Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Задача Джонсона Симплекс метод Метод прогонки
Задача замены оборудования Задача распределения инвестиций
Параметры сетевой модели Задача коммивояжера Многоканальные СМО

Двумерная модель распределения ресурсов

Имеется начальное количество средств ε0, которое необходимо распределить в течение n лет между двумя предприятиями. Средства х, вложенные в предприятие 1, приносят к концу года доход f1(x) и возвращаются в размере ε 1(x) < x. Аналогично средства х, вложенные в предприятие 2, дают доход f2(x) и возвращаются в размере ε 2(x) < x. По истечении года все оставшиеся средства заново перераспределяются между предприятиями 1 и 2, новых средств не поступает, и доход в производство не вкладывается. Требуется найти оптимальный способ распределения имеющихся средств.
Рассматриваемый процесс – n-шаговый, номер шага соответствует номеру года. Параметр состояния εk-1 ,k = 1…n  – количество средств, которые следует перераспределить в начале k-го года. Переменные управления на каждом шаге xk1 и xk2 – количество средств, выделяемых соответственно предприятиям 1 и 2. Так как средства ежегодно перераспределяются полностью, то
xk2 = εk-1 – xk1, k = 1… n                                (1)
Поэтому для каждого шага задача становится одномерной: управление xk = xk1, тогда xk2 = εk-1 – xk1.
Показатель эффективности k-го шага Fk = f1(xk) + f2 k-1 - xk) – доход, полученный от двух предприятий в течение k-го года. Показатель эффективности всей задачи – доход, полученный от двух предприятий в течение n лет:
(2)
Уравнения состояния – остаток средств ε k после k-го шага:
εk = φ 1(xk) +  φ 2k-1 - xk)                                  (3)
На основе приведенных выше рассуждений можно записать рекуррентные соотношения Беллмана, которые будут иметь вид

где ε k определяется из уравнения состояния.
Пример. Имеется начальное количество средств ε0 = 10 000, которое необходимо распределить в течение трех лет между двумя предприятиями. Средства х, вложенные в предприятие 1, приносят к концу года доход f1(x) = 0,4x и возвращаются в размере φ 1(x) = 0,5x. Аналогично средства х, вложенные в предприятие 2, дают доход f2(x) = 0,3x и возвращаются в размере φ 2(x) = 0,8x. По истечении года все оставшиеся средства заново перераспределяются между предприятиями 1 и 2, новых средств не поступает, и доход в производство не вкладывается. Требуется найти оптимальный способ распределения имеющихся средств.
Решение проводим с помощью калькулятора. Показатель эффективности k-го шага равен
Fk = 0,4xk + 0,3(εk-1 - xk) = 0,1xk + 0,3εk-1
уравнение состояния принимает вид
εk = 0,5xk + 0,8(ε k-1 - xk ) = 0,8ε k-1 – 0,3xk
Тогда рекуррентные соотношения Беллмана запишутся следующим образом:


Проведем этап условной оптимизации.
3-й шаг:
.
так как показатель эффективности F3*(ε2) является линейной функцией относительно x3 и эта переменная входит в выражение со знаком плюс, то он достигает максимума в конце интервала 0 ≤x3 ≤ ε2, т.е. при  x3 = ε2.
2-й шаг:

так как показатель эффективности F2*(ε1) является линейной функцией относительно x2 и эта переменная входит в выражение со знаком минус, то он достигает максимума в начале интервала 0 ≤x2 ≤ ε1, т. е. при  x2 = 0.
1-й шаг:

так как показатель эффективности F1*(ε0) является линейной функцией относительно x1 и эта переменная входит в выражение со знаком минус, то он достигает максимума в начале интервала 0 ≤x1 ≤ ε0, т. е. при  x1 = 0.
Этап безусловной оптимизации.
Так как ε0 = 10 000, то Fmax = F1*(ε0) = 7960 и x1 = 0. Зная x1, находим ε1 = 0,8*10000 – 0,3*0 = 8000.
Так как ε1 = 8000  и x2 = 0, то ε2 = 0,8*8000 – 0,3*0 = 6400.
Далее находим x3, поскольку x3 = ε2, x3 = 6400.
В результате средства по годам (табл.) оптимальным образом распределяются так:
Предприятие 1-й год 2-й год 3-й год
1 0 0 6 400
2 10 000 8 000 0