Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Задача Джонсона Симплекс метод Метод прогонки
Задача замены оборудования Задача распределения инвестиций
Параметры сетевой модели Задача коммивояжера Многоканальные СМО

Задача распределения ресурсов

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор предназначен для решения задачи оптимального распределения ресурсов заданных в виде функций f(x). Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word (см. пример оформления).
Инструкция. Выберите количество предприятий.
Количество предприятий

Пример №1. Планируется работа двух предприятий на n лет. Начальные ресурсы равны s0. Средства x, вложенные в 1-е предприятие в начале года, дают в конце года прибыль f1(x), и возвращаются в размере g1(x). Средства y, вложенные в 2-е предприятие в начале года, дают в конце года прибыль f2(y) и возвращаются в размере g2(y). В конце года возвращенные средства заново перераспределяются между отраслями. Определить оптимальный план распределения средств и найти максимальную прибыль.

Задачу решим методом динамического программирования. Операцию управления производственным процессом разобьём на этапы. На каждом из них управление выберем так, чтобы оно приводило к выигрышу как на данном этапе, так и на всех последующих до конца операции. В этом состоит принцип оптимальности, сформулированный американским математиком А. Беллманом.
Разобьём весь период на три этапа по годам и будем нумеровать их, начиная с первого.
Обозначим через xk и yk количество средств выделяемых каждому предприятию на k-ом этапе, а через xk + yk = ak – общее количество средств на этом этапе. Тогда первое предприятие приносит на этом этапе 3 xk, а второе 4 yk единиц дохода. Общий доход на k-ом этапе 3xk + 4yk.
Обозначим через fk (ak) – максимальный доход, который получает отрасль от обоих предприятий на k-ом и всех последующих. Тогда функциональное уравнение, отражающее принцип оптимальности Беллмана, принимает вид:
fk (ak)=max{3xk + 4yk + fk+1 (ak+1)}. (1)
Так как xk + yk = ak, то yk = ak - xk и 3xk + 4yk = 3xk + 4(ak - xk) = - xk + 4ak. Поэтому fk(ak) = max{-xk + 4ak + fk+1(ak+1)}. (2)
0 ≤ xk ≤ ak
Кроме того, ak – это средства выделяемые обои предприятиям на k-ом этапе, и они определяются остатком средств, получаемых на предыдущем (k-1)-ом этапе. Поэтому по условию задачи оптимальное управление на каждом этапе
ak = 0,5xk-1 + 0,2yk-1 = 0,5xk-1+0,2(ak-1 - xk-1) = 0,3xk-1+0,2ak-1. (3)

I.Условия оптимизации
Планирование начинаем с последнего третьего этапа

При k = 3 получаем из (2)
f3(a3) = max {- x3 + 4a3 + f4(a4)}
0 ≤ x3 ≤ a3
Так как четвёртого этапа нет, то f4(a4)=0 и
f3(a3) = max {- x3 + 4a3}=4a3
0 ≤ x3 ≤ a3
(максимум выражения (- x3 + 4a3) будет при x3 =0)).

Итак, для третьего последнего этапа имеем: f3(a3) = 4a3, x3 = 0,y3 = a3 - x3 = a3,
где a3 = 0,3x2 + 0,2a2, что следует из формулы (3).

При k = 2 из (2) и (3) получаем:
f(a2) = max {-x2 + 4a2 + f3(a3)}=
0 ≤ x ≤ a2
= max {-x2 + 4a2 + 4a3}= max {-x2 + 4a2 + 4(0,3x2 + 0,2a2)} max{0,2x2 + 4,8a2} 5a
0 ≤ x ≤ a2
т. к. максимум выражения (0,2x2 + 4,8a2) будет при x2 = a2.
То для второго этапа имеем: f 2(a2) = 5a2 , x2 = a2 , y2 = a2 x2 = 0 , при этом
a2 = 0,3x1 + 0,2a1 с учетом (3).
При k = 1 с учетом (2) и (3) получаем:
f1(a1) = max {-x1 + 4a1 + f2(a2)}=
0 ≤ x ≤ a1
= max {-x1 + 4a1 + 5a2}= max {-x1 + 4a2 + 5(0,3x1 + 0,2a2)}= max {0,5x1 + 5a1}=5,5a1
0 ≤ x ≤ a1
при x1 = a1.
Итак, для первого этапа f1(a1) = 5,5a1, x1 = a1, y1 = 0.
Процесс закончен. На первом этапе общее количество распределяемых средств известно –a1 = 900 ед. Тогда максимальный доход, получаемый обоими предприятиями за три года составит f1(a1) = 5,5*900 = 4950 ден. ед.

II. Безусловная оптимизация
Выясним, каким должно быть оптимальное управление процессом выделения средств между первым и вторым предприятиями для получения максимального дохода в количестве 4950 ден. ед.
1-й год. Так как x1 = a1 и , y1 = 0, то все средства в количестве 900 ден. ед. отдаются первому предприятию.
2-й год. Выделяются средства a2 = 0,3x1 + 0,2a1 = 0,5 a1 =450 ед., x2 = a2 , y2 = 0.
Все они передаются первому предприятию.
3-й год. Выделяются средства a3 = 0,3x2 + 0,2a2 = 0,5 a2 = 225 ед., x3 = 0, y3 = a3 . Все они передаются второму предприятию.
Результаты решения представим в виде таблицы.

Период Средства Предприятие №1 Предприятие №2 Остаток Доход
1 900 900 0 450 2700
2 450 450 0 225 1350
3 225 0 225 45 900
4950

Пример №2. Оптимальное поэтапное распределение средств между предприятиями в течении планового периода.
Руководство фирмы, имеющей договор о сотрудничестве с тремя малыми предприятия, на плановый годовой период выделила для них оборотные средства в объеме 100000 у.е. Для каждого предприятия известны функции поквартального дохода и поквартального остатка оборотных средств в зависимости от выделенной на квартал суммы x. В начале квартала средства распределяются полностью между тремя предприятиями (из этих вложенных средств и вычисляется доход), а по окончанию квартала остатки средств аккамулируются у руководства фирмы и снова распределяются полностью между предприятиями.
Составить план поквартального распределения средств на год (4 квартала), позволяющего достичь максимальный общий доход за год.
f1(x)=1,2x, f2(x)=1.5x, f3(x)=2x; g1(x)=0.7x, g2(x)=0.6x, g3(x)=0.1x

Задача распределения средств на два года

Найти оптимальный способ распределения средств S0 = 100 тыс.руб между двумя предприятиями на два года, если вложенные средства в первое предприятие дают доход f1(x) = 0.9x и возвращаются в размере j1(x) = 0.5x. Аналогично, для второго предприятия f2(x) = 0.8x и j2(x) = 0.7x.
1 предприятие 2 предприятие Всего
Средства в начале года 1 года х1 100-х1 100
Прибыль на первом году 0,9х1 0,8(100-х1) (0,9-0,8)х1+80
Возврат денег 0,5х1 0,7(100-х1) (0,5-0,7)х1+70 =70-0,2х1
Средства в начале 2 года х2 70-0,2х1- х2 70-0,2х1
Прибыль во втором году 0,9х2 0,8(70-0,2х1- х2) 56-0,16х1+0,1х2
Прибыль за два года 0,1х1+80+56-0,16х1+0,1х2=136-0,6х1+0,1х2
Отсюда можно сделать вывод о том, что х1=0, х2=70, максимальная прибыль за два года составит 143 ден. ед.