Задача составления кормовой смеси или задача о диете

Пример №1. Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20 000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Недельный расход корма в среднем (за 8 недель) составляет 500г = 0.5 кг.
Для того, чтобы цыплята достигли к 8-й неделе необходимого веса, кормовой рацион должен удовлетворять определённым требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов, или ингредиентов.
В таблице приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента. Смесь должна содержать:
  • не менее 0.8% кальция (от общего веса смеси)
  • не менее 22% белка  (от общего веса смеси)
  • не более 5% клетчатки (от общего веса смеси )
Требуется определить количество (в кг) каждого из трёх ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости, при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и её питательности.
Ингредиент Содержание питательных веществ (кг/ингредиента) Стоимость (руб./кг)
Кальций Белок Клетчатка
Известняк
Зерно
Соевые бобы
0.38
0.001
0.002
-
0.09
0.5
-
0.02
0.08
0.04
0.15
0.40

Математическая формулировка задачи. Введём следующие обозначения:
X 1 - содержание известняка в смеси (кг);
Х2 - содержание зерна в смеси (кг);
Х3 - содержание соевых бобов в смеси (кг);

Общий вес смеси, еженедельно расходуемый на кормление цыплят: 20 000 х 0.5 = 10 000 кг.
Ограничения, связанные с содержанием кальция, белка и клетчатки в кормовом рационе, имеют вид:
0.38X1 + 0.001Х2 + 0.002Х3 ≥ 0.008 х 10 000,
0.09Х2 + 0.50Х3 ≥ 0.22 х 10 000,
0.02Х2+ 0.08Х3 ≤ 0.05 х 10 000.
Окончательный вид математической формулировки задачи:
min f(X) = 0.04 x1 + 0.15Х2 +0,40Х3
при ограничениях
Х123= 10 000
0.38Х1 + 0.001Х2 + 0.002Х3 ≥ 80
0.09Х2+ 0.50Х3 ≥ 2200
0.02Х2+ 0.08Х3 ≤ 500
Xj > 0,  j = 1, 2, 3.

Перейти к решению симплекс-методом

Задача о составлении рациона (задача о диете, задача о смесях)

Пример №1. Имеется два вида продукции П1 и П2, содержащие питательные вещества S1, S2, S3, S4 (жиры, белки, углеводы, витамины). Содержание числа единиц питательных веществ в единице каждого вида продукции и необходимый минимум питательных веществ приведены в табл. 2.

Таблица 2

Питательные вещества

Число единиц питательных веществ в единице продукции

Необходимый минимум питательных веществ

П1 П2
S1 1 2 10
S2 3 2 8
S3 2 1 9
S4 2 2 11

Стоимость единицы продукции П1 и П2 соответственно равна 3 и 4 д.е.
Решение. Обозначим через х1 и х2 – количество продукции П1 и П2, входящей в дневной рацион. Тогда общая стоимость рациона составит (д.е.)

F = 3x1 + 4x2. (5)
С учетом необходимого минимума питательных веществ составим систему ограничений. Рацион включает (x1 + 2x2) единиц питательного вещества S1, (3x1 + 2x2) единиц питательного вещества S2, (2x1 + x2) единиц питательного вещества S3 и (2x1 + 2x2) единиц питательного вещества S4. Так как содержание питательных веществ S1, S2, S3, S4 в рационе должно быть не менее 10, 8, 9, 11 единиц, соответственно, то получим систему ограничений неравенств:
x1+2x2 ≥ 10 (6)
3x1+2x2 ≥ 8
2x1+x2 ≥ 9
2x1+2x2 ≥ 11
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Итак, экономико-математическая модель задачи: составить дневной рацион , удовлетворяющий системе ограничений (6), при котором функция (5) принимает минимальное значение.
Сформулируем данную задачу в общей постановке.
Обозначим через xj (j = 1, 2,…, n) – количество единиц j-го продукта в дневном рационе. В рационе используется n видов продуктов. Каждый продукт содержит m питательных веществ в количестве не менее bi (i = 1,2,…,m) единиц, aij – число единиц питательного вещества si в единице продукта j-го вида. Известна стоимость cj единицы j-го продукта. Необходимо составить рацион нужной питательности при минимальных затратах на него.
Экономико-математическая модель примет вид:

F=c1x1+c2x2+…+cnxn→(min) (7)

(8)
Замечание 1. Целевую функцию (7) и систему ограничений неравенств можно записать, используя знак ∑ (суммы).

(9)

(10)
Замечание 2. В задаче составления рациона (диеты, кормовой смеси) могут использоваться ограничения не только по необходимому минимуму питательных веществ, но и по минимальному общему весу смеси.
Например. Некоторая фирма имеет возможность купить n различных видов сырья и приготавливать различные виды смесей (продуктов). Каждый вид сырья содержит разное количество питательных веществ. Установлено, что продукция должна удовлетворять некоторым минимальным требованиям с точки зрения питательности (полезности). Необходимо определить количество каждого j-го вида сырья, образующего смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу смеси и её питательность.
Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:

,
при ограничениях: на общий расход смеси
на питательность смеси

на не отрицательность переменных

xj≥0, j=1,2,…n,
где xj – количество j-го сырья в смеси;
n – количество видов сырья;
m – количество питательных веществ;
aij – количество i-го питательного вещества, содержащегося в единице j-го вида сырья;
b1 – минимальное количество i-го питательного вещества, содержащегося в единице смеси;
cj – стоимость единицы сырья j;
q – минимальный общий вид смеси.

Пример №3. В заводской лаборатории создается антифрикционный сплав (оловянистый баббит), который должен содержать: олова - не меньше 15%, сурьмы - не меньше 15%, свинца - около 70%. Есть четыре сплава, процентный состав и цены на которые приведенные в таблице:

Элементы Сплав
1 2 3 4
Олово 12 20 12 20
Сурьма 12 18 18 14
Свинец 76 62 70 66
Цена на 1 кг 3,5 5,2 4,0 4,6

Рассчитать количество элементов для сплава каждого вида, необходимое для 1 кг смеси, которая бы обеспечила минимальные затраты.

Решение
Составим экономико-математическую модель задачи.
Обозначим через
x1 – количество сплава 1, кг
x2 – количество сплава 2, кг
x3 – количество сплава 3, кг
x4 – количество сплава 4, кг

Система ограничений по содержанию
12x1 + 20x2 + 12x3 + 20x4 ≥ 15(x1 + x2 + x3 + x4)
12x1 + 18x2 + 18x3 + 14x4 ≥ 15(x1 + x2 + x3 + x4)
76x1 + 62x2 + 70x3 + 66x4 = 70(x1 + x2 + x3 + x4)

Ограничение по количеству
x1 + x2 + x3 + x4 = 1 (кг)

Целевая функция
3,5x1 + 5,2x2 + 4x3 + 4,6x4  → min

Ответ: x1 = 0,25; x2 = 0; x3 = 0,375; x4 = 0,375 (решение можно получить через калькулятор или средствами Excel).

Пример №4. Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен в сутки потреблять не менее 63 усл.ед. белков, не менее 147 усл.ед. жиров и не менее 126 усл.ед. углеводов. Для простоты допустим, что имеется всего два вида продуктов и ; стоимость единицы каждого из них равна соответственно 12 и 9 ден.ед. Содержание названных питательных веществ в различных продуктах неодинаково. Предположим, что в единице продукта содержится 9 усл.ед. белков, 7 усл.ед. жиров 9 усл.ед. углеводов; а в единице продукта содержится соответственно 3, 21, 10 усл.ед. тех же питательных веществ. Требуется:

  1. составить экономико-математическую модель задачи, позволяющую сформировать из продуктов и суточную диету, которая с одной стороны содержала бы белков, жиров и углеводов не менее минимально научно обоснованных норм и вместе с тем требовала бы минимальных затрат;
  2. решить задачу графическим способом.
Решение.

x1 - продукт 1, x2 - продукт 2,
Целевая функция: 12x1+9x2 → min
Система ограничений:
9x1+3x2 ≥ 63
7x1+21x2 ≥ 147
9x1+10x2 ≥ 126

Задача о смесях

Постановка задачи: N ингредиентов - y1, y2, y3, y4. В результате смешивания этих ингредиентов в пропорциях g11:g12:g13:g14, g21:g22:g23:g24, g31:g32:g33:g34 и g41:g42:g43:g44 получают смесь n сортов x1, x2, x3, x4. Цена его реализации соответственно s1, s2, s3, s4.
Экономико-математическая модель задачи

 

Компоненты

Сорта

Объем ресурсов

x1

x2

x3

x4

N1

g11/Σg1i

g21/Σg2i

g31/Σg3i

g41/Σg4i

y1

N2

g12/Σg1i

g22/Σg2i

g32/Σg3i

g42/Σg4i

y2

N3

g13/Σg1i

g23/Σg2i

g33/Σg3i

g43/Σg4i

y3

N4

g14/Σg1i

g24/Σg2i

g34/Σg3i

g44/Σg4i

y4

Цена

s1

s2

s3

s4

 

Σg1i = g11 + g12 + g13 + g14

Целевая функция
F(x) = s1x1 + s2x2 + s3x3 + s4x4 → max

Ограничения
x1g11/Σg1i + x2g21/Σg2i + x3g31/Σg3i + x4g41/Σg4i ≤ y1
x1g12/Σg1i + x2g22/Σg2i + x3g32/Σg3i + x4g42/Σg4i ≤ y2
x1g13/Σg1i + x2g23/Σg2i + x3g33/Σg3i + x4g43/Σg4i ≤ y3
x1g14/Σg1i + x2g24/Σg2i + x3g34/Σg3i + x4g44/Σg4i ≤ y4

Перейти к составлению условий онлайн

Пример. Завод выпускает 4 вида полуфабрикатов Bi в количествах: В1 – 400 т, В2 – 250 т, В3 – 350 т и В4 – 100 т.
В результате смешения этих компонентов получают 3 вида продукции Aj. Пропорции смешиваемых полуфабрикатов следующие: для А1 – 2:3:5:2, для А2 – 3:1:2:1, для A3 – 2:2:1:3. Стоимость 1 т продукции Aj составляет: А1 – 12 руб., А2 – 10 руб., А3 – 15 руб.
Составить оптимальный план выпуска продукции по критерию:
а) максимальной стоимости выпущенной продукции;
б) максимального использования полуфабрикатов

Задача об оптимальном составе бетонной смеси

Для приготовления b0 кг бетонной смеси c заданными свойствами используются три вещества Аj (j = 1, 2, 3). В xj кг каждого вещества Аj содержится aijxj кг химического элемента Bi (i = 1, 2). Содержание элемента Bi в смеси должно находиться в пределах от bi1 до bi2 кг. Стоимость 1 кг каждого вещества Aj составляет cj руб.
Требуется определить такой состав для приготовления бетонной смеси, при котором общая стоимость израсходованных веществ была бы минимальной.
A1A2A3Нижняя границаВерхняя граница
a11a12a13b1b1
a21a22a23b2b2
c1c2c3  
Открыть диалог Discus Помощь в решении