент min14= 4. второй минимальный элемент min244. Их разность d = min24- min14= 0.
Вычислив все эти разности, видим, что наибольшая из них соответствует строке (3). В этой строке минимальный тариф записан в клетке, находящейся на пересечении строки (3) и столбца (4).
1 2 3 4 Запасы Разности по строкам
1 5 2 1 8 0 -
2 2 1 2 3 0 -
3 4 8 1 4 6 0
Потребности 0 0 0 6 0 0
Разности по столбцам - - - 0 0

Искомый элемент равен 4
x34= min(6,6) = 6.
0 0 0 0 0
0 0 0 0 x
0 0 0 0 6 - 6 = 0
0 x x 6 - 6 = 0 x

 
1 2 3 4 Запасы
1 5 2[10] 1 8 10
2 2[5] 1[5] 2 3 10
3 4[9] 8 1[5] 4[6] 20
Потребности 14 15 5 6

Сведем все вычисления в одну таблицу.
1 2 3 4 Запасы d1 d2 d3 d4
1 5 2[10] 1 8 10 1 3 - -
2 2[5] 1[5] 2 3 10 1 1 1 1
3 4[9] 8 1[5] 4[6] 20 3 0 0 0
Потребности 14 15 5 6          
d1 2 1 0 1          
d2 2 1 - 1          
d3 2 7 - 1          
d4 2 - - 1          

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 6. Следовательно, опорный план является невырожденным.
Значение целевой функции для этого опорного плана равно:
F(x) = 2*10 + 2*5 + 1*5 + 4*9 + 1*5 + 4*6  = 100

Этап II. Улучшение опорного плана.
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалыui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui+ vj= cij, полагая, что u1= 0.
u1+ v2= 2; 0 + v2= 2; v2= 2
u2+ v2= 1; 2 + u2= 1; u2= -1
u2+ v1= 2; -1 + v1= 2; v1= 3
u3+ v1= 4; 3 + u3= 4; u3= 1
u3+ v3= 1; 1 + v3= 1; v3= 0
u3+ v4= 4; 1 + v4= 4; v4= 3

v1=3 v2=2 v3=0 v4=3
u1=0 5 2[10] 1 8
u2=-1 2[5] 1[5] 2 3
u3=1 4[9] 8 1[5] 4[6]
Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj <= cij.
Минимальные затраты составят: F(x) = 2*10 + 2*5 + 1*5 + 4*9 + 1*5 + 4*6  = 100
Анализ оптимального плана.
Из первого склада необходимо весь груз направить в второй магазин
Из 2-го склада необходимо груз направить в 1-й магазин (5), в 2-й магазин (5)
Из третьего склада необходимо груз направить в 1-й магазин (9), в третий магазин (5), в 4-й магазин (6).