Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Задача Джонсона Симплекс метод Метод прогонки
Задача замены оборудования Задача распределения инвестиций
Параметры сетевой модели Задача коммивояжера Многоканальные СМО

Выбор оптимальной стратегии обновления оборудования

Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы в таблице, стоимость нового оборудования равна P = 10, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.
T0123456
r(t)8877665
S(t)10765432

Решение находим с помощью калькулятора.
I этап. Условная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1).
Переменной управления на k-м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (С) или заменить (З) оборудование в начале k-го года.
1-й шаг: k = 6. Для 1-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5,6, а функциональные уравнения имеют вид:
F6(t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (З ) )
F6(1) = max(8 ; 7 - 10 + 8) = 8 (C)
F6(2) = max(7 ; 6 - 10 + 8) = 7 (C)
F6(3) = max(7 ; 5 - 10 + 8) = 7 (C)
F6(4) = max(6 ; 4 - 10 + 8) = 6 (C)
F6(5) = max(6 ; 3 - 10 + 8) = 6 (C)
F6(6) = max(5 ; 2 - 10 + 8) = 5 (C)
2-й шаг : k = 5. Для 2-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5, а функциональные уравнения имеют вид:
F5(t) = max(r(t) + F6(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F6(1))
F5(1) = max(8 + 7 ; 7 - 10 + 8 + 8) = 15 (C)
F5(2) = max(7 + 7 ; 6 - 10 + 8 + 8) = 14 (C)
F5(3) = max(7 + 6 ; 5 - 10 + 8 + 8) = 13 (C)
F5(4) = max(6 + 6 ; 4 - 10 + 8 + 8) = 12 (C)
F5(5) = max(6 + 5 ; 3 - 10 + 8 + 8) = 11 (C)
3-й шаг : k = 4. Для 3-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4, а функциональные уравнения имеют вид:
F4(t) = max(r(t) + F5(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F5(1))
F4(1) = max(8 + 14 ; 7 - 10 + 8 + 15) = 22 (C)
F4(2) = max(7 + 13 ; 6 - 10 + 8 + 15) = 20 (C)
F4(3) = max(7 + 12 ; 5 - 10 + 8 + 15) = 19 (C)
F4(4) = max(6 + 11 ; 4 - 10 + 8 + 15) = 17 (C/ З )
4-й шаг : k = 3. Для 4-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3, а функциональные уравнения имеют вид:
F3(t) = max(r(t) + F4(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F4(1))
F3(1) = max(8 + 20 ; 7 - 10 + 8 + 22) = 28 (C)
F3(2) = max(7 + 19 ; 6 - 10 + 8 + 22) = 26 (C/ З )
F3(3) = max(7 + 17 ; 5 - 10 + 8 + 22) = 25 ( З )
5-й шаг : k = 2. Для 5-го шага возможные состояния системы t = 1,2, а функциональные уравнения имеют вид:
F2(t) = max(r(t) + F3(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F3(1))
F2(1) = max(8 + 26 ; 7 - 10 + 8 + 28) = 34 (C)
F2(2) = max(7 + 25 ; 6 - 10 + 8 + 28) = 32 (C/ З )
6-й шаг : k = 1. Для 6-го шага возможные состояния системы t = 1, а функциональные уравнения имеют вид:
F1(t) = max(r(t) + F2(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F2(1))
F1(1) = max(8 + 32 ; 7 - 10 + 8 + 34) = 40 (C)
Результаты вычислений по уравнениям Беллмана Fk(t) приведены в таблице, в которой k - год эксплуатации, а t - возраст оборудования.

k / t123456
14000000
234320000
3282625000
42220191700
515141312110
6877665

В таблице выделено значение функции, соответствующее состоянию (З) - замена оборудования.

II этап. Безусловная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1)
Безусловная оптимизация начинается с шага при k = 1. Максимальной возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с 1-го по 7-й составляет F1(1) = 40. Этот оптимальный выигрыш достигается, если на первом году не производить замены оборудования.
К началу 2-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t2 = t1 + 1 = 1 + 1 = 2.
Безусловное оптимальное управление при k = 2, x2(2) = (C/З), т.е. для получения максимума прибыли за оставшиеся годы необходимо в этом году провести замену оборудования.
К началу 3-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t3 = t2 + 1 = 0 + 1 = 1.
Оптимальное управление при k = 3, x3(1) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 3-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 4-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t4 = t3 + 1 = 1 + 1 = 2.
Оптимальное управление при k = 4, x4(2) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 4-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 5-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t5 = t4 + 1 = 2 + 1 = 3.
Оптимальное управление при k = 5, x5(3) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 5-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 6-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t6 = t5 + 1 = 3 + 1 = 4.
Оптимальное управление при k = 6, x6(4) = (C), т.е. максимум дохода за 6-ой год достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.

Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести в начале 2-го года эксплуатации.

Перейти к онлайн решению своей задачи