Смешанное произведение векторов

Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов a, b, c (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора a на векторное произведение b x c, т. е. число a(b x c), или, что то же, (b x c)a.
Обозначение: abc.

Назначение. Онлайн-калькулятор предназначен для вычисления смешанного произведения векторов. Полученное решение сохраняется в файле Word. Дополнительно создается шаблон решения в Excel.

a (; ; )
b (; ; )
c (; ; )
При вычислении определителя использовать правило треугольников

Признаки компланарности векторов

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.
Если хотя бы один из трех векторов – нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

Признак компланарности. Если система a, b, c – правая, то abc>0; если левая, то abc<0. Если же векторы a, b, c компланарны, то abc=0. Иными словами обращение в нуль смешанного произведения abc есть признак компланарности векторов a,b,c.
Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, взятому со знаком плюс, если система a, b, c – правая, и со знаком минус, если эта система левая.

Свойства смешанного произведения

  1. При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
    Вытекает из геометрического смысла.
  2. (a+b)cd=acd+bcd (распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых.
    Вытекает из определения смешанного произведения.
  3. (ma)bc=m(abc) (сочетательное свойство относительно скалярного множителя).
    Вытекает из определения смешанного произведения. Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения.
  4. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю: aab=0.

Пример №1. Найти смешанное произведение. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc.

Пример №2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+aba+bcc+bca. Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того, bca=abc. Поэтому (a+b)(b+c)(c+a)=2abc.

Пример №3. Вычислить смешанное произведение трех векторов a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.
Решение. Чтобы вычислить смешанное произведение векторов, необходимо найти определитель системы, составленной из координат векторов. Запишем систему в виде:

A =
15205
2-414
3-621
Главный определитель:
∆ = 15 • ((-4) • 21-(-6) • 14)-2 • (20 • 21-(-6) • 5)+3 • (20 • 14-(-4) • 5) = 0
Поскольку определитель равен 0, то векторы являются компланарными (лежат в одной плоскости).

Примечание. Определитель матрицы можно найти несколькими способами:

  1. методом треугольников.
  2. методом Гаусса.
  3. через алгебраические дополнения (разложением по элементам первой строки).
  4. методом декомпозиции.
загрузка...