Задача замены оборудования
Данный сервис предназначен для онлайн решения задачи оптимальной стратегии обновления оборудования. Обычно в исходных данных задаются следующие параметры:- r(t) - стоимость продукции, произведенной в течение каждого года планового периода с помощью этого оборудования;
- u(t) - ежегодные затраты, связанные с эксплуатацией оборудования;
- s(t) - остаточная стоимость оборудования;
- р - стоимость нового оборудования, включающая расходы, связанные с установкой, наладкой, запуском оборудования и не меняющаяся в данном плановом периоде.
Планирование капитальных вложений:
Постановка задачи
Важной практической задачей является определение оптимальных сроков замены старых станков, производственных зданий, агрегатов, машин и т.д., другими словами – старого оборудования, на новое. Критерием оптимальности при определении сроков замены может служить либо прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует максимизировать, либо суммарные затраты на эксплуатацию, подлежащие минимизации.Рассмотрим модель динамического программирования задачи о замене оборудования.
Определить оптимальные сроки замены оборудования в течение n лет, при которых прибыль от эксплуатации оборудования максимальна, если известны: Р – начальная стоимость оборудования; f(t) – стоимость производимой продукции на оборудовании возраста t лет; r(t) – стоимость эксплуатационных издержек;φ(t) – ликвидная стоимость оборудования возраста t лет.
При составлении модели ДП процесс замены рассматривается как n-шаговый процесс. В начале каждого промежутка (года, месяца, недели и т.д.) принимается решение либо о сокращении оборудования, либо о сохранении оборудования, либо о его замене, поэтому управление на k-м шаге содержит всего лишь две альтернативные переменные. Функциональные уравнения благодаря этому содержат две величины: одна выражает условную прибыль (условные затраты) при сохранении оборудования, другая – тот же показатель при замене оборудования.
Состояние системы в начале k-го шага: εk-1 = t – возраст оборудования. В конце k-го шага под влиянием управления uc (решение о сохранении оборудования) система перейдет в состояние εk-1 = t+1, т.е. возраст оборудования увеличится на один год. Под влиянием управления uз (решение о замене оборудования) система из состояния εk-1 = t перейдет в состояние εk-1 = 1, т.е. произвели замену оборудования в начале k-го года, поэтому в конце k-го года возраст оборудования равен одному году.
Таким образом, уравнение состояния имеет вид
(1)Используя обратную вычислительную схему решения, составим функциональное уравнение. Для этого найдем зависимость между двумя величинами, входящими в условие задачи, на двух смежных этапах. Если сохранить оборудование, возраст которого t лет, то прибыль предприятия от его использования состоит из прибыли на n-м шаге, которая рассчитывается как разность [f(t) – r(t)] и прибыли, полученной на (n + 1)-м шаге, считая от конца процесса, при работе оборудования, возраст которого (t + 1) лет, т.е.
Объединяя (2) и (3), получаем соотношения Беллмана:
, (4)
, (5)Пример. В начале планового периода продолжительностью в N лет имеется оборудование возраста t. Известны стоимость r(t) продукции, производимой в течение года с использованием этого оборудования; ежегодные расходы u(t), связанные с эксплуатацией оборудования; его остаточная стоимость s; стоимость p нового оборудования (сюда же включены расходы, связанные с установкой, наладкой и запуском оборудования). Требуется:
1) пользуясь функциональными уравнениями, составить матрицу максимальных прибылей fn(t) за N лет;
2) сформировать по матрице максимальных прибылей оптимальные стратегии замены оборудования данных возрастов t и t1 лет в плановом периоде продолжительностью соответственно N и N1 лет.
Пример №1. Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы в таблице, стоимость нового оборудования равна P = 13, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.
| t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| r(t) | 8 | 7 | 7 | 6 | 6 | 5 | 5 |
| s(t) | 12 | 10 | 8 | 8 | 7 | 6 | 4 |
I этап. Условная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1).
Переменной управления на k-м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (С) или заменить (З) оборудование в начале k-го года.
1-й шаг: k = 6. Для 1-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5,6, а функциональные уравнения имеют вид:
F6(t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (З) )
F6(1) = max(7 ; 10 - 13 + 8) = 7 (C)
F6(2) = max(7 ; 8 - 13 + 8) = 7 (C)
F6(3) = max(6 ; 8 - 13 + 8) = 6 (C)
F6(4) = max(6 ; 7 - 13 + 8) = 6 (C)
F6(5) = max(5 ; 6 - 13 + 8) = 5 (C)
F6(6) = max(5 ; 4 - 13 + 8) = 5 (C)
2-й шаг: k = 5. Для 2-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5, а функциональные уравнения имеют вид:
F5(t) = max(r(t) + F6(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F6(1))
F5(1) = max(7 + 7 ; 10 - 13 + 8 + 7) = 14 (C)
F5(2) = max(7 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 13 (C)
F5(3) = max(6 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 12 (C)
F5(4) = max(6 + 5 ; 7 - 13 + 8 + 7) = 11 (C)
F5(5) = max(5 + 5 ; 6 - 13 + 8 + 7) = 10 (C)
F5(6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 7) = 6 (З)
3-й шаг: k = 4. Для 3-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4, а функциональные уравнения имеют вид:
F4(t) = max(r(t) + F5(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F5(1))
F4(1) = max(7 + 13 ; 10 - 13 + 8 + 14) = 20 (C)
F4(2) = max(7 + 12 ; 8 - 13 + 8 + 14) = 19 (C)
F4(3) = max(6 + 11 ; 8 - 13 + 8 + 14) = 17 (C/З)
F4(4) = max(6 + 10 ; 7 - 13 + 8 + 14) = 16 (C/З)
F4(5) = max(5 + 6 ; 6 - 13 + 8 + 14) = 15 (З)
F4(6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 14) = 13 (З)
4-й шаг: k = 3. Для 4-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3, а функциональные уравнения имеют вид:
F3(t) = max(r(t) + F4(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F4(1))
F3(1) = max(7 + 19 ; 10 - 13 + 8 + 20) = 26 (C)
F3(2) = max(7 + 17 ; 8 - 13 + 8 + 20) = 24 (C)
F3(3) = max(6 + 16 ; 8 - 13 + 8 + 20) = 23 (З)
F3(4) = max(6 + 15 ; 7 - 13 + 8 + 20) = 22 (З)
F3(5) = max(5 + 13 ; 6 - 13 + 8 + 20) = 21 (З)
F3(6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 20) = 19 (З)
5-й шаг: k = 2. Для 5-го шага возможные состояния системы t = 1,2, а функциональные уравнения имеют вид:
F2(t) = max(r(t) + F3(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F3(1))
F2(1) = max(7 + 24 ; 10 - 13 + 8 + 26) = 31 (C/З)
F2(2) = max(7 + 23 ; 8 - 13 + 8 + 26) = 30 (C)
F2(3) = max(6 + 22 ; 8 - 13 + 8 + 26) = 29 (З)
F2(4) = max(6 + 21 ; 7 - 13 + 8 + 26) = 28 (З)
F2(5) = max(5 + 19 ; 6 - 13 + 8 + 26) = 27 (З)
F2(6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 26) = 25 (З)
6-й шаг: k = 1. Для 6-го шага возможные состояния системы t = 1, а функциональные уравнения имеют вид:
F1(t) = max(r(t) + F2(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F2(1))
F1(1) = max(7 + 30 ; 10 - 13 + 8 + 31) = 37 (C)
F1(2) = max(7 + 29 ; 8 - 13 + 8 + 31) = 36 (C)
F1(3) = max(6 + 28 ; 8 - 13 + 8 + 31) = 34 (C/З)
F1(4) = max(6 + 27 ; 7 - 13 + 8 + 31) = 33 (C/З)
F1(5) = max(5 + 25 ; 6 - 13 + 8 + 31) = 32 (З)
F1(6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 31) = 30 (З)
Результаты вычислений по уравнениям Беллмана Fk(t) приведены в таблице, в которой k - год эксплуатации, а t - возраст оборудования.
Таблица – Матрица максимальных прибылей
| k / t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 37 | 36 | 34 | 33 | 32 | 30 |
| 2 | 31 | 30 | 29 | 28 | 27 | 25 |
| 3 | 26 | 24 | 23 | 22 | 21 | 19 |
| 4 | 20 | 19 | 17 | 16 | 15 | 13 |
| 5 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 6 |
| 6 | 7 | 7 | 6 | 6 | 5 | 5 |
В таблице выделено значение функции, соответствующее состоянию (З) - замена оборудования.
При решении данной задачи в некоторых таблицах при оценке выбора нужного управления мы получали одинаковые значения F для обоих вариантов управления. В этом случае, в соответствии с алгоритмом решения подобных задач необходимо выбирать управление сохранения оборудования.
II этап. Безусловная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1).
По условию задачи возраст оборудования равен t1=1 годам. Плановый период N=6 лет.
К началу 1-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t1 = t0 + 1 = 0 + 1 = 1. Прибыль составит F1(1)=37.
Оптимальное управление при k = 1, x1(1) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 1-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 2-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t2 = t1 + 1 = 1 + 1 = 2. Прибыль составит F2(2)=30.
Оптимальное управление при k = 2, x2(2) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 2-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 3-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t3 = t2 + 1 = 2 + 1 = 3. Прибыль составит F3(3)=23.
Безусловное оптимальное управление при k = 3, x3(3)=(З), т.е. для получения максимума прибыли за оставшиеся годы необходимо в этом году провести замену оборудования.
К началу 4-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t4 = t3 + 1 = 0 + 1 = 1. Прибыль составит F4(1)=20.
Оптимальное управление при k = 4, x4(1) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 1-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 5-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t5 = t4 + 1 = 1 + 1 = 2. Прибыль составит F5(2)=13.
Оптимальное управление при k = 5, x5(2) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 2-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 6-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t6 = t5 + 1 = 2 + 1 = 3. Прибыль составит F6(3)=6.
Оптимальное управление при k = 6, x6(3) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 3-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
F1(1) → (C) → F2(2) → (C) → F3(3) → (З) → F4(1) → (C) → F5(2) → (C) → F6(3) → (C) →
Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести в начале 3-го года эксплуатации
Пример №2. Задача планирования капитальных вложений. Интервал планирования Т=5 лет. Функция затрат на ремонт и дальнейшую эксплуатацию K(t)=t+2t2 (р.); функция замены P(t)=10+0.05t2 (р.). Определить оптимальную стратегию замены и ремонта для нового оборудования (t=0) и оборудования возраста t=1, t=2, t=3.
Определить оптимальные планируемые затраты по годам пятилетки, если количество оборудования по возрастным группам следующие: n(t=0)=10, n(t=1)=12, n(t=2)=8, n(t=3)=5
Пример решения задачи о замене оборудования
Рассмотрим задачу о замене оборудования на следующем примере. В начале планового периода продолжительностью N = 4 года имеется оборудование, возраст которого t, причем оборудование не должно быть старше 6 лет (примем t = 2 года).ИЗВЕСТНЫ:
- r(t) - стоимость продукции, произведенной в течение каждого года планового периода с помощью этого оборудования;
- U(t) - ежегодные затраты, связанные с эксплуатацией оборудования (эти характеристики зависят от возраста оборудования;
- s - остаточная стоимость оборудования (принимаем s = 4 д.ед.), не зависящая от его возраста;
- р - стоимость нового оборудования, включающая расходы, связанные с установкой, наладкой, запуском оборудования и не меняющаяся в данном плановом периоде (р = 13 д.ед.)
Разработать оптимальную политику в отношении имеющегося оборудования, т.е. на начало каждого года планового периода установить, сохранить в этом году оборудование или продать его по остаточной стоимости s, или купить новое оборудование, чтобы ожидаемая прибыль за N лет достигла максимальной величины.
1. Составить матрицу максимальных прибылей Fn(t) за 4 года;
2. Сформулировать по матрице максимальных прибылей оптимальные стратегии замены оборудования возрастов t1 и t2 лет в плановом периоде, продолжительностью 4 и 3 года.
Таблица соответствия стоимости продукции и затрат от возраста
| Возраст t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Ст.продукции r(t) | 27 | 26 | 26 | 25 | 24 | 23 | 21 |
| Ст.расходов u(t) | 15 | 15 | 16 | 16 | 16 | 17 | 19 |
Решение находим с помощью калькулятора.
Математическая модель задачи:
Z = ΣFi(xi)→max
Экономический смысл переменных:
N - плановый период эксплуатации оборудования;
ZC - прибыль в случае сохранения оборудования;
ZЗ - прибыль в случае замены оборудования;
S0 - первоначальное состояние системы;
SHi - предполагаемый возраст оборудования в начале i-го периода, т.е. после того, как мы примем решение сохранить или заменить его;
Si - возраст в конце i-го периода;
r(t) - прибыль от эксплуатации;
u(t) - расходы на эксплуатацию;
s - остаточная стоимость оборудования;
p - стоимость нового оборудования;
t - возраст оборудования;
fi - доход на i-ом шаге;
Fi - максимальный доход на i-ом шаге.
Прибыль, если в начале года выбрано управление «сохранение» оборудования:
Zc = r(t) - u(t)
Прибыль в случае «замены»:
ZЗ = s - p + r(0) - u(0)
Состояние системы (S) характеризуется возрастом оборудования
t = 0, 1, …. Значение t = 0 соответствует новому оборудованию.
В формулах максимальная прибыль на очередном шаге определяется с учетом всех возможных состояний системы, в которых она может находиться сразу после принятия решения в начале данного года.
Основное функциональное уравнение на последнем N-ом шаге:
FN(SN-1, xN) = max ZN(SN-1, xN)
При произвольном шаге (i<N) основное функциональное уравнение принимает вид
Fi(Si-1, xN) = max {Zi(SHi, xi) + Fi+1(Si)}
Прибыль на i-ом шаге будет определяться следующей парой формул:
- при управлении «сохранение»
Fi(SHi, xi) = r(Si, xi) - u(SHi)
- при управлении «замена»
Zi(SHi, xi) = s - p + r(0) - u(0)
Для нашего примера расчет начинается с последнего, четвертого года планового периода:
F4(S3, x4) = max Z4(SH3, x4)
при этом:
- в случае «сохранения» оборудования:
Z4(SH4, x4) = r(SH4) - u(SH4)
- в случае «замены»:
Z4(SH4, x4) = 4 - 13 + 27 - 15 = 3
Составляется 1-ая таблица, рассматриваемая все возможные НАЧАЛЬНЫЕ состояния оборудования, т.е. его возраст S3 = 1 - 6 лет, начиная с конца - последнего шага.
Таблица 1. F4(S3, x4) = max Z4(SH3, x4)
Шаг 4
| Возраст S3 в конце 3-го шага | Управление x4 | Предполагаемый возраст SH4 в начале 4-го шага | Прибыль Z4 | Max доход на F4 шаге |
| 1 | Сохранение | 1 | 11 | 11 |
| Замена | 0 | 3 | ||
| 2 | Сохранение | 2 | 10 | 10 |
| Замена | 0 | 3 | ||
| 3 | Сохранение | 3 | 9 | 9 |
| Замена | 0 | 3 | ||
| 4 | Сохранение | 4 | 8 | 8 |
| Замена | 0 | 3 | ||
| 55 | Сохранение | 5 | 6 | 6 |
| Замена | 0 | 3 | ||
| 6 | Сохранение | 6 | 2 | 3 |
| Замена | 0 | 3 |
Анализ таблицы показывает, что заменять оборудование выгодно только в том случае, если его возраст уже равен 6 годам, т.е. по условиям оборудование нельзя использовать далее.
Теперь анализируем ситуацию перед третьим годом исследуемого периода.
F3(S2, x4) = max {Z3(SH3, x3) + F4(S3)}
при этом:
- в случае «сохранения оборудования»
Z3(SH3, x3) = r(SH3) - u(SH3)
- в случае «замены»
Z3(SH3, x3) = 4 - 13 + 27 - 15 = 3
Следует оптимизировать расходы за последний и предпоследний годы (за двухлетний период).
Оптимальная прибыль за 4-ый год берется из таблицы 1.
Учтем, что SH2 - возраст оборудования в начале третьего года сразу после принятия решения о его «сохранении» или «замене»;
S3 - возраст оборудования к концу третьего года.
Данные в колонку F4 переносятся из предыдущей таблице в соответствии со значением параметра S3.
Таблица 2. F3(S2, x4) = max {Z3(SH3, x3) + F4(S3)} Шаг 3
| S1 | x3 | SH2 | Z3 из таблицы 1 | Возраст S3 в конце 3 шага | F4 | Z3 + F4 | F3 |
| 1 | Сохранение | 1 | 11 | 2 | 10 | 21 | 21 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 11 | 14 | ||
| 2 | Сохранение | 2 | 10 | 3 | 9 | 19 | 19 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 11 | 14 | ||
| 3 | Сохранение | 3 | 9 | 4 | 8 | 17 | 17 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 11 | 14 | ||
| +4 | Сохранение | 4 | 8 | 5 | 6 | 14 | 14 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 11 | 14 | ||
| 5 | Сохранение | 5 | 6 | 6 | 3 | 9 | 14 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 11 | 14 | ||
| 6 | Сохранение | 6 | 2 | - | - | - | 14 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 11 | 14 |
Также проводится условная оптимизация на начало второго года (шаг 2) и составляется таблица 3.
Таблица 3. F2 (S1,x4) = max {Z2(SH2, x2) + F3(S2)} Шаг 2
| S1 | x2 | SH1 | Z2 | S2 | F3 | Z2 + F3 | F2 |
| 1 | Сохранение | 1 | 11 | 2 | 19 | 30 | 30 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
| 2 | Сохранение | 2 | 10 | 3 | 17 | 27 | 27 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
| 3 | Сохранение | 3 | 9 | 4 | 14 | 23 | 24 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
| 4 | Сохранение | 4 | 8 | 5 | 14 | 22 | 24 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
| 5 | Сохранение | 5 | 6 | 6 | 14 | 20 | 24 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
| 6 | Сохранение | 6 | 2 | - | - | - | 24 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 |
Также проводится условная оптимизация на начало первого года (шаг 1) и составляется таблица 4, которая завершает условную оптимизацию.
Таблица 4. F1 (S0, x4) = max {Z1(SH1, x1) + F2(S1)} Шаг 1
| S1 | x2 | SH1 | Z2 | S2 | F3 | Z2 + F3 | F2 |
| 1 | Сохранение | 1 | 11 | 2 | 19 | 30 | 30 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
| 2 | Сохранение | 2 | 10 | 3 | 17 | 27 | 27 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
| 3 | Сохранение | 3 | 9 | 4 | 14 | 23 | 24 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
| 4 | Сохранение | 4 | 8 | 5 | 14 | 22 | 24 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
| 5 | Сохранение | 5 | 6 | 6 | 14 | 20 | 24 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
| 6 | Сохранение | 6 | 2 | - | - | - | 24 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 |
С помощью таблиц условной оптимизации можно сформулировать оптимальную политику в отношении оборудования любого возраста не старше 6 лет в течение 4-х летнего периода.
Для наглядности основные результаты, содержащиеся в последних столбцах четырех последних построенных таблиц, оформляются в виде сводной таблицы, которая называется матрицей максимальных прибылей, и выделяются элементы, ниже которых расположены показатели суммарной прибыли, соответствующие выбору управления «ЗАМЕНА».
Элементы, расположенные выше линии выделения, находятся в области «СОХРАНЕНИЯ» оборудования.
Матрица максимальных прибылей
| t | ГОДЫ | |||
| 1-4 | 2-4 | 3-4 | 4 | |
| 0 | 42 | - | - | - |
| 1 | 38 | 30 | 21 | 11 |
| 2 | 34 | 27 | 19 | 10 |
| 3 | 33 | 24 | 17 | 9 |
| 4 | 33 | 24 | 14 | 8 |
| 5 | 33 | 24 | 14 | 6 |
| 6 | 33 | 24 | 14 | 3 |
Сформулируем оптимальную политику в отношении оборудования, возраст которого 2 года.
В матрице прибылей для t = 2 в первой колонке стоит суммарная прибыль 34 д.ед. за четыре года, при этом выбор управления «СОХРАНЕНИЕ».
К началу второго года возраст оборудования составит 3 года, поэтому в следующей колонке выбирается строка, соответствующая возрасту 3 года.
Оптимальная прибыль за второй - четвертый годы - 24 д.ед., и мы находимся в области «ЗАМЕНЫ» оборудования, следовательно, к началу 3-го года оборудование будет иметь возраст 1 год.
Прибыль за третий - четвертый годы для такого оборудования равна 21 д.ед., за последний четвертый год - 10 д.ед. (при возрасте t = 2).
ВЫВОД: рекомендуется замена оборудования в начале 2-го года эксплуатации.
Перейти к онлайн решению своей задачи
Выбор оптимальной стратегии обновления оборудования
Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы в таблице, стоимость нового оборудования равна P = 10, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.| T | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| r(t) | 8 | 8 | 7 | 7 | 6 | 6 | 5 |
| S(t) | 10 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 |
Решение находим с помощью калькулятора.
I этап. Условная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1).
Переменной управления на k-м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (С) или заменить (З) оборудование в начале k-го года.
1-й шаг: k = 6. Для 1-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5,6, а функциональные уравнения имеют вид:
F6(t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (З ) )
F6(1) = max(8 ; 7 - 10 + 8) = 8 (C)
F6(2) = max(7 ; 6 - 10 + 8) = 7 (C)
F6(3) = max(7 ; 5 - 10 + 8) = 7 (C)
F6(4) = max(6 ; 4 - 10 + 8) = 6 (C)
F6(5) = max(6 ; 3 - 10 + 8) = 6 (C)
F6(6) = max(5 ; 2 - 10 + 8) = 5 (C)
2-й шаг : k = 5. Для 2-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5, а функциональные уравнения имеют вид:
F5(t) = max(r(t) + F6(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F6(1))
F5(1) = max(8 + 7 ; 7 - 10 + 8 + 8) = 15 (C)
F5(2) = max(7 + 7 ; 6 - 10 + 8 + 8) = 14 (C)
F5(3) = max(7 + 6 ; 5 - 10 + 8 + 8) = 13 (C)
F5(4) = max(6 + 6 ; 4 - 10 + 8 + 8) = 12 (C)
F5(5) = max(6 + 5 ; 3 - 10 + 8 + 8) = 11 (C)
3-й шаг : k = 4. Для 3-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4, а функциональные уравнения имеют вид:
F4(t) = max(r(t) + F5(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F5(1))
F4(1) = max(8 + 14 ; 7 - 10 + 8 + 15) = 22 (C)
F4(2) = max(7 + 13 ; 6 - 10 + 8 + 15) = 20 (C)
F4(3) = max(7 + 12 ; 5 - 10 + 8 + 15) = 19 (C)
F4(4) = max(6 + 11 ; 4 - 10 + 8 + 15) = 17 (C/ З )
4-й шаг : k = 3. Для 4-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3, а функциональные уравнения имеют вид:
F3(t) = max(r(t) + F4(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F4(1))
F3(1) = max(8 + 20 ; 7 - 10 + 8 + 22) = 28 (C)
F3(2) = max(7 + 19 ; 6 - 10 + 8 + 22) = 26 (C/ З )
F3(3) = max(7 + 17 ; 5 - 10 + 8 + 22) = 25 ( З )
5-й шаг : k = 2. Для 5-го шага возможные состояния системы t = 1,2, а функциональные уравнения имеют вид:
F2(t) = max(r(t) + F3(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F3(1))
F2(1) = max(8 + 26 ; 7 - 10 + 8 + 28) = 34 (C)
F2(2) = max(7 + 25 ; 6 - 10 + 8 + 28) = 32 (C/ З )
6-й шаг : k = 1. Для 6-го шага возможные состояния системы t = 1, а функциональные уравнения имеют вид:
F1(t) = max(r(t) + F2(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F2(1))
F1(1) = max(8 + 32 ; 7 - 10 + 8 + 34) = 40 (C)
Результаты вычислений по уравнениям Беллмана Fk(t) приведены в таблице, в которой k - год эксплуатации, а t - возраст оборудования.
| k / t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 40 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 34 | 32 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 28 | 26 | 25 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 22 | 20 | 19 | 17 | 0 | 0 |
| 5 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 0 |
| 6 | 8 | 7 | 7 | 6 | 6 | 5 |
В таблице выделено значение функции, соответствующее состоянию (З) - замена оборудования.
II этап. Безусловная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1)
Безусловная оптимизация начинается с шага при k = 1. Максимальной возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с 1-го по 7-й составляет F1(1) = 40. Этот оптимальный выигрыш достигается, если на первом году не производить замены оборудования.
К началу 2-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t2 = t1 + 1 = 1 + 1 = 2.
Безусловное оптимальное управление при k = 2, x2(2) = (C/З), т.е. для получения максимума прибыли за оставшиеся годы необходимо в этом году провести замену оборудования.
К началу 3-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t3 = t2 + 1 = 0 + 1 = 1.
Оптимальное управление при k = 3, x3(1) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 3-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 4-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t4 = t3 + 1 = 1 + 1 = 2.
Оптимальное управление при k = 4, x4(2) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 4-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 5-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t5 = t4 + 1 = 2 + 1 = 3.
Оптимальное управление при k = 5, x5(3) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 5-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 6-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t6 = t5 + 1 = 3 + 1 = 4.
Оптимальное управление при k = 6, x6(4) = (C), т.е. максимум дохода за 6-ой год достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести в начале 2-го года эксплуатации.