Транспортная задача. Постановка условий

1. Для строительства четырех объектов используется кирпич, изготовляемый на трех заводах. Ежедневно каждый из заводов может изготовлять 100, 150 и 50 усл. ед. кирпича. Ежедневные потребности в кирпиче на каждом из строящихся объектов соответственно равны 75, 80, 60 и 85 усл. ед. Известны также тарифы перевозок 1 усл. ед. кирпича с каждого с заводов к каждому из строящихся объектов:

Составить такой план перевозок кирпича к строящимся объектам, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.
2. На трех хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190 и 90 т муки. Эта мука потребляется четырьмя хлебозаводами, ежедневные потребности которых равны соответственно 80, 60, 170 и 80 т. Тарифы перевозок 1 т муки с хлебокомбинатов к каждому из хлебозаводов задаются матрицей

Составить такой план доставки муки, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.
1. В трех хранилищах горючего ежедневно хранится 175, 125 и 140 т бензина. Этот бензин ежедневно получают четыре заправочные станции в количествах, равных соответственно 180, 160, 60 и 40 т. Стоимости перевозок 1 т бензина с хранилищ к заправочным станциям задаются матрицей

Составить такой план перевозок бензина, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.
2. На трех железнодорожных станциях А₁, А₂ и А₃ скопилось 120, 110 и 130 незагруженных вагонов. Эти вагоны необходимо перегнать на железнодорожные станции В₁, В₂, В₃, В₄ и В₅. На каждой из этих станций потребность в вагонах соответственно равна 80, 60, 70, 100 и 50. Тарифы перегонки одного вагона определяются матрицей

Составьте такой план перегонок вагонов, чтобы общая стоимость была минимальной.
3. Для строительства трех дорог используется гравий из четырех карьеров. Запасы гравия в каждом из карьеров соответственно равны 120, 280 и 160 усл. ед. Потребности в гравии для строительства каждой из дорог соответственно равны 130, 220, 160 и 50 усл. ед. Известны также тарифы перевозок 1 усл. ед. гравия из каждого из карьеров к каждой из строящихся дорог, которые задаются матрицей

Составить такой план перевозок гравия, при котором потребности в нем каждой из строящихся дорог были бы удовлетворены при наименьшей общей стоимости перевозок.
4. Три предприятия данного экономического района могут производить некоторую однородную продукцию в количествах, соответственно равных 180, 350 и 20 ед. Эта продукция должна быть поставлена пяти потребителям в количествах, соответственно равных 110, 90, 120, 80 и 150 ед. Затраты, связанные с производством и доставкой единицы продукции, задаются матрицей

Составить такой план прикрепления получателей продукции ее поставщикам, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.
5. Производственное объединение имеет в своем составе три филиала, которые производят однородную продукцию соответственно в количествах, равных 50, 30 и 10 ед. Эту продукцию получают четыре потребителя, расположенные в разных местах. Их потребности соответственно равны 30, 30, 10 и 20 ед. Тарифы перевозок единицы продукции от каждого из филиалов соответствующим потребителям задаются матрицей

Составить такой план прикрепления получателей продукции ее поставщикам, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.
6. На трех складах оптовой базы сосредоточен однородный груз в количествах 180, 60 и 60 ед. Этот груз необходимо перевезти в четыре магазина. Каждый из магазинов должен получить соответственно 120, 40, 60 и 80 ед. груза. Тарифы перевозок единицы груза из каждого из складов во все магазины задаются матрицей

Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.
7. Четыре предприятия данного экономического района для производства продукции используют три вида сырья. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственно равны 120,50,190 и 110 ед. Сырье сосредоточено в трех местах его получения, а запасы соответственно равны 160, 140, 170 ед. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок являются известными величинами и задаются матрицей.

Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.
8. Четыре предприятия данного экономического района для производства продукции используют пять видов сырья. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственно равны 120,50,190 и 110 ед. Сырье сосредоточено в пяти местах его получения, а запасы соответственно равны 160, 100, 40, 100 и 70 ед. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок являются известными величинами и задаются матрицей.

Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.
9. Транспортная задача в сетевой постановке
   Ниже приведено 1 вариант транспортной задачи в сетевой постановке. Каждая задача изображена в виде неориентированного связного графа. На ребрах проставлены значения тарифов cr, на вершинах (в кружках) — значения запасов-потребностей bi. Построить пробный допустимый план, проверить его на оптимальность. В случае необходимости довести до оптимального плана методом потенциалов.
   Методические рекомендации. Из сетевого графика необходимо сформировать таблицу. Подробнее.

Перейти к онлайн решению своей задачи
Задание. Даны три действующих предприятия, с мощностями а1,а2,а3, обеспечивающие однородной продукцией четырех потребителей с потребностями b1=280, b2=220, b3 =370, b4 =140. Для компенсации разницы между производством и потребностями необходимо выяснить, что выгодней построить предприятие а5 или реконструировать предприятие а2.
Задание. Правительственное учреждение получило следующее предложение от фирм Ф1, Ф2, Ф3 на покупку пальто трех размеров Р1, Р2, Р3.
Должны быть заключены контракты на продажу 1000 пальто размера Р1, 1500 пальто размера Р2 и 1200 пальто размера Р3, однако ограниченность производственных мощностей фирм приводит к тому, что общее количество заказов не может превосходить 1000 пальто для фирмы Ф1, 1500 пальто для фирмы Ф2 и 2500 пальто для фирмы Ф3. Необходимо, чтобы эти контракты были заключены с минимизацией общей стоимости, однако каждая фирма должна получить заказ. Как следует распределить заказы?

Пример. На трех базах А1,А2,А3 находится однородный груз в количестве а1,а2,а3 т. Этот груз необходимо развести пяти потребителям В1,В2,В3,В4,В5, потребности которых в данном грузе составляют b1,b2,b3,b4,b5 т. Соответственно. Стоимость перевозок пропорциональна расстоянию и количеству перевозимого груза. Матрица тарифов и значения аj,bj приведены в таблице.  Требуется спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной .
Решение:
Математическая модель транспортной задачи:
F = ∑∑c_ijx_ij,    (1)
при условиях:
∑x_ij = a_i,  i = 1,2,…, m,   (2)
∑x_ij = b_j,  j = 1,2,…, n,   (3)
С целью составления двойственной задачи переменные x_ij в условии (2) заменим на u₁, u₂, u_i,.., u_m, а переменные x_ij в условия (3) на v₁, v₂, v_j,.., v_n.
Поскольку каждая переменная x_ij входит в условия (2,3) и целевую функцию (1) по одному разу, то двойственную задачу по отношению к прямой транспортной задаче можно сформулировать следующим образом.
Требуется найти не отрицательные числа u_i (при i  = 1,2,…,m) и v_j (при j = 1,2,..,n), обращающие в максимум целевую функцию
G = ∑a_iu_i + ∑b_jv_j
при условии
u_i + v_j ≤ c_ij, i = 1,2,..,m; j = 1,2,..,n    (4)
В систему условий (4) будет mxn неравенств. По теории двойственности для оптимальных планов прямой и двойственной задачи для всех i,j должно быть:
u_i + v_j ≤ c_ij, если x_ij = 0,
u_i + v_j = c_ij, если x_ij ≥ 0,
Эти условия являются необходимыми и достаточными признаками оптимальности плана транспортной задачи.
Числа u_i , v_j называются потенциалами. Причем число u_i называется потенциалом поставщика, а число v_j – потенциалом потребителя.
По первой теореме двойственности в оптимальном решении значения целевых функций прямой и двойственных задач совпадают: F = G.
Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

	1	2	3	4	5	Запасы
1	15	8	9	11	12	100
2	4	10	7	5	8	150
3	6	3	4	15	20	250
Потребности	100	40	140	60	160

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.
∑a = 100 + 150 + 250 = 500
∑b = 100 + 40 + 140 + 60 + 160 = 500
Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.
Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

	1	2	3	4	5	Запасы
1	15	8	9	11	12	100
2	4	10	7	5	8	150
3	6	3	4	15	20	250
Потребности	100	40	140	60	160

Этап I. Поиск первого опорного плана.
1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.
Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел a_i, или b_j.
Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.
Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.
Искомый элемент равен 3
Для этого элемента запасы равны 250, потребности 40. Поскольку минимальным является 40, то вычитаем его.
x₃₂= min(250,40) = 40.

15	x	9	11	12	100
4	x	7	5	8	150
6	3	4	15	20	250 - 40 = 210
100	40 - 40 = 0	140	60	160	0

Искомый элемент равен 4. Для этого элемента запасы равны 150, потребности 100. Поскольку минимальным является 100, то вычитаем его.
x₂₁= min(150,100) = 100.

x	x	9	11	12	100
4	x	7	5	8	150 - 100 = 50
x	3	4	15	20	210
100 - 100 = 0	0	140	60	160	0

Искомый элемент равен 4
x₃₃= min(210,140) = 140.

x	x	x	11	12	100
4	x	x	5	8	50
x	3	4	15	20	210 - 140 = 70
0	0	140 - 140 = 0	60	160	0

Искомый элемент равен 5
x₂₄= min(50,60) = 50.

x	x	x	11	12	100
4	x	x	5	x	50 - 50 = 0
x	3	4	15	20	70
0	0	0	60 - 50 = 10	160	0




Искомый элемент равен 11
Для этого элемента запасы равны 100, потребности 10. Поскольку минимальным является 10, то вычитаем его.
x₁₄= min(100,10) = 10.

x	x	x	11	12	100 - 10 = 90
4	x	x	5	x	0
x	3	4	x	20	70
0	0	0	10 - 10 = 0	160	0

Искомый элемент равен 12
x₁₅= min(90,160) = 90.

x	x	x	11	12	90 - 90 = 0
4	x	x	5	x	0
x	3	4	x	20	70
0	0	0	0	160 - 90 = 70	0

Искомый элемент равен 20
x₃₅= min(70,70) = 70.

x	x	x	11	12	0
4	x	x	5	x	0
x	3	4	x	20	70 - 70 = 0
0	0	0	0	70 - 70 = 0	0

	1	2	3	4	5	Запасы
1	15	8	9	11[10]	12[90]	100
2	4[100]	10	7	5[50]	8	150
3	6	3[40]	4[140]	15	20[70]	250
Потребности	100	40	140	60	160

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным.
Значение целевой функции для этого опорного плана равно: F(x) = 11*10 + 12*90 + 4*100 + 5*50 + 3*40 + 4*140 + 20*70 = 3920
Этап II. Улучшение опорного плана.
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалыu_i, v_j. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i+ v_j= c_ij, полагая, что u₁ = 0.
u₁+ v₄= 11; 0 + v₄= 11; v₄= 11
u₂+ v₄= 5; 11 + u₂= 5; u₂= -6
u₂+ v₁= 4; -6 + v₁= 4; v₁= 10
u₁+ v₅= 12; 0 + v₅= 12; v₅= 12
u₃+ v₅= 20; 12 + u₃= 20; u₃= 8
u₃+ v₂= 3; 8 + v₂= 3; v₂= -5
u₃+ v₃= 4; 8 + v₃= 4; v₃= -4

	v1=10	v2=-5	v3=-4	v4=11	v5=12
u1=0	15	8	9	11[10]	12[90]
u2=-6	4[100]	10	7	5[50]	8
u3=8	6	3[40]	4[140]	15	20[70]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i+ v_j> c_ij
(3;1): 8 + 10 > 6; ∆₃₁= 8 + 10 - 6 = 12
(3;4): 8 + 11 > 15; ∆₃₄= 8 + 11 - 15 =4
max(12,4) = 12
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;1): 6
Для этого в перспективную клетку (3;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	Запасы
1	15	8	9	11[10][-]	12[90][+]	100
2	4[100][-]	10	7	5[50][+]	8	150
3	6[+]	3[40]	4[140]	15	20[70][-]	250
Потребности	100	40	140	60	160

Цикл приведен в таблице (3,1; 3,5; 1,5; 1,4; 2,4; 2,1; ).
Из грузов х_ijстоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 4) = 10. Прибавляем 10 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 10 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	4	5	Запасы
1	15	8	9	11	12[100]	100
2	4[90]	10	7	5[60]	8	150
3	6[10]	3[40]	4[140]	15	20[60]	250
Потребности	100	40	140	60	160



Проверим оптимальность опорного плана.
u₁+ v₅= 12; 0 + v₅= 12; v₅= 12
u₃+ v₅= 20; 12 + u₃= 20; u₃= 8
u₃+ v₁= 6; 8 + v₁= 6; v₁= -2
u₂+ v₁= 4; -2 + u₂= 4; u₂= 6
u₂+ v₄= 5; 6 + v₄= 5; v₄= -1
u₃+ v₂= 3; 8 + v₂= 3; v₂= -5
u₃+ v₃= 4; 8 + v₃= 4; v₃= -4

	v1=-2	v2=-5	v3=-4	v4=-1	v5=12
u1=0	15	8	9	11	12[100]
u2=6	4[90]	10	7	5[60]	8
u3=8	6[10]	3[40]	4[140]	15	20[60]

Опорный план не является оптимальным
(2;5): 6 + 12 > 8; ∆₂₅= 6 + 12 - 8 = 10
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;5): 8
Для этого в перспективную клетку (2;5) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	Запасы
1	15	8	9	11	12[100]	100
2	4[90][-]	10	7	5[60]	8[+]	150
3	6[10][+]	3[40]	4[140]	15	20[60][-]	250
Потребности	100	40	140	60	160

Цикл приведен в таблице (2,5; 2,1; 3,1; 3,5; ).
Из грузов х_ijстоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 5) = 60. Прибавляем 60 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 60 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	4	5	Запасы
1	15	8	9	11	12[100]	100
2	4[30]	10	7	5[60]	8[60]	150
3	6[70]	3[40]	4[140]	15	20	250
Потребности	100	40	140	60	160

Проверим оптимальность опорного плана.
u₁+ v₅= 12; 0 + v₅= 12; v₅= 12
u₂+ v₅= 8; 12 + u₂= 8; u₂= -4
u₂+ v₁= 4; -4 + v₁= 4; v₁= 8
u₃+ v₁= 6; 8 + u₃= 6; u₃= -2
u₃+ v₂= 3; -2 + v₂= 3; v₂= 5
u₃+ v₃= 4; -2 + v₃= 4; v₃= 6
u₂+ v₄= 5; -4 + v₄= 5; v₄= 9

	v1=8	v2=5	v3=6	v4=9	v5=12
u1=0	15	8	9	11	12[100]
u2=-4	4[30]	10	7	5[60]	8[60]
u3=-2	6[70]	3[40]	4[140]	15	20

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_j <= c_ij.
Минимальные затраты составят: F(x) = 12*100 + 4*30 + 5*60 + 8*60 + 6*70 + 3*40 + 4*140  = 3200
Проверим оптимальность найденного плана по первой теореме двойственности (в оптимальном решении значения целевых функций прямой и двойственных задач совпадают: F = G).
G = 0•100 -4•150 + -2•250 + 8•100 + 5•40 + 6•140 + 9•60 + 12•160  = 3200