Определитель матрицы ▦ Производная функции dydx График 3D Упростить выражение Графический метод решения задач нелинейного программирования ⇲ …
Примеры решений Метод Гомори Симплекс-метод Метод Фогеля Транспортная задача 🚚 Задача о назначениях Распределительный метод Метод потенциалов Задача коммивояжера Открытые и закрытые задачи

Пример решений транспортной задачи методом наименьших тарифов (методом наименьшей стоимости)

Используя метод минимального тарифа, представить первоначальный план для решения транспортной задачи. Проверить на оптимальность, используя метод потенциалов. Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов
1 2 3 4 Запасы
1 1 2 4 3 6
2 4 3 8 5 8
3 2 7 6 3 10
Потребности 4 6 8 8  

Для решения используем калькулятор.

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.
∑a=6+8+10=26
∑b=4+6+8+8=24
Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения меньше запасов груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) потребность, равным 2 (26-24). Тарифы перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю.
Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

1 2 3 4 Запасы
1 1 2 4 3 6
2 4 3 8 5 8
3 2 7 6 3 10
4 0 0 0 0 2
Потребности 4 6 8 8  

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи. Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.
Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.
Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.
Поскольку нули в последней строке получены в результате приведения к закрытой задаче, то их рассматриваем в последнюю очередь (почему это так, см. ниже). Искомый элемент равен c11=1. Для этого элемента запасы равны 6, потребности 4. Поскольку минимальным является 4, то вычитаем его.
x11 = min(6,4) = 4.

12436 - 4 = 2
x3858
x76310
x0002
4 - 4 = 0688
Искомый элемент равен c12=2. Для этого элемента запасы равны 2, потребности 6. Поскольку минимальным является 2, то вычитаем его.
x12 = min(2,6) = 2.
12xx2 - 2 = 0
x3858
x76310
x0002
06 - 2 = 488
Искомый элемент равен c22=3. Для этого элемента запасы равны 8, потребности 4. Поскольку минимальным является 4, то вычитаем его.
x22 = min(8,4) = 4.
12xx0
x3858 - 4 = 4
xx6310
xx002
04 - 4 = 088
Искомый элемент равен c34=3. Для этого элемента запасы равны 10, потребности 8. Поскольку минимальным является 8, то вычитаем его.
x34 = min(10,8) = 8.
12xx0
x38x4
xx6310 - 8 = 2
xx0x2
0088 - 8 = 0
Искомый элемент равен c33=6. Для этого элемента запасы равны 2, потребности 8. Поскольку минимальным является 2, то вычитаем его.
x33 = min(2,8) = 2.
12xx0
x38x4
xx632 - 2 = 0
xx0x2
008 - 2 = 60
Искомый элемент равен c23=8. Для этого элемента запасы равны 4, потребности 6. Поскольку минимальным является 4, то вычитаем его.
x23 = min(4,6) = 4.
12xx0
x38x4 - 4 = 0
xx630
xx0x2
006 - 4 = 20
Искомый элемент равен c43=0. Для этого элемента запасы равны 2, потребности 2. Поскольку минимальным является 2, то вычитаем его.
x43 = min(2,2) = 2.
12xx0
x38x0
xx630
xx0x2 - 2 = 0
002 - 2 = 00
В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
1234Запасы
11[4]2[2]436
243[4]8[4]58
3276[2]3[8]10
4000[2]02
Потребности4688
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным. Значение целевой функции для этого опорного плана равно: F(x) = 1*4 + 2*2 + 3*4 + 8*4 + 6*2 + 3*8 + 0*2 = 88
Если бы при поиске минимального элемента рассматривать сразу нули в последней строке, то получили бы следующий опорный план.
1234Запасы
11[2]2[4]436
243[2]8[6]58
3276[2]3[8]10
40[2 ]0002
Потребности4688
Значение целевой функции для этого опорного плана равно: F(x) = 1*2 + 2*4 + 3*2 + 8*6 + 6*2 + 3*8 + 0*2 = 100, т.е. намного больше (100>88), чем при правильной процедуре отбора минимальных элементов. Это примечание здесь приведено, поскольку многие преподаватели ошибочно полагают, что нули, полученные при приведении к закрытой задаче необходимо сразу включать в поиск.
4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1=1 u2=2 u3=7 u4=4
v1=0 1[4] 2[2] 4 3
v2=1 4 3[4] 8[4] 5
v3=-1 2 7 6[2] 3[8]
v4=-7 0 0 0[2] 0

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток для которых ui + vj > cij
(1;3): 0 + 7 > 4
(1;4): 0 + 4 > 3
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;3): 4
Для этого в перспективную клетку (1;3) поставим знак "+", а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки "-", "+", "-". Цикл приведен в таблице.

1 2 3 4 Запасы
1 1[4] 2[2][-] 4[+] 3 6
2 4 3[4][+] 8[4][-] 5 8
3 2 7 6[2] 3[8] 10
4 0 0 0[2] 0 2
Потребности 4 6 8 8  

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 2) = 2. Прибавляем 2 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 2 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

1 2 3 4 Запасы
1 1[4] 2 4[2] 3 6
2 4 3[6] 8[2] 5 8
3 2 7 6[2] 3[8] 10
4 0 0 0[2] 0 2
Потребности 4 6 8 8  

4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.

u1=1 u2=-1 u3=4 u4=1
v1=0 1[4] 2 4[2] 3
v2=4 4 3[6] 8[2] 5
v3=2 2 7 6[2] 3[8]
v4=-4 0 0 0[2] 0

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток для которых ui + vj > cij
(2;1): 4 + 1 > 4
(3;1): 2 + 1 > 2
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;1): 4
Для этого в перспективную клетку (2;1) поставим знак "+", а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки "-", "+", "-". Цикл приведен в таблице.

1 2 3 4 Запасы
1 1[4][-] 2 4[2][+] 3 6
2 4[+] 3[6] 8[2][-] 5 8
3 2 7 6[2] 3[8] 10
4 0 0 0[2] 0 2
Потребности 4 6 8 8  

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 3) = 2. Прибавляем 2 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 2 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

1 2 3 4 Запасы
1 1[2] 2 4[4] 3 6
2 4[2] 3[6] 8 5 8
3 2 7 6[2] 3[8] 10
4 0 0 0[2] 0 2
Потребности 4 6 8 8  

4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.

u1=1 u2=0 u3=4 u4=1
v1=0 1[2] 2 4[4] 3
v2=3 4[2] 3[6] 8 5
v3=2 2 7 6[2] 3[8]
v4=-4 0 0 0[2] 0

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток для которых ui + vj > cij
(3;1): 2 + 1 > 2
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;1): 2
Для этого в перспективную клетку (3;1) поставим знак "+", а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки "-", "+", "-". Цикл приведен в таблице.

1 2 3 4 Запасы
1 1[2][-] 2 4[4][+] 3 6
2 4[2] 3[6] 8 5 8
3 2[+] 7 6[2][-] 3[8] 10
4 0 0 0[2] 0 2
Потребности 4 6 8 8  

Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 1) = 2. Прибавляем 2 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 2 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

1 2 3 4 Запасы
1 1 2 4[6] 3 6
2 4[2] 3[6] 8 5 8
3 2[2] 7 6[0] 3[8] 10
4 0 0 0[2] 0 2
Потребности 4 6 8 8  

4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.

u1=0 u2=-1 u3=4 u4=1
v1=0 1 2 4[6] 3
v2=4 4[2] 3[6] 8 5
v3=2 2[2] 7 6 3[8]
v4=-4 0 0 0[2] 0
Опорный план является оптимальным. Затраты составят: F(x) = 4*6 + 4*2 + 3*6 + 2*2 + 3*8 + 0*2  = 78

Перейти к онлайн решению своей задачи

Анализ оптимального плана транспортной задачи

Задание. На трех складах A1, A2 и A3 хранится a1=100, a2=200 и a3=70 единиц одного и того же груза. Этот груз требуется доставить трем потребителям B1, B2 и B3, заказы которых составляют b1=190, b2=120 и b3=10 единиц груза соответственно. Стоимость перевозок cij единицы груза с i-го склада j-му потребителю указаны в правых верхних углах соответствующих клеток транспортной таблицы.
1. Сравнивая суммарный запас a и суммарную потребность b в грузе, установить, является ли модель транспортной задачи, заданная этой таблицей, открытой или закрытой. Если модель является открытой, то ее необходимо закрыть, добавив фиктивный склад A с запасом a в случае a<b или фиктивного потребителя B с потребностью b в случае a>b и положив соответствующие им тарифы перевозок нулевыми.
2. Составить первоначальный план перевозок. (Рекомендуется воспользоваться методом наименьшей стоимости.)
3. Проверить, является ли первоначальный план оптимальным в смысле суммарной стоимости перевозок, и если это так, то составить оптимальный план, обеспечивающий минимальную стоимость перевозок Z. Найти эту стоимость. (Рекомендуется воспользоваться методом потенциалов).

Решение находим с помощью калькулятора. Математическая модель транспортной задачи:
F = ∑∑cijxij, (1)
при условиях:
∑xij = ai, i = 1,2,…, m, (2)
∑xij = bj, j = 1,2,…, n, (3)
Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

1 2 3 Запасы
1 4 2 1 100
2 1 5 3 200
3 1 2 6 70
Потребности 190 120 10
Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.
∑a = 100 + 200 + 70 = 370
∑b = 190 + 120 + 10 = 320
Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения превышает запасы груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) базу с запасом груза, равным 50 (370—320). Тарифы перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю.
Занесем исходные данные в распределительную таблицу.
1 2 3 4 Запасы
1 4 2 1 0 100
2 1 5 3 0 200
3 1 2 6 0 70
Потребности 190 120 10 50

Этап I. Поиск опорного плана

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.
Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.
Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.
Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.
Искомый элемент равен 1
Для этого элемента запасы равны 100, потребности 10. Поскольку минимальным является 10, то вычитаем его.
x13 = min(100,10) = 10.
4 2 1 0 100 - 10 = 90
1 5 x 0 200
1 2 x 0 70
190 120 10 - 10 = 0 50 0
Искомый элемент равен 1
Для этого элемента запасы равны 200, потребности 190. Поскольку минимальным является 190, то вычитаем его.
x21 = min(200,190) = 190.
x 2 1 0 90
1 5 x 0 200 - 190 = 10
x 2 x 0 70
190 - 190 = 0 120 0 50 0
Искомый элемент равен 2
Для этого элемента запасы равны 90, потребности 120. Поскольку минимальным является 90, то вычитаем его.
x12 = min(90,120) = 90.
x 2 1 x 90 - 90 = 0
1 5 x 0 10
x 2 x 0 70
0 120 - 90 = 30 0 50 0
Искомый элемент равен 2
Для этого элемента запасы равны 70, потребности 30. Поскольку минимальным является 30, то вычитаем его.
x32 = min(70,30) = 30.
x 2 1 x 0
1 x x 0 10
x 2 x 0 70 - 30 = 40
0 30 - 30 = 0 0 50 0
Искомый элемент равен 0
Для этого элемента запасы равны 10, потребности 50. Поскольку минимальным является 10, то вычитаем его.
x24 = min(10,50) = 10.
x 2 1 x 0
1 x x 0 10 - 10 = 0
x 2 x 0 40
0 0 0 50 - 10 = 40 0
Искомый элемент равен 0
Для этого элемента запасы равны 40, потребности 40. Поскольку минимальным является 40, то вычитаем его.
x34 = min(40,40) = 40.
x 2 1 x 0
1 x x 0 0
x 2 x 0 40 - 40 = 0
0 0 0 40 - 40 = 0 0

1 2 3 4 Запасы
1 4 2[90] 1[10] 0 100
2 1[190] 5 3 0[10] 200
3 1 2[30] 6 0[40] 70
Потребности 190 120 10 50
В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 6. Следовательно, опорный план является невырожденным.
Значение целевой функции для этого опорного плана равно:
F(x) = 2*90 + 1*10 + 1*190 + 0*10 + 2*30 + 0*40 = 440

Этап II. Улучшение опорного плана

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v2 = 2; 0 + v2 = 2; v2 = 2
u3 + v2 = 2; 2 + u3 = 2; u3 = 0
u3 + v4 = 0; 0 + v4 = 0; v4 = 0
u2 + v4 = 0; 0 + u2 = 0; u2 = 0
u2 + v1 = 1; 0 + v1 = 1; v1 = 1
u1 + v3 = 1; 0 + v3 = 1; v3 = 1
v1=1 v2=2 v3=1 v4=0
u1=0 4 2[90] 1[10] 0
u2=0 1[190] 5 3 0[10]
u3=0 1 2[30] 6 0[40]
Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj <= cij.
Минимальные затраты составят:
F(x) = 2*90 + 1*10 + 1*190 + 0*10 + 2*30 + 0*40 = 440

Анализ оптимального плана

Из 1-го склада необходимо груз направить в 2-й магазин (90), в 3-й магазин (10)
Из 2-го склада необходимо весь груз направить в 1-й магазин
Из 3-го склада необходимо весь груз направить в 2-й магазин
На 2-ом складе остался невостребованным груз в количестве 50 ед.
Оптимальный план является вырожденным, так как базисная переменная x24=0.
На 3-ом складе остался невостребованным груз в количестве 50 ед.
Оптимальный план является вырожденным, так как базисная переменная x34=0.
Задача имеет множество оптимальных планов, поскольку оценка для (1;4),(3;1) равна 0.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Проверка на оптимальность опорного плана транспортной задачи

От трех поставщиков A1, A2 и A3 необходимо перевезти некий однородный груз пяти потребителям B1, B2, B3, B4 и B5. Известны запасы груза поставщиков {a1,a2,a3} и потребности потребителя {b1,b2,b3,b4,b5}. Кроме того, известна стоимость перевозки cij от любого поставщика Ai каждому потребителю Bj - эти стоимости заданы в виде матрицы С размерности 3 x 5. Требуется составить такой план перевозки груза от поставщиков к потребителям, при котором суммарная стоимость перевозки была бы минимальной.


Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

1 2 3 4 Запасы
1 12 16 21 19 950
2 4 4 9 5 300
3 3 8 14 10 1350
4 24 33 36 34 450
Потребности 250 1000 700 1100


Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.
∑ a = 950 + 300 + 1350 + 450 = 3050
∑ b = 250 + 1000 + 700 + 1100 = 3050
Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.
Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

1 2 3 4 Запасы
1 12 16 21 19 950
2 4 4 9 5 300
3 3 8 14 10 1350
4 24 33 36 34 450
Потребности 250 1000 700 1100


1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.
Искомый элемент равен 3
Для этого элемента запасы равны 1350, потребности 250. Поскольку минимальным является 250, то вычитаем его.


x
16
21
19
950

x
4
9
5
300

3
8
14
10
1100

x
33
36
34
450

0
1000
700
1100
0



Искомый элемент равен 4
Для этого элемента запасы равны 300, потребности 1000. Поскольку минимальным является 300, то вычитаем его.

x 16 21 19 950
x 4 x x 0
3 8 14 10 1100
x 33 36 34 450
0 700 700 1100 0



Искомый элемент равен 8
Для этого элемента запасы равны 1100, потребности 700. Поскольку минимальным является 700, то вычитаем его.

x x 21 19 950
x 4 x x 0
3 8 14 10 400
x x 36 34 450
0 0 700 1100 0



Искомый элемент равен 10
Для этого элемента запасы равны 400, потребности 1100. Поскольку минимальным является 400, то вычитаем его.

x x 21 19 950
x 4 x x 0
3 8 x 10 0
x x 36 34 450
0 0 700 700 0



Искомый элемент равен 19
Для этого элемента запасы равны 950, потребности 700. Поскольку минимальным является 700, то вычитаем его.

x x 21 19 250
x 4 x x 0
3 8 x 10 0
x x 36 x 450
0 0 700 0 0



Искомый элемент равен 21
Для этого элемента запасы равны 250, потребности 700. Поскольку минимальным является 250, то вычитаем его.

x x 21 19 0
x 4 x x 0
3 8 x 10 0
x x 36 x 450
0 0 450 0 0



Искомый элемент равен 36
Для этого элемента запасы равны 450, потребности 450. Поскольку минимальным является 450, то вычитаем его.

x x 21 19 0
x 4 x x 0
3 8 x 10 0
x x 36 x 0
0 0 0 0 0


1 2 3 4 Запасы
1 12 16 21[250] 19[700] 950
2 4 4[300] 9 5 300
3 3[250] 8[700] 14 10[400] 1350
4 24 33 36[450] 34 450
Потребности 250 1000 700 1100


В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным.
4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui, vj по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v3 = 21; 0 + v3 = 21; v3 = 21
u4 + v3 = 36; 21 + u4 = 36; u4 = 15
u1 + v4 = 19; 0 + v4 = 19; v4 = 19
u3 + v4 = 10; 19 + u3 = 10; u3 = -9
u3 + v1 = 3; -9 + v1 = 3; v1 = 12
u3 + v2 = 8; -9 + v2 = 8; v2 = 17
u2 + v2 = 4; 17 + u2 = 4; u2 = -13

v1=12 v2=17 v3=21 v4=19
u1=0 12 16 21[250] 19[700]
u2=-13 4 4[300] 9 5
u3=-9 3[250] 8[700] 14 10[400]
u4=15 24 33 36[450] 34


Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij
(1;2): 0 + 17 > 16; ∆12 = 0 + 17 - 16 = 1
(2;4): -13 + 19 > 5; ∆24 = -13 + 19 - 5 = 1
(4;1): 15 + 12 > 24; ∆41 = 15 + 12 - 24 = 3
max(1,1,3) = 3
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (4;1): 24
Для этого в перспективную клетку (4;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Цикл приведен в таблице.

1 2 3 4 Запасы
1 12 16 21[250][+] 19[700][-] 950
2 4 4[300] 9 5 300
3 3[250][-] 8[700] 14 10[400][+] 1350
4 24[+] 33 36[450][-] 34 450
Потребности 250 1000 700 1100


Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 1) = 250. Прибавляем 250 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 250 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

1 2 3 4 Запасы
1 12 16 21[500] 19[450] 950
2 4 4[300] 9 5 300
3 3 8[700] 14 10[650] 1350
4 24[250] 33 36[200] 34 450
Потребности 250 1000 700 1100


4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui, vj по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v3 = 21; 0 + v3 = 21; v3 = 21
u4 + v3 = 36; 21 + u4 = 36; u4 = 15
u4 + v1 = 24; 15 + v1 = 24; v1 = 9
u1 + v4 = 19; 0 + v4 = 19; v4 = 19
u3 + v4 = 10; 19 + u3 = 10; u3 = -9
u3 + v2 = 8; -9 + v2 = 8; v2 = 17
u2 + v2 = 4; 17 + u2 = 4; u2 = -13

v1=9 v2=17 v3=21 v4=19
u1=0 12 16 21[500] 19[450]
u2=-13 4 4[300] 9 5
u3=-9 3 8[700] 14 10[650]
u4=15 24[250] 33 36[200] 34


Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij
(1;2): 0 + 17 > 16; ∆12 = 0 + 17 - 16 = 1
(2;4): -13 + 19 > 5; ∆24 = -13 + 19 - 5 = 1
max(1,1) = 1
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;2): 16
Для этого в перспективную клетку (1;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Цикл приведен в таблице.

1 2 3 4 Запасы
1 12 16[+] 21[500] 19[450][-] 950
2 4 4[300] 9 5 300
3 3 8[700][-] 14 10[650][+] 1350
4 24[250] 33 36[200] 34 450
Потребности 250 1000 700 1100


Из грузов х ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 4) = 450. Прибавляем 450 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 450 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

1 2 3 4 Запасы
1 12 16[450] 21[500] 19 950
2 4 4[300] 9 5 300
3 3 8[250] 14 10[1100] 1350
4 24[250] 33 36[200] 34 450
Потребности 250 1000 700 1100


4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui, vj по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v2 = 16; 0 + v2 = 16; v2 = 16
u2 + v2 = 4; 16 + u2 = 4; u2 = -12
u3 + v2 = 8; 16 + u3 = 8; u3 = -8
u3 + v4 = 10; -8 + v4 = 10; v4 = 18
u1 + v3 = 21; 0 + v3 = 21; v3 = 21
u4 + v3 = 36; 21 + u4 = 36; u4 = 15
u4 + v1 = 24; 15 + v1 = 24; v1 = 9

v1=9 v2=16 v3=21 v4=18
u1=0 12 16[450] 21[500] 19
u2=-12 4 4[300] 9 5
u3=-8 3 8[250] 14 10[1100]
u4=15 24[250] 33 36[200] 34


Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij
(2;4): -12 + 18 > 5; ∆24 = -12 + 18 - 5 = 1
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;4): 5
Для этого в перспективную клетку (2;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-». Цикл приведен в таблице.

1 2 3 4 Запасы
1 12 16[450] 21[500] 19 950
2 4 4[300][-] 9 5[+] 300
3 3 8[250][+] 14 10[1100][-] 1350
4 24[250] 33 36[200] 34 450
Потребности 250 1000 700 1100


Из грузов х ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 2) = 300. Прибавляем 300 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 300 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

1 2 3 4 Запасы
1 12 16[450] 21[500] 19 950
2 4 4 9 5[300] 300
3 3 8[550] 14 10[800] 1350
4 24[250] 33 36[200] 34 450
Потребности 250 1000 700 1100


4. Проверим оптимальность опорного плана. Найдем потенциалы ui, vj по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v2 = 16; 0 + v2 = 16; v2 = 16
u3 + v2 = 8; 16 + u3 = 8; u3 = -8
u3 + v4 = 10; -8 + v4 = 10; v4 = 18
u2 + v4 = 5; 18 + u2 = 5; u2 = -13
u1 + v3 = 21; 0 + v3 = 21; v3 = 21
u4 + v3 = 36; 21 + u4 = 36; u4 = 15
u4 + v1 = 24; 15 + v1 = 24; v1 = 9

v1=9 v2=16 v3=21 v4=18
u1=0 12 16[450] 21[500] 19
u2=-13 4 4 9 5[300]
u3=-8 3 8[550] 14 10[800]
u4=15 24[250] 33 36[200] 34


Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj <= cij.
Минимальные затраты составят:
F( x) = 16*450 + 21*500 + 5*300 + 8*550 + 10*800 + 24*250 + 36*200 = 44800