Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Задача Джонсона Симплекс метод Метод прогонки
Задача замены оборудования Задача распределения инвестиций
Параметры сетевой модели Задача коммивояжера Многоканальные СМО

Пример решения задачи о замене оборудования

Рассмотрим задачу о замене оборудования на следующем примере. В начале планового периода продолжительностью N = 4 года имеется оборудование, возраст которого t, причем оборудование не должно быть старше 6 лет (примем t = 2 года).
ИЗВЕСТНЫ: ТРЕБУЕТСЯ:
Разработать оптимальную политику в отношении имеющегося оборудования, т.е. на начало каждого года планового периода установить, сохранить в этом году оборудование или продать его по остаточной стоимости s, или купить новое оборудование, чтобы ожидаемая прибыль за N лет достигла максимальной величины.
1. Составить матрицу максимальных прибылей Fn(t) за 4 года;
2. Сформулировать по матрице максимальных прибылей оптимальные стратегии замены оборудования возрастов t1 и t2 лет в плановом периоде, продолжительностью 4 и 3 года.
Таблица соответствия стоимости продукции и затрат от возраста
Возраст t 0 1 2 3 4 5 6
Ст.продукции r(t) 27 26 26 25 24 23 21
Ст.расходов u(t) 15 15 16 16 16 17 19

Решение находим с помощью калькулятора.
Математическая модель задачи:
Z = ΣFi(xi)→max

Экономический смысл переменных:
N - плановый период эксплуатации оборудования;
ZC - прибыль в случае сохранения оборудования;
ZЗ - прибыль в случае замены оборудования;
S0 - первоначальное состояние системы;
SHi - предполагаемый возраст оборудования в начале i-го периода, т.е. после того, как мы примем решение сохранить или заменить его;
Si - возраст в конце i-го периода;
r(t) - прибыль от эксплуатации;
u(t) - расходы на эксплуатацию;
s - остаточная стоимость оборудования;
p - стоимость нового оборудования;
t - возраст оборудования;
fi - доход на i-ом шаге;
Fi - максимальный доход на i-ом шаге.

Прибыль, если в начале года выбрано управление «сохранение» оборудования:
Zc = r(t) - u(t)
Прибыль в случае «замены»:
ZЗ = s - p + r(0) - u(0)

Состояние системы (S) характеризуется возрастом оборудования
t = 0, 1, …. Значение t = 0 соответствует новому оборудованию.
В формулах максимальная прибыль на очередном шаге определяется с учетом всех возможных состояний системы, в которых она может находиться сразу после принятия решения в начале данного года.
Основное функциональное уравнение на последнем N-ом шаге:
FN(SN-1, xN) = max ZN(SN-1, xN)

При произвольном шаге (i<N) основное функциональное уравнение принимает вид
Fi(Si-1, xN) = max {Zi(SHi, xi) + Fi+1(Si)}
Прибыль на i-ом шаге будет определяться следующей парой формул:
- при управлении «сохранение»
Fi(SHi, xi) = r(Si, xi) - u(SHi)
- при управлении «замена»
Zi(SHi, xi) = s - p + r(0) - u(0)
Для нашего примера расчет начинается с последнего, четвертого года планового периода:
F4(S3, x4) = max Z4(SH3, x4)
при этом:
- в случае «сохранения» оборудования:
Z4(SH4, x4) = r(SH4) - u(SH4)
- в случае «замены»:
Z4(SH4, x4) = 4 - 13 + 27 - 15 = 3
Составляется 1-ая таблица, рассматриваемая все возможные НАЧАЛЬНЫЕ состояния оборудования, т.е. его возраст S3 = 1 - 6 лет, начиная с конца - последнего шага.

Таблица 1. F4(S3, x4) = max Z4(SH3, x4)
Шаг 4

Возраст S3 в конце 3-го шага Управление x4 Предполагаемый возраст SH4 в начале 4-го шага Прибыль Z4 Max доход на F4 шаге
1 Сохранение 1 11 11
Замена 0 3
2 Сохранение 2 10 10
Замена 0 3
3 Сохранение 3 9 9
Замена 0 3
4 Сохранение 4 8 8
Замена 0 3
55 Сохранение 5 6 6
Замена 0 3
6 Сохранение 6 2 3
Замена 0 3

Анализ таблицы показывает, что заменять оборудование выгодно только в том случае, если его возраст уже равен 6 годам, т.е. по условиям оборудование нельзя использовать далее.
Теперь анализируем ситуацию перед третьим годом исследуемого периода.
F3(S2, x4) = max {Z3(SH3, x3) + F4(S3)}
при этом:
- в случае «сохранения оборудования»
Z3(SH3, x3) = r(SH3) - u(SH3)
- в случае «замены»
Z3(SH3, x3) = 4 - 13 + 27 - 15 = 3
Следует оптимизировать расходы за последний и предпоследний годы (за двухлетний период).
Оптимальная прибыль за 4-ый год берется из таблицы 1.
Учтем, что SH2 - возраст оборудования в начале третьего года сразу после принятия решения о его «сохранении» или «замене»;
S3 - возраст оборудования к концу третьего года.
Данные в колонку F4 переносятся из предыдущей таблице в соответствии со значением параметра S3.
Таблица 2. F3(S2, x4) = max {Z3(SH3, x3) + F4(S3)} Шаг 3
S1 x3 SH2 Z3 из таблицы 1 Возраст S3 в конце 3 шага F4 Z3 + F4 F3
1 Сохранение 1 11 2 10 21 21
Замена 0 3 1 11 14
2 Сохранение 2 10 3 9 19 19
Замена 0 3 1 11 14
3 Сохранение 3 9 4 8 17 17
Замена 0 3 1 11 14
+4 Сохранение 4 8 5 6 14 14
Замена 0 3 1 11 14
5 Сохранение 5 6 6 3 9 14
Замена 0 3 1 11 14
6 Сохранение 6 2 - - - 14
Замена 0 3 1 11 14

Также проводится условная оптимизация на начало второго года (шаг 2) и составляется таблица 3.
Таблица 3. F2 (S1,x4) = max {Z2(SH2, x2) + F3(S2)} Шаг 2
S1 x2 SH1 Z2 S2 F3 Z2 + F3 F2
1 Сохранение 1 11 2 19 30 30
Замена 0 3 1 21 24
2 Сохранение 2 10 3 17 27 27
Замена 0 3 1 21 24
3 Сохранение 3 9 4 14 23 24
Замена 0 3 1 21 24
4 Сохранение 4 8 5 14 22 24
Замена 0 3 1 21 24
5 Сохранение 5 6 6 14 20 24
Замена 0 3 1 21 24
6 Сохранение 6 2 - - - 24
Замена 0 3 1 21 24

Также проводится условная оптимизация на начало первого года (шаг 1) и составляется таблица 4, которая завершает условную оптимизацию.
Таблица 4. F1 (S0, x4) = max {Z1(SH1, x1) + F2(S1)} Шаг 1
S1 x2 SH1 Z2 S2 F3 Z2 + F3 F2
1 Сохранение 1 11 2 19 30 30
Замена 0 3 1 21 24
2 Сохранение 2 10 3 17 27 27
Замена 0 3 1 21 24
3 Сохранение 3 9 4 14 23 24
Замена 0 3 1 21 24
4 Сохранение 4 8 5 14 22 24
Замена 0 3 1 21 24
5 Сохранение 5 6 6 14 20 24
Замена 0 3 1 21 24
6 Сохранение 6 2 - - - 24
Замена 0 3 1 21 24

С помощью таблиц условной оптимизации можно сформулировать оптимальную политику в отношении оборудования любого возраста не старше 6 лет в течение 4-х летнего периода.
Для наглядности основные результаты, содержащиеся в последних столбцах четырех последних построенных таблиц, оформляются в виде сводной таблицы, которая называется матрицей максимальных прибылей, и выделяются элементы, ниже которых расположены показатели суммарной прибыли, соответствующие выбору управления «ЗАМЕНА».
Элементы, расположенные выше линии выделения, находятся в области «СОХРАНЕНИЯ» оборудования.
Матрица максимальных прибылей
t ГОДЫ
1-4 2-4 3-4 4
0 42 - - -
1 38 30 21 11
2 34 27 19 10
3 33 24 17 9
4 33 24 14 8
5 33 24 14 6
6 33 24 14 3

Сформулируем оптимальную политику в отношении оборудования, возраст которого 2 года.
В матрице прибылей для t = 2 в первой колонке стоит суммарная прибыль 34 д.ед. за четыре года, при этом выбор управления «СОХРАНЕНИЕ».
К началу второго года возраст оборудования составит 3 года, поэтому в следующей колонке выбирается строка, соответствующая возрасту 3 года.
Оптимальная прибыль за второй - четвертый годы - 24 д.ед., и мы находимся в области «ЗАМЕНЫ» оборудования, следовательно, к началу 3-го года оборудование будет иметь возраст 1 год.
Прибыль за третий - четвертый годы для такого оборудования равна 21 д.ед., за последний четвертый год - 10 д.ед. (при возрасте t = 2).

ВЫВОД: рекомендуется замена оборудования в начале 2-го года эксплуатации.

Перейти к онлайн решению своей задачи