Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Показатели вариации Доверительный интервал
Расчет моды и медианы Группировка данных Децили
Проверка гипотез по Пирсону Корреляционная таблица Квартили

Среднее значение по способу моментов

Метод моментов приравнивает моменты теоретического распределения к моментам эмпирического распределения (распределения, построенного по наблюдениям). Из полученных уравнений находятся оценки параметров распределения. Например, для распределения с двумя параметрами первые два момента (среднее и дисперсия распределения, соответственно, m и s) будут приравнены первым двум эмпирическим (выборочным) моментам (среднему и дисперсии выборки, соответственно), и затем будет произведено оценивание.
Среднее значение по способу моментов: формула
где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала,

Назначение сервиса. С помощью онлайн-калькулятора вычисляется среднее значение по способу моментов. Результат решения оформляется в формате Word.

Инструкция. Для получения решения необходимо заполнить исходные данные и выбрать параметры отчета для оформления в Word.
Количество строк

Алгоритм нахождения средней по способу моментов

  1. Определяем параметр A. Вычисляем x*i
  2. Вычисляем x*i*fi
  3. Находим среднее значение по формуле
    Среднее значение по способу моментов: формула

Пример. Затраты рабочего времени на однородную технологическую операцию распределялись между рабочими следующим образом:

Затраты времени, мин.Число рабочих, чел.
до 1520
15-2025
20-2550
25-3030
30-3515
более 3510
Требуется определить среднюю величину затрат рабочего времени и среднеквадратическое отклонение по способу моментов; коэффициент вариации; моду и медиану.
Таблица для расчета показателей.
Группы Середина интервала, xi Кол-во, fi xi·fi Накопленная частота, S (x-x)2·f
5 - 10 7.5 20 150 20 4600.56
15 - 20 17.5 25 437.5 45 667.36
20 - 25 22.5 50 1125 95 1.39
25 - 30 27.5 30 825 125 700.83
30 - 35 32.5 15 487.5 140 1450.42
35 - 40 37.5 10 375 150 2200.28
150 3400 9620.83

Мода

где x0 – начало модального интервала; h – величина интервала; f2 –частота, соответствующая модальному интервалу; f1 – предмодальная частота; f3 – послемодальная частота.
Выбираем в качестве начала интервала 20, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество.

Наиболее часто встречающееся значение ряда – 22.78 мин.
Медиана
Медианным является интервал 20 - 25, т.к. в этом интервале накопленная частота S, больше медианного номера (медианным называется первый интервал, накопленная частота S которого превышает половину общей суммы частот).

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 23 мин.
Среднее значение изучаемого признака по способу моментов.

где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала.

Находим А = 22.5, шаг интервала h = 5.
Средний квадрат отклонений по способу моментов.
xц x*i x*ifi [x*i]2fi
7.5 -3 -60 180
17.5 -1 -25 25
22.5 0 0 0
27.5 1 30 30
32.5 2 30 60
37.5 3 30 90
5 385

мин.

Среднее квадратическое отклонение.
мин.
Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v>30% ,но v<70%, то вариация умеренная.

Пример

Группыx Кол-во f x·f (x-x)2·f
6.0 - 8.5 7.25 26 188.5 480.74
8.5 - 11.0 9.75 112 1092 362.88
11.0 - 13.5 12.25 210 2572.5 102.9
13.5 - 16.0 14.75 52 767 532.48
400 4620 1479
Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:

Средняя взвешенная

Среднее значение изучаемого признака по способу моментов.
Среднее значение по способу моментов: формула
где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала.

Находим А = 12.25.
Шаг интервала h = 2.5.

Средний квадрат отклонений по способу моментов.
Среднеквадратическое отклонение по способу моментов: формула

xц x*i x*ifi [x*i]2fi
7.25 -2 -52 104
9.75 -1 -112 112
12.25 0 0 0
14.75 1 52 52
-112 268


Среднеквадратическое отклонение по способу моментов.

Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).
Формула для средневзвешенного:

Среднеквадратическое отклонение.

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 11.55 не более, чем на 1.92.

Как видим, оценки для среднего значения m и квадрата отклонений s рассчитанные по разным формулам совпадают.