Как найти координаты вектора в базисе

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Пусть в R3 относительно канонического базисы даны четыре вектора f1 = (1,2,3)f2 = (2,3,7), f3=(1,3,1), x = (2,3,4). Докажите, что векторы f1, f2, f3 можно принять за новый базис. Найдите координаты η1, η2, η3 вектора х относительно этого базиса.

Решение:
Записываем матрицу перехода А:

и находим ее определитель
 <>0
Видим, что ранг матрицы С равен трем. Из теоремы о базисном миноре векторы f1, f2, f3 линейно независимы, а поэтому могут быть приняты в качестве базиса пространства R3.
Находим обратную матрицу А-1.
Транспонированная матрица:

Алгебраические дополнения:
                    
                   
                   
                   
                    
                   
                   
                  
                   
Обратная матрица А-1

Находим координаты вектора х относительно нового базиса.


Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример №1. Даны векторы a{1;2;1}, b{2;-2;1}, c{1;-2;0} и d {0;3;1}. Установить, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Решение:
Соотношение, записанное для векторов d = αa + βb + γc, справедливо для каждой из проекций:
α*1 + β*2 + γ*1 = 0
α*2 - β*2 - γ*2 = 3
α*1 + β*1 + γ0 = 1 т.е. получена алгебраическая система трёх уравнений с тремя неизвестными. Решение системы удобнее вычислять методом Крамера или методом обратной матрицы:
α = 1/2; β = 1/2; γ = -3/2
следовательно, и вектор d имеет разложение в базисе a, b, c:
d = 1/2a + 1/2b - 3/2c

Пример №2. Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе:


Решение. Данная задача состоит из двух частей. Сначала необходимо проверить образуют ли векторы базис.
Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля, в противном случае вектора не являются базисными и вектор нельзя разложить по данному базису.

Так как определитель отличен от нуля, то векторы образуют базис, следовательно, вектор можно разложить по данному базису. Т.е. существуют такие числа α,β,γ что имеет место равенство:

Запишем данное равенство в координатной форме:

Используя свойства векторов, получим следующее равенство:


По свойству равенства векторов имеем:

Решая полученную систему уравнений методом Гаусса (методом последовательного исключения неизвестных из уравнений системы), выберем в качестве ведущего уравнения второе уравнение системы:

Выразим из первого уравнения полученной системы α и подставим полученное выражение во второе и третье уравнения системы:


Разделим второе уравнение системы на -1 ,а третье уравнение системы на -3 и выразим из полученного равенства γ :

Подставим полученное выражение для γ в третье уравнение системы:

Тогда:

В итоге получим разложение вектора в базисе :

Ответ:

Пример №3. Даны два линейных преобразования:
х'1 = a11x1 + a12x2 + a13x3, х''1 = b11x'1 + b12x'2 + b13x'3,
х'2 = a21x1 + a22x2 + a23x3, х''2 = b21x'1 + b22x'2 + b23x'3,
х'3 = a31x1 + a32x2 + a33x3, х''3 = b31x'1 + b32x'2 + b33x'3,
Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее х''1, x''2, x''3 через х1, х2, х3.
х'1 = 4x1 + 3x2 + 5x3, х''1 = - x'1 + 3x'2 - 2x'3,
х'2 = 6x1 + 7x2 + x3, х''2 = - 4x'1 + x'2 + 2x'3,
х'3 = 9x1 + x2 + 8x3, х''3 = 3x'1 - 4x'2 + 5x'3,
Решение. Используя калькулятор, получаем:
Обозначим:

A =
435
671
918

B =
-13-2
-412
3-45

Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Вычислим определитель матрицы А:
∆ = 4*(7*8 - 1*1) - 6*(3*8 - 1*5) + 9*(3*1 - 7*5) = -182
Определитель матрицы А равен detA=-182
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим слева обе части уравнения на A-1: A-1·A·X = A-1·B, тогда получим E·X = A-1·B, или X = A-1·B.
Найдем обратную матрицу A-1.
A-1 = -1/182
55-19-32
-39-1326
-572310

Матрицу Х ищем по формуле:
X = A-1·B = -1/182
55-19-32
-39-1326
-572310
*
-13-2
-412
3-45
=
75/182-146/9119/13
-13/1412/7-1
5/18213/91-12/13

Ответ:
x'1 = 75/182x1 -146/91x2 + 19/13
x'2 = -13/14x1 + 12/7 -x3
x'3 = 5/182x1 + 13/91x2 -12/13x3

см. также другие примеры

загрузка...