Выбор оптимальной стратегии обновления оборудования

Решение находим с помощью калькулятора.
I этап. Условная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1).
Переменной управления на k-м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (С) или заменить (З) оборудование в начале k-го года.
1-й шаг: k = 6. Для 1-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5,6, а функциональные уравнения имеют вид:
F₆(t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (З ) )
F₆(1) = max(8 ; 7 - 10 + 8) = 8 (C)
F₆(2) = max(7 ; 6 - 10 + 8) = 7 (C)
F₆(3) = max(7 ; 5 - 10 + 8) = 7 (C)
F₆(4) = max(6 ; 4 - 10 + 8) = 6 (C)
F₆(5) = max(6 ; 3 - 10 + 8) = 6 (C)
F₆(6) = max(5 ; 2 - 10 + 8) = 5 (C)
2-й шаг : k = 5. Для 2-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5, а функциональные уравнения имеют вид:
F₅(t) = max(r(t) + F₆(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F₆(1))
F₅(1) = max(8 + 7 ; 7 - 10 + 8 + 8) = 15 (C)
F₅(2) = max(7 + 7 ; 6 - 10 + 8 + 8) = 14 (C)
F₅(3) = max(7 + 6 ; 5 - 10 + 8 + 8) = 13 (C)
F₅(4) = max(6 + 6 ; 4 - 10 + 8 + 8) = 12 (C)
F₅(5) = max(6 + 5 ; 3 - 10 + 8 + 8) = 11 (C)
3-й шаг : k = 4. Для 3-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4, а функциональные уравнения имеют вид:
F₄(t) = max(r(t) + F₅(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F₅(1))
F₄(1) = max(8 + 14 ; 7 - 10 + 8 + 15) = 22 (C)
F₄(2) = max(7 + 13 ; 6 - 10 + 8 + 15) = 20 (C)
F₄(3) = max(7 + 12 ; 5 - 10 + 8 + 15) = 19 (C)
F₄(4) = max(6 + 11 ; 4 - 10 + 8 + 15) = 17 (C/ З )
4-й шаг : k = 3. Для 4-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3, а функциональные уравнения имеют вид:
F₃(t) = max(r(t) + F₄(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F₄(1))
F₃(1) = max(8 + 20 ; 7 - 10 + 8 + 22) = 28 (C)
F₃(2) = max(7 + 19 ; 6 - 10 + 8 + 22) = 26 (C/ З )
F₃(3) = max(7 + 17 ; 5 - 10 + 8 + 22) = 25 ( З )
5-й шаг : k = 2. Для 5-го шага возможные состояния системы t = 1,2, а функциональные уравнения имеют вид:
F₂(t) = max(r(t) + F₃(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F₃(1))
F₂(1) = max(8 + 26 ; 7 - 10 + 8 + 28) = 34 (C)
F₂(2) = max(7 + 25 ; 6 - 10 + 8 + 28) = 32 (C/ З )
6-й шаг : k = 1. Для 6-го шага возможные состояния системы t = 1, а функциональные уравнения имеют вид:
F₁(t) = max(r(t) + F₂(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F₂(1))
F₁(1) = max(8 + 32 ; 7 - 10 + 8 + 34) = 40 (C)
Результаты вычислений по уравнениям Беллмана F_k(t) приведены в таблице, в которой k - год эксплуатации, а t - возраст оборудования.

II этап. Безусловная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1)
Безусловная оптимизация начинается с шага при k = 1. Максимальной возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с 1-го по 7-й составляет F₁(1) = 40. Этот оптимальный выигрыш достигается, если на первом году не производить замены оборудования.
К началу 2-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t₂ = t₁ + 1 = 1 + 1 = 2.
Безусловное оптимальное управление при k = 2, x₂(2) = (C/З), т.е. для получения максимума прибыли за оставшиеся годы необходимо в этом году провести замену оборудования.
К началу 3-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t₃ = t₂ + 1 = 0 + 1 = 1.
Оптимальное управление при k = 3, x₃(1) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 3-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 4-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t₄ = t₃ + 1 = 1 + 1 = 2.
Оптимальное управление при k = 4, x₄(2) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 4-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 5-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t₅ = t₄ + 1 = 2 + 1 = 3.
Оптимальное управление при k = 5, x₅(3) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 5-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 6-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t₆ = t₅ + 1 = 3 + 1 = 4.
Оптимальное управление при k = 6, x₆(4) = (C), т.е. максимум дохода за 6-ой год достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.

Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести в начале 2-го года эксплуатации.

Перейти к онлайн решению своей задачи