Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Задача Джонсона Симплекс метод Метод прогонки
Задача замены оборудования Задача распределения инвестиций
Параметры сетевой модели Задача коммивояжера Многоканальные СМО

Задача о целочисленном рюкзаке

Имеется транспортное средство грузоподъемностью L. Требуется заполнить его грузом, состоящим из предметов различных типов, чтобы стоимость всего груза оказалась максимальной.
Для этого введем соответствующие обозначения:
Wi – вес одного предмета i-го типа;
Pi – стоимость одного предмета i-го типа;
xi – число предметов i-го типа, загружаемых на имеющееся транспортное средство.
Необходимо подобрать груз максимальной ценности с учетом грузоподъемности транспортного средства L.
Математически формализовать данную экстремальную задачу можно следующим образом:
– стоимость груза, (1)
при ограничениях:
L ;
xi =0,1,... (т.е. предметы груза неделимы).
Решение задачи разбивается на n этапов, на каждом их которых определяется максимальная стоимость груза, состоящего из предметов первого типа (первый этап), первого и второго типов (второй этап)
и т.д. Для этого воспользуемся рекуррентным соотношением или критерием оптимальности Беллмана:
fn (L) = max [ xnPn + fn-1(L-xnWn)], (2)
0<xn< [L/Wn],
где fn(L) – максимальная стоимость груза, состоящего из предметов n-го типа;
xnPn – стоимость взятых предметов n-го типа;
fn-1(L-xnWn) – максимальная стоимость груза, состоящего из предметов (n-1) типа с общим весом не более L-xnWn;
[L/Wn] – наибольшее целое число, не превосходящее L/Wn.
Будем считать f0(L) = 0 для любого L. Последовательно найдя значение функции f1(L), f2(L), ..., fn(L), можно получить полное решение сформулированной задачи.

Пример №1.
Пусть:
W1 = 4, W2 = 3, W3 = 2, W4 = 1 (единиц груза);
P1 = 28, P2= 20,P3 = 13, P4 = 6 (денежных единиц);
L = 10 (единиц груза).
Найдем последовательно значения функций: f1(L), f2(L), f3(L), f4(L) при различных значениях L (0<L<10).

Решение данной задачи представлено в таблицах 1–4.
f1(L) = max ( 28x1); 0<x1< [10/4]; x1 =0, 1, 2.
Таблица 1 – Расчет значения функции f1(L )
L 0-3 4-7 8-10
f1(L) 0 28 56
x1 0 1 2

f2(L) = max [ x2.20 + f1(L-x2. 3)]; 0<x2< [10/3]; x2 =0, 1, 2,3.

Таблица 2 – Расчет значения функции f2(L)
L 0-2 3 4-5 6 7 8 9 10
f 2(L) 0 20 28 40 48 56 60 68
x2 0 1 0 2 1 0 3 2
f3(L) = max [ x3.13 + f2(L-x3. 2)]; 0<x3< [10/2]; x3 =0, 1, 2,3,4,5.
Таблица 3 – Расчет значения функции f3(L)
L 0-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f 3(L) 0 13 20 28 33 41 48 56 61 69
x3 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1

f4(L) = max [ x4 .6 + f3(L-x4. 1)]; 0<x4< [10/1]; x4 =0, 1, 2, …,10.
Таблица 4 – Расчет значения функции f4(L)
L 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f4(L) 0 6 13 20 28 34 41 48 56 62 69
x4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

Таким образом, максимальная стоимость груза f4(10) равна 69 денежным единицам, при этом предметы четвертого типа загружать не следует, так как f4(10) = 69 достигается при х4=0 (см. таблицу 10).
Предметы остальных типов распределяются следующим образом:
х3= 1, так как f3(10) = 69 достигается при х3= 1 (см. таблицу 9), следовательно, вес этого предмета равен двум единицам груза, поэтому остальные предметы можно загрузить лишь в пределах веса, равного
10-2=8 единицам груза;
f2(8) = 56 достигается при х2 = 0 (см. таблицу 8), следовательно, предметы второго типа брать не следует;
f1(8) = 56 достигается при х1= 2 (см. таблицу 7), следовательно, предметов первого типа следует взять два.
В итоге наилучший вариант загрузки транспортного средства достигается при значениях х1= 2; х2= 0; х3= 1; х4= 0 (берутся два предмета первого типа и один – третьего типа).

Пример №2. Самолет загружается предметами N различных типов (табл. 1) с весом wj и стоимостью cj, j = 1,n. Максимальная грузоподъемность равна W=5. Определить максимальную стоимость груза, вес которого не более W.
Таблица 1 - Исходные данные

Тип j Вес wj Стоимость cj
1 2 65
2 3 80
3 1 30

Решение. Сделаем математическую постановку. Пусть xj – количество предметов j-го типа, загружаемых в самолет. Тогда математическая модель имеет вид:
(1)
(2)
xj ≥ 0 (3)
xj – целые. (4)

Отличительными особенностями задачи динамического программирования будут:
1. Этап j связан с загрузкой предметов j-го типа в количестве xj единиц (xj – управляемая переменная);
2. Состояние загружаемого самолета Sj на этапе j определяется через ограничение (2) математической модели (1) –(4). В алгоритме прямой прогонки состояния ; 0 ≤ Sj ≤ W; Sn = W
В алгоритме обратной прогонки
3. Цель управления на этапе zj = cjxj.
4. Варианты решения xj этапа j описываются количеством предметов типа j: xj = 0,1,…, [W/wj]– целые.

Решим задачу методом обратной прогонки, загружая предметы с последнего типа (используя калькулятор).
Пусть Fj(Sj) – значение целевой функции (максимальная стоимость предметов, включенных на этапах j, j=1,..,n при заданном состоянии системы Sj

Рекуррентное соотношение для процедур обратной прогонки:

Этап 1.
F3(S3) = max{ c3x3};
x3 = 0,1,..,5;
S3 = 0,1,…,5;
S3 ≥ 1x3.

S3 c3x3 opt
x3=0 x3=1 x3=2 x3=3 x3=4 x3=5 F3*(S3) x3*
0 0 0 0
1 0 30 30 1
2 0 30 60 60 2
3 0 30 60 90 90 3
4 0 30 60 90 120 120 4
5 0 30 60 90 120 150 150 5

Этап 2. F2(S2) = max{c2x2 + F3(S2 – w2x2)}
x2 = 0,1
S2 = 0,1,..,5
S2 ≥ 2x2

S2
c2x2 + F3(S2 – w2x2) opt


x2=0 x2=1 F2*(S2) x2*

0
0 + 0 = 0
0 0

1
0 +30 = 30
30 0

2
0 + 60 = 60
60 0

3
0 + 90 = 90

80 + 0 = 80
90 0

4 0 + 120 = 120
80 + 30 = 110
120 0

5 0 + 150 = 150
80 + 60 = 140
150 0

Значение условного оптимума F3(S3) берется из предыдущей таблицы.
Этап 3. F1(S1) = max{c1x1 + F2(S1 – w1x1)};
x1 = 0,1,2;
S1=5.
S1 c1x1 + F2(S1 – w1x1) opt
x1=0 x1=1 x1=2 F1*(S1) x1*
5 0 + 150 = 150 65 + 90 = 155 130 + 30 +160 160 2

Определение управляемых переменных начинается с последней таблицы (обратный ход):
x1* = 2 → S1 = 2*2 = 4
S2 = 5-4 =1 → x2 = 0 → S3 = 1 – 0 = 1 → x3 = 1
Оптимальное решение X* = (2,0,1)

Пример №2. Имеется склад, на котором присутствует некоторый ассортимент товаров. Запас каждого товара неограничен. У каждого товара своя стоимость Ci и масса mi. Методом динамического программирования сформировать такой набор товаров, чтобы его суммарная масса не превышала заданную грузоподъемность М, и стоимость была бы максимальной.

Пример №3. На станок для обработки в течение цикла V = 4 мин. могут загружаться заготовки трех типов. В таблице1 содержатся исходные данные о суммарной продолжительности обработки заготовок i-го типа и их стоимости pi (i = 1, 2, 3). Ка-кими типами заготовок необходимо загрузить станок, чтобы суммарная стоимость обработанных деталей была максимальна?