Графический анализ чувствительности
Модель линейного программирования является как бы "моментальным снимком" реальной ситуации, когда параметры модели (коэффициенты целевой функции и неравенств ограничений) предполагаются неизменными. Естественно изучить влияние изменения параметров модели на полученной оптимальное решение ЛП. Такое исследование называется анализом чувствительности.Анализ чувствительности основывается на графическом решении задачи ЛП. Рассмотри два случая: (1) изменение коэффициентов целевой функции и (2) изменение значений констант в правой части неравенств ограничений.
Изменение коэффициентов целевой функции
В обшем виде целевую функцию задачи ЛП с двумя переменными можно записать следующим образом.Максимизировать или минимизировать z = с1x1 + с2х2
Изменение значений коэффициентов c1 и с2 приводит к изменению угла наклона прямой z. Графический способ решения задачи ЛП. описанный в разделе 2.3, показывает, что это может привести к изменению оптимального решения: оно будет достигаться в другой угловой точке пространства решений. Вместе с тем, очевидно, существуют интервалы изменения коэффициентов c1 и с2, когда текущее оптимальное решение сохраняется. Задача анализа чувствительности и состоит в получении такой информации. В частности, представляет интерес определение интервала оптимальности для отношения c1/c2 (или, что то же самое, для c2/c1); если значение отношения c1/c2 не выходит за пределы этого интервала, то оптимальное решение в данной модели сохраняется неизменным. Следующий пример показывает, как можно получить необходимый результат с помощью анализа графического представления модели ЛП.
Пример
На рис. видно, что функция z = 5х1 + 4х2 достигает максимального значения в угловой точке С. При изменении коэффициентов целевой функции z = c1x1 + с2х2 точка С останется точкой оптимального решения до тех пор, пока угол наклона линии z будет лежать между углами наклона двух прямых, пересечением которых является точка С. Этими прямыми являются 6x1+4х2=24 (ограничение на сырье M1) и x1+2х2=6 (ограничение на сырье М2). Алгебраически это можно записать следующим образом:
c1≠0,
или
c2≠0.
В первой системе неравенств условие c1≠0 означает, что прямая, соответствующая целевой функции, не может быть горизонтальной. Аналогичное условие в следующей системе неравенств означает, что эта же прямая не может быть вертикальной. Из рис. 2.4 видно, что интервал оптимальности данной задачи (он определяется двумя прямыми, пересекающимися в точке С) не разрешает целевой функции быть ни горизонтальной, ни вертикальной прямой. Таким образом, мы получили две системы неравенств, определяющих интервал оптимальности в нашем примере. (Когда с1 и с2 могут принимать нулевые значения, интервал оптимальности для отношения с1/с2 (или с2/с1) необходимо разбить на два множества, где знаменатели не обращались бы в нуль. Эта ситуация представлена в упр. 2.4,а(1).)
Итак, если коэффициенты с1 и с2 удовлетворяют приведенным выше неравенствам, оптимальное решение будет достигаться в точке С. Отметим, если прямая z = c1x1 + c2x2 совпадет с прямой х1 + 2х2 = 6. то оптимальным решением будет любая точка отрезка CD. Аналогично, если прямая, соответствующая целевой функции, совпадет с прямой 6х1 + 4x2 = 24, тогда любая точка отрезка ВС будет оптимальным решением. Однако заметим, что в обоих случаях точка С остается точкой оптимального решения.
Приведенные выше неравенства можно использовать при определении интервала оптимальности для какого-либо одного коэффициента целевой функции, если предположить, что другой коэффициент остается неизменным. Например, если в нашей модели зафиксировано значение коэффициента с2 (пусть с2=4), тогда интервал оптимальности для коэффициента c1 получаем из неравенств
путем подстановки туда значения с2 = 4. После выполнения элементарных арифметических операций получаем неравенства для коэффициента с1: 2≤с1≤6. Аналогично, если зафиксировать значение коэффициента с1 (например, с1 = 5), тогда из неравенств 
получаем интервал оптимальности для коэффициента с2: 10/3 ≤ с2 ≤ 10.
Стоимость ресурсов
Во многих моделях линейного программирования ограничения трактуются как условия ограниченности ресурсов. В таких ограничениях правая часть неравенств является верхней границей количества доступных ресурсов. В этом разделе мы изучим чувствительность оптимального решения к изменению ограничений, накладываемых на ресурсы. Такой анализ задачи ЛП предлагает простую меру чувствительности решения, называемую стоимостью единицы ресурса; при изменении количества доступных ресурсов (на единицу) значение целевой функции в оптимальном решении изменится на стоимость единицы ресурса.В пример первые два неравенства представляют собой ограничения на использование сырья M1 и М2 соответственно. Определим стоимость единиц этих ресурсов.
Начнем с ограничения для сырья M1. Напомним, что в данной задаче оптимальное решение достигается в угловой точке С, являющейся точкой пересечения прямых, соответствующих ограничениям на сырье M1 и М2 (рис. 2.5). При изменении уровня доступности материала M1 (увеличение или уменьшение текущего уровня, равного 24 т) точка С оптимального решения "плывет" вдоль отрезка DC. Любое изменение уровня доступности материала M1, приводящее к выходу точки пересечения С из этого отрезка, ведет к неосуществимости оптимального решения в точке С. Поэтому можно сказать, что концевые точки D = (2,2) и G = (6,0) отрезка DG определяют интервал осуществимости для ресурса M1. Количество сырья M1, соответствующего точке D= (2,2), равно 6x1+4x2 = 6·2+ 4·2 = 20 т. Аналогично количество сырья, соответствующего точке G = (6,0), равно 6·6 + 4·0 = 36т. Таким образом, интервал осуществимости для ресурса M1 составляет 20≤M1≤36 (здесь через М1 обозначено количество материала M1). Если мы определим М1 как М1 = 24 + D1, где D1 — отклонение количества материала М1 от текущего уровня в 24 т, тогда последние неравенства можно переписать как 20 ≤ 24 + D1 ≤ 36 или -4 ≤ D1 ≤ 12. Это означает, что текущий уровень ресурса M1 может быть уменьшен не более чем на 4 т и увеличен не более чем на 12 т. В этом случае гарантируется, что оптимальное решение будет достигаться в точке С — точке пересечения прямых, соответствующих ограничениям на ресурсы M1 и М2.
Теперь вычислим стоимость единицы материала M1. При изменении количества сырья M1 от 20 до 36 тонн, значения целевой функции z будут соответствовать положению точки С на отрезке DC. Обозначив через у1 стоимость единицы ресурса M1, получим следующую формулу.
y1 = изменение значения z при перемещении т. C от D до G / изменение количества M1 при перемещении т. C от D до G
Если точка С совпадает с точкой D = (2, 2), то z=5·2+4·2= 18 (тысяч долларов), если же точка С совпадает с точкой G = (6,0), тогда z = 5·6 + 4·0 = 30 (тысяч долларов). Отсюда следует, что
(тысяч долларов на тонну материала М1).
Этот результат показывает, что изменение количества ресурса M1 на одну тонну (если общее количество этого ресурса не меньше 20 и не больше 36 тонн) приводит к изменению в оптимальном решении значения целевой функции на $750.
Теперь рассмотрим ресурс М2. На рис. 2.6 видно, что интервал осуществимости для ресурса М2 определяется концевыми точками B и H отрезка ВH, где B = (4,0) и H = (8/3,2). Точка H находится на пересечении прямых ED и ВС. Находим, что количество сырья M2, соответствующего точке В, равно x1 + 2x2 =4 + 2·0 = 4 т, а точке H— 8/3 + 2·2 = 20/3 т. Значение целевой функции в точке В равно 5x1 + 4х2 = 5·4 + 4·0 = 20 (тысяч долларов), а в точке H—5·8/3 + 4·2 = 64/3 (тысяч долларов). Отсюда следует, что количество сырья М2 может изменяться от 4 до 20/3 тонн, а стоимость единицы ресурса М2, обозначенная как у2, равна
(тысяч долларов на тонну материала М2).
см. также Анализ эффективности оптимального решения задачи графическим методом
