Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений СМО с очередью Симплекс-метод Теория игр
Одноканальные СМО Многоканальные СМО СМО с отказами
Интенсивность нагрузки Уравнения Колмогорова Марковские процессы

Оценка эффективности работы СМО

Показатели эффективности СМО Показатели, характеризующие систему с точки зрения потребителей: Показатели, характеризующие систему с точки зрения её эксплуатационных свойств: см. также Параметры экономической эффективности СМО

Задача. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Решение. По условию n=3, λ=0,25(1/ч), tоб.=3 (ч). Интенсивность потока обслуживаний μ=1/tоб.=1/3=0,33. Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (24) ρ=0,25/0,33=0,75. Найдем предельные вероятности состояний:
по формуле (25) p0=(1+0,75+0,752/2!+0,753/3!)-1=0,476;
по формуле (26) p1=0,75∙0,476=0,357; p2=(0,752/2!)∙0,476=0,134; p3=(0,753/3!)∙0,476=0,033 т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% — имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% — две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени три заявки (заняты три ЭВМ).
Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, Pотк.=p3=0,033.
По формуле (28) относительная пропускная способность центра Q = 1-0,033 = 0,967, т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.
По формуле (29) абсолютная пропускная способность центра A= 0,25∙0,967 = 0,242, т.е. в один час в среднем обслуживается 0,242 заявки.
По формуле (30) среднее число занятых ЭВМ k=0,242/0,33 = 0,725, т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на 72,5/3 =24,2%.
При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас высокая пропускная способность СМО, а с другой стороны — значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.

Задача. В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна.
Решение. Имеем ρ = λ/μ = μtоб.=0,4∙2=0,8. Так как ρ = 0,8 < 1, то очередь на разгрузку не может бесконечно возрастать и предельные вероятности существуют. Найдем их.
Вероятность того, что причал свободен, по (33) p0 = 1 - 0,8 = 0,2, а вероятность того, что он занят, Pзан. = 1-0,2 = 0,8. По формуле (34) вероятности того, что у причала находятся 1, 2, 3 судна (т.е. ожидают разгрузки 0, 1, 2 судна), равны p1 = 0,8(1-0,8) = 0,16; p2 = 0,82∙(1-0,8) = 0,128; p3 = 0,83∙(1-0,8) = 0,1024.
Вероятность того, что ожидают разгрузку не более чем 2 судна, равна
P=p1+p2+p3 = 0,16 + 0,128 + 0,1024 = 0,3904
По формуле (40) среднее число судов, ожидающих разгрузки
L=0,82/(1-0,8) = 3,2
а среднее время ожидания разгрузки по формуле (15.42)
Tоч=3,2/0,8 = 4 сутки.
По формуле (36) среднее число судов, находящихся у причала, Lсист. = 0,8/(1-0,8) = 4 (сутки) (или проще по (37) Lсист. = 3,2+0,8 = 4 (сутки), а среднее время пребывания судна у причала по формуле (41) Tсист = 4/0,8 = 5 (сутки).
Очевидно, что эффективность разгрузки судов невысокая. Для ее повышения необходимо уменьшение среднего времени разгрузки судна tоб либо увеличение числа причалов n.

Задача. В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью λ = 81 чел. в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного покупателя tоб = 2 мин. Определить:
а. Минимальное количество контролеров-кассиров пmin, при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при n=nmin.
б. Оптимальное количество nопт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат Сотн., связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=nmin и n=nопт.
в. Вероятность того, что в очереди будет не более трех покупателей.
Решение.
а. По условию l = 81(1/ч) = 81/60 = 1,35 (1/мин.). По формуле (24) r = l/ m = ltоб = 1,35×2 = 2,7. Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии r/n < 1, т.е. при n > r = 2,7. Таким образом, минимальное количество контролеров-кассиров nmin = 3.
Найдем характеристики обслуживания СМО при п= 3.
Вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели, по формуле (45) p0 = (1+2,7+2,72/2!+2,73/3!+2,74/3!(3-2,7))-1 = 0,025, т.е. в среднем 2,5%времени контролеры-кассиры будут простаивать.
Вероятность того, что в узле расчета будет очередь, по (48) Pоч.= (2,74/3!(3-2,7))0,025 = 0,735  
Среднее число покупателей, находящихся в очереди, по (50) Lоч. = (2,74/3∙3!( 1-2,7/3)2)0,025 = 7,35.
Среднее время ожидания в очереди по (42) Tоч.= 7,35/1,35 = 5,44 (мин).
Среднее число покупателей в узле расчета по (51) Lсист.= 7,35+2,7 = 10,05.
Среднее время нахождения покупателей в узле расчета по (41) Tсист. = 10,05/1,35 = 7,44 (мин).
Таблица 1

Характеристика обслуживания Число контролеров-кассиров
3 4 5 6 7
Вероятность простоя контролеров-кассиров p0 0,025 0,057 0,065 0,067 0,067
Среднее число покупателей в очереди Tоч. 5,44 0,60 0,15 0,03 0,01
Относительная величина затрат Сотн. 18,54 4,77 4,14 4,53 5,22
Среднее число контролеров-кассиров, занятых обслуживанием покупателей, по (49) k = 2,7.
Коэффициент (доля) занятых обслуживанием контролеров-кассиров
= ρ/n = 2,7/3 = 0,9.
Абсолютная пропускная способность узла расчета А = 1,35 (1/мин), или 81 (1/ч), т.е. 81 покупатель в час.
Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке узла расчета при наличии трех контролеров-кассиров.
б. Относительная величина затрат при n = 3
Cотн. = = 3/1,35+3∙5,44 = 18,54.
Рассчитаем относительную величину затрат при других значениях п (табл. 1).
Как видно из табл. 2, минимальные затраты получены при n = nопт. = 5 контролерах-кассирах.
Определим характеристики обслуживания узла расчета при n = nопт.=5. Получим Pоч. = 0,091; Lоч. = 0,198; Точ. = 0,146 (мин); Lсист. = 2,90; Tснст. = 2,15 (мин); k = 2,7; k3 = 0,54.
Как видим, при n = 5 по сравнению с n = 3 существенно уменьшились вероятность возникновения очереди Pоч., длина очереди Lоч. и среднее время пребывания в очереди Tоч. и соответственно среднее число покупателей Lсист. и среднее время нахождения в узле расчета Tсист., а также доля занятых обслуживанием контролеров k3.  Но среднее число занятых обслуживанием контролеров-кассиров k и абсолютная пропускная способность узла расчета А естественно не изменились.
в. Вероятность того, что в очереди будет не более 3 покупателей, определится как
P(r ≤ 3) = p1+ p2+ p3+ p4+ p5 p5+1+ p5+2+ p5+3=
(когда заняты от 1 до 5 контролеров-кассиров) (когда в очереди стоят от 1 до 3 покупателей)

= 1- Pоч.+ p5+1+ p5+2+ p5+3, где каждое слагаемое найдем по формулам (45) – (48). Получим при n=5:

Заметим, что в случае n=3 контролеров-кассиров та же вероятность существенно меньше: P(r ≤ 3) =0,464.