Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Задача Джонсона Симплекс метод Метод прогонки
Задача замены оборудования Задача распределения инвестиций
Параметры сетевой модели Задача коммивояжера Многоканальные СМО

Задача замены оборудования

Данный сервис предназначен для онлайн решения задачи оптимальной стратегии обновления оборудования. Обычно в исходных данных задаются следующие параметры: Если стоимость оборудования не указана, будет решаться задача с функциями затрат и замены (задача планирования капитальных вложений).
Инструкция. Выберите количество лет (период эксплуатации), нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример).
Период эксплуатации (в годах)
Стоимость нового оборудования: P=
Планирование капитальных вложений.
Пример №1. Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы в таблице, стоимость нового оборудования равна P = 13, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.
t0123456
r(t)8776655
s(t)121088764
Решение.
I этап. Условная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1).
Переменной управления на k-м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (С) или заменить (З) оборудование в начале k-го года.
1-й шаг: k = 6. Для 1-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5,6, а функциональные уравнения имеют вид:
F6(t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (З) )
F6(1) = max(7 ; 10 - 13 + 8) = 7 (C)
F6(2) = max(7 ; 8 - 13 + 8) = 7 (C)
F6(3) = max(6 ; 8 - 13 + 8) = 6 (C)
F6(4) = max(6 ; 7 - 13 + 8) = 6 (C)
F6(5) = max(5 ; 6 - 13 + 8) = 5 (C)
F6(6) = max(5 ; 4 - 13 + 8) = 5 (C)
2-й шаг: k = 5. Для 2-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5, а функциональные уравнения имеют вид:
F5(t) = max(r(t) + F6(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F6(1))
F5(1) = max(7 + 7 ; 10 - 13 + 8 + 7) = 14 (C)
F5(2) = max(7 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 13 (C)
F5(3) = max(6 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 12 (C)
F5(4) = max(6 + 5 ; 7 - 13 + 8 + 7) = 11 (C)
F5(5) = max(5 + 5 ; 6 - 13 + 8 + 7) = 10 (C)
F5(6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 7) = 6 (З)
3-й шаг: k = 4. Для 3-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4, а функциональные уравнения имеют вид:
F4(t) = max(r(t) + F5(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F5(1))
F4(1) = max(7 + 13 ; 10 - 13 + 8 + 14) = 20 (C)
F4(2) = max(7 + 12 ; 8 - 13 + 8 + 14) = 19 (C)
F4(3) = max(6 + 11 ; 8 - 13 + 8 + 14) = 17 (C/З)
F4(4) = max(6 + 10 ; 7 - 13 + 8 + 14) = 16 (C/З)
F4(5) = max(5 + 6 ; 6 - 13 + 8 + 14) = 15 (З)
F4(6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 14) = 13 (З)
4-й шаг: k = 3. Для 4-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3, а функциональные уравнения имеют вид:
F3(t) = max(r(t) + F4(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F4(1))
F3(1) = max(7 + 19 ; 10 - 13 + 8 + 20) = 26 (C)
F3(2) = max(7 + 17 ; 8 - 13 + 8 + 20) = 24 (C)
F3(3) = max(6 + 16 ; 8 - 13 + 8 + 20) = 23 (З)
F3(4) = max(6 + 15 ; 7 - 13 + 8 + 20) = 22 (З)
F3(5) = max(5 + 13 ; 6 - 13 + 8 + 20) = 21 (З)
F3(6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 20) = 19 (З)
5-й шаг: k = 2. Для 5-го шага возможные состояния системы t = 1,2, а функциональные уравнения имеют вид:
F2(t) = max(r(t) + F3(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F3(1))
F2(1) = max(7 + 24 ; 10 - 13 + 8 + 26) = 31 (C/З)
F2(2) = max(7 + 23 ; 8 - 13 + 8 + 26) = 30 (C)
F2(3) = max(6 + 22 ; 8 - 13 + 8 + 26) = 29 (З)
F2(4) = max(6 + 21 ; 7 - 13 + 8 + 26) = 28 (З)
F2(5) = max(5 + 19 ; 6 - 13 + 8 + 26) = 27 (З)
F2(6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 26) = 25 (З)
6-й шаг: k = 1. Для 6-го шага возможные состояния системы t = 1, а функциональные уравнения имеют вид:
F1(t) = max(r(t) + F2(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F2(1))
F1(1) = max(7 + 30 ; 10 - 13 + 8 + 31) = 37 (C)
F1(2) = max(7 + 29 ; 8 - 13 + 8 + 31) = 36 (C)
F1(3) = max(6 + 28 ; 8 - 13 + 8 + 31) = 34 (C/З)
F1(4) = max(6 + 27 ; 7 - 13 + 8 + 31) = 33 (C/З)
F1(5) = max(5 + 25 ; 6 - 13 + 8 + 31) = 32 (З)
F1(6) = max(5 + ; 4 - 13 + 8 + 31) = 30 (З)
Результаты вычислений по уравнениям Беллмана Fk(t) приведены в таблице, в которой k - год эксплуатации, а t - возраст оборудования.
Таблица – Матрица максимальных прибылей
k / t123456
1373634333230
2313029282725
3262423222119
4201917161513
514131211106
6776655

В таблице выделено значение функции, соответствующее состоянию (З) - замена оборудования.
При решении данной задачи в некоторых таблицах при оценке выбора нужного управления мы получали одинаковые значения F для обоих вариантов управления. В этом случае, в соответствии с алгоритмом решения подобных задач необходимо выбирать управление сохранения оборудования.
II этап. Безусловная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1).
По условию задачи возраст оборудования равен t1=1 годам. Плановый период N=6 лет.
К началу 1-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t1 = t0 + 1 = 0 + 1 = 1. Прибыль составит F1(1)=37.
Оптимальное управление при k = 1, x1(1) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 1-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 2-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t2 = t1 + 1 = 1 + 1 = 2. Прибыль составит F2(2)=30.
Оптимальное управление при k = 2, x2(2) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 2-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 3-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t3 = t2 + 1 = 2 + 1 = 3. Прибыль составит F3(3)=23.
Безусловное оптимальное управление при k = 3, x3(3)=(З), т.е. для получения максимума прибыли за оставшиеся годы необходимо в этом году провести замену оборудования.
К началу 4-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t4 = t3 + 1 = 0 + 1 = 1. Прибыль составит F4(1)=20.
Оптимальное управление при k = 4, x4(1) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 1-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 5-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t5 = t4 + 1 = 1 + 1 = 2. Прибыль составит F5(2)=13.
Оптимальное управление при k = 5, x5(2) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 2-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 6-го года эксплуатации возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t6 = t5 + 1 = 2 + 1 = 3. Прибыль составит F6(3)=6.
Оптимальное управление при k = 6, x6(3) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 3-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
F1(1) → (C) → F2(2) → (C) → F3(3) → (З) → F4(1) → (C) → F5(2) → (C) → F6(3) → (C) →
Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести в начале 3-го года эксплуатации

Пример №2. Задача планирования капитальных вложений. Интервал планирования Т=5 лет. Функция затрат на ремонт и дальнейшую эксплуатацию K(t)=t+2t2 (р.); функция замены P(t)=10+0.05t2 (р.). Определить оптимальную стратегию замены и ремонта для нового оборудования (t=0) и оборудования возраста t=1, t=2, t=3.
Определить оптимальные планируемые затраты по годам пятилетки, если количество оборудования по возрастным группам следующие: n(t=0)=10, n(t=1)=12, n(t=2)=8, n(t=3)=5