Пример решения задачи о замене оборудования
Рассмотрим задачу о замене оборудования на следующем примере. В начале планового периода продолжительностью N = 4 года имеется оборудование, возраст которого t, причем оборудование не должно быть старше 6 лет (примем t = 2 года).ИЗВЕСТНЫ:
- r(t) - стоимость продукции, произведенной в течение каждого года планового периода с помощью этого оборудования;
- U(t) - ежегодные затраты, связанные с эксплуатацией оборудования (эти характеристики зависят от возраста оборудования;
- s - остаточная стоимость оборудования (принимаем s = 4 д.ед.), не зависящая от его возраста;
- р - стоимость нового оборудования, включающая расходы, связанные с установкой, наладкой, запуском оборудования и не меняющаяся в данном плановом периоде (р = 13 д.ед.)
Разработать оптимальную политику в отношении имеющегося оборудования, т.е. на начало каждого года планового периода установить, сохранить в этом году оборудование или продать его по остаточной стоимости s, или купить новое оборудование, чтобы ожидаемая прибыль за N лет достигла максимальной величины.
1. Составить матрицу максимальных прибылей Fn(t) за 4 года;
2. Сформулировать по матрице максимальных прибылей оптимальные стратегии замены оборудования возрастов t1 и t2 лет в плановом периоде, продолжительностью 4 и 3 года.
Таблица соответствия стоимости продукции и затрат от возраста
| Возраст t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Ст.продукции r(t) | 27 | 26 | 26 | 25 | 24 | 23 | 21 |
| Ст.расходов u(t) | 15 | 15 | 16 | 16 | 16 | 17 | 19 |
Решение находим с помощью калькулятора.
Математическая модель задачи:
Z = ΣFi(xi)→max
Экономический смысл переменных:
N - плановый период эксплуатации оборудования;
ZC - прибыль в случае сохранения оборудования;
ZЗ - прибыль в случае замены оборудования;
S0 - первоначальное состояние системы;
SHi - предполагаемый возраст оборудования в начале i-го периода, т.е. после того, как мы примем решение сохранить или заменить его;
Si - возраст в конце i-го периода;
r(t) - прибыль от эксплуатации;
u(t) - расходы на эксплуатацию;
s - остаточная стоимость оборудования;
p - стоимость нового оборудования;
t - возраст оборудования;
fi - доход на i-ом шаге;
Fi - максимальный доход на i-ом шаге.
Прибыль, если в начале года выбрано управление «сохранение» оборудования:
Zc = r(t) - u(t)
Прибыль в случае «замены»:
ZЗ = s - p + r(0) - u(0)
Состояние системы (S) характеризуется возрастом оборудования
t = 0, 1, …. Значение t = 0 соответствует новому оборудованию.
В формулах максимальная прибыль на очередном шаге определяется с учетом всех возможных состояний системы, в которых она может находиться сразу после принятия решения в начале данного года.
Основное функциональное уравнение на последнем N-ом шаге:
FN(SN-1, xN) = max ZN(SN-1, xN)
При произвольном шаге (i<N) основное функциональное уравнение принимает вид
Fi(Si-1, xN) = max {Zi(SHi, xi) + Fi+1(Si)}
Прибыль на i-ом шаге будет определяться следующей парой формул:
- при управлении «сохранение»
Fi(SHi, xi) = r(Si, xi) - u(SHi)
- при управлении «замена»
Zi(SHi, xi) = s - p + r(0) - u(0)
Для нашего примера расчет начинается с последнего, четвертого года планового периода:
F4(S3, x4) = max Z4(SH3, x4)
при этом:
- в случае «сохранения» оборудования:
Z4(SH4, x4) = r(SH4) - u(SH4)
- в случае «замены»:
Z4(SH4, x4) = 4 - 13 + 27 - 15 = 3
Составляется 1-ая таблица, рассматриваемая все возможные НАЧАЛЬНЫЕ состояния оборудования, т.е. его возраст S3 = 1 - 6 лет, начиная с конца - последнего шага.
Таблица 1. F4(S3, x4) = max Z4(SH3, x4)
Шаг 4
| Возраст S3 в конце 3-го шага | Управление x4 | Предполагаемый возраст SH4 в начале 4-го шага | Прибыль Z4 | Max доход на F4 шаге |
| 1 | Сохранение | 1 | 11 | 11 |
| Замена | 0 | 3 | ||
| 2 | Сохранение | 2 | 10 | 10 |
| Замена | 0 | 3 | ||
| 3 | Сохранение | 3 | 9 | 9 |
| Замена | 0 | 3 | ||
| 4 | Сохранение | 4 | 8 | 8 |
| Замена | 0 | 3 | ||
| 55 | Сохранение | 5 | 6 | 6 |
| Замена | 0 | 3 | ||
| 6 | Сохранение | 6 | 2 | 3 |
| Замена | 0 | 3 |
Анализ таблицы показывает, что заменять оборудование выгодно только в том случае, если его возраст уже равен 6 годам, т.е. по условиям оборудование нельзя использовать далее.
Теперь анализируем ситуацию перед третьим годом исследуемого периода.
F3(S2, x4) = max {Z3(SH3, x3) + F4(S3)}
при этом:
- в случае «сохранения оборудования»
Z3(SH3, x3) = r(SH3) - u(SH3)
- в случае «замены»
Z3(SH3, x3) = 4 - 13 + 27 - 15 = 3
Следует оптимизировать расходы за последний и предпоследний годы (за двухлетний период).
Оптимальная прибыль за 4-ый год берется из таблицы 1.
Учтем, что SH2 - возраст оборудования в начале третьего года сразу после принятия решения о его «сохранении» или «замене»;
S3 - возраст оборудования к концу третьего года.
Данные в колонку F4 переносятся из предыдущей таблице в соответствии со значением параметра S3.
Таблица 2. F3(S2, x4) = max {Z3(SH3, x3) + F4(S3)} Шаг 3
| S1 | x3 | SH2 | Z3 из таблицы 1 | Возраст S3 в конце 3 шага | F4 | Z3 + F4 | F3 |
| 1 | Сохранение | 1 | 11 | 2 | 10 | 21 | 21 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 11 | 14 | ||
| 2 | Сохранение | 2 | 10 | 3 | 9 | 19 | 19 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 11 | 14 | ||
| 3 | Сохранение | 3 | 9 | 4 | 8 | 17 | 17 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 11 | 14 | ||
| +4 | Сохранение | 4 | 8 | 5 | 6 | 14 | 14 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 11 | 14 | ||
| 5 | Сохранение | 5 | 6 | 6 | 3 | 9 | 14 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 11 | 14 | ||
| 6 | Сохранение | 6 | 2 | - | - | - | 14 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 11 | 14 |
Также проводится условная оптимизация на начало второго года (шаг 2) и составляется таблица 3.
Таблица 3. F2 (S1,x4) = max {Z2(SH2, x2) + F3(S2)} Шаг 2
| S1 | x2 | SH1 | Z2 | S2 | F3 | Z2 + F3 | F2 |
| 1 | Сохранение | 1 | 11 | 2 | 19 | 30 | 30 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
| 2 | Сохранение | 2 | 10 | 3 | 17 | 27 | 27 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
| 3 | Сохранение | 3 | 9 | 4 | 14 | 23 | 24 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
| 4 | Сохранение | 4 | 8 | 5 | 14 | 22 | 24 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
| 5 | Сохранение | 5 | 6 | 6 | 14 | 20 | 24 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
| 6 | Сохранение | 6 | 2 | - | - | - | 24 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 |
Также проводится условная оптимизация на начало первого года (шаг 1) и составляется таблица 4, которая завершает условную оптимизацию.
Таблица 4. F1 (S0, x4) = max {Z1(SH1, x1) + F2(S1)} Шаг 1
| S1 | x2 | SH1 | Z2 | S2 | F3 | Z2 + F3 | F2 |
| 1 | Сохранение | 1 | 11 | 2 | 19 | 30 | 30 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
| 2 | Сохранение | 2 | 10 | 3 | 17 | 27 | 27 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
| 3 | Сохранение | 3 | 9 | 4 | 14 | 23 | 24 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
| 4 | Сохранение | 4 | 8 | 5 | 14 | 22 | 24 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
| 5 | Сохранение | 5 | 6 | 6 | 14 | 20 | 24 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 | ||
| 6 | Сохранение | 6 | 2 | - | - | - | 24 |
| Замена | 0 | 3 | 1 | 21 | 24 |
С помощью таблиц условной оптимизации можно сформулировать оптимальную политику в отношении оборудования любого возраста не старше 6 лет в течение 4-х летнего периода.
Для наглядности основные результаты, содержащиеся в последних столбцах четырех последних построенных таблиц, оформляются в виде сводной таблицы, которая называется матрицей максимальных прибылей, и выделяются элементы, ниже которых расположены показатели суммарной прибыли, соответствующие выбору управления «ЗАМЕНА».
Элементы, расположенные выше линии выделения, находятся в области «СОХРАНЕНИЯ» оборудования.
Матрица максимальных прибылей
| t | ГОДЫ | |||
| 1-4 | 2-4 | 3-4 | 4 | |
| 0 | 42 | - | - | - |
| 1 | 38 | 30 | 21 | 11 |
| 2 | 34 | 27 | 19 | 10 |
| 3 | 33 | 24 | 17 | 9 |
| 4 | 33 | 24 | 14 | 8 |
| 5 | 33 | 24 | 14 | 6 |
| 6 | 33 | 24 | 14 | 3 |
Сформулируем оптимальную политику в отношении оборудования, возраст которого 2 года.
В матрице прибылей для t = 2 в первой колонке стоит суммарная прибыль 34 д.ед. за четыре года, при этом выбор управления «СОХРАНЕНИЕ».
К началу второго года возраст оборудования составит 3 года, поэтому в следующей колонке выбирается строка, соответствующая возрасту 3 года.
Оптимальная прибыль за второй - четвертый годы - 24 д.ед., и мы находимся в области «ЗАМЕНЫ» оборудования, следовательно, к началу 3-го года оборудование будет иметь возраст 1 год.
Прибыль за третий - четвертый годы для такого оборудования равна 21 д.ед., за последний четвертый год - 10 д.ед. (при возрасте t = 2).
ВЫВОД: рекомендуется замена оборудования в начале 2-го года эксплуатации.