Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Найти производную Найти интеграл Формула Байеса
Система СВ X,Y Уравнение регрессии Проверка гипотезы
Корреляционная таблица Формула Бернулли Математическое ожидание

Основные теоремы теории вероятностей

1. Бросается игральная кость один раз. Найдите вероятность выпадения грани с тремя или пятью очками.
Решение. Пусть событие A — появление грани с тремя очками, событие B — с пятью очками. и . События A и B несовместные, так как появление грани с тремя очками исключает появление грани с пятью очками и наоборот.
Поэтому .

2. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 2, либо 5, либо тому и другому одновременно.
Решение. Пусть событие A означает, что наудачу взятое двузначное число кратно 2. Событие B — двузначное число кратно 5. Найдем P(A+B). Так как события A и B совместные, то P(A+B) = P(A)+ P(B) - P (A · B). Двузначные числа — это числа 10, 11, 12, . .., 99. Всего их 90. Из них 45 будут кратны 2, 18 кратны 5 и 9 кратны 2 и 5 одновременно. Поэтому ; ; .
Следовательно, .

3. Имеются две урны с шарами. В одной 10 красных и 5 синих шаров, во второй 5 красных и 7 синих шаров. Какова вероятность того, что из первой урны наудачу будет вынут красный шар, а из второй синий?
Решение. Пусть событие A1— из первой урны вынут красный шар; A2— из второй урны вынут синий шар:
, .
События A1 и A2 независимые. Вероятность совместного появления событий A1 и A2
равна

4. Имеется колода карт (36 штук). Вынимаются наудачу две карты подряд. Какова вероятность того, что обе вынутые карты будут красной масти?
Решение. Пусть событие A1 — первая вынутая карта красной масти. Событие A2
— вторая вынутая карта красной масти. B — обе вынутые карты красной масти. Так как должны произойти и событие A1, и событие A2 , то B = A1 · A2. События A1 и A2 зависимые, следовательно, P (B) вычисляем по формуле (9).


Отсюда

5. В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8, 6 шаров. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?
Решение. Пусть индекс 1 означает белый цвет, индекс 2 — черный цвет; 3 — красный цвет. Пусть событие Ai — из первой урны извлекли шар i-го цвета; событие Bj — из второй урны извлекли шар j -го цвета; событие A — оба шара одного цвета.
A = A1 · B1 + A2 · B2 + A3 · B3. События Ai и Bj независимые, а Ai · Bi и Aj · Bj несовместные при i ≠ j . Следовательно,

6. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что взятое изделие стандартное, равна 0,9. Найдите вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.
Решение. Пусть событие Ai — i-е изделие стандартное, i = 1; 2. Пусть событие A — из двух проверенных изделий только одно стандартное.


так как события A1 и A2 независимые, следовательно, события — тоже независимые события; события и — несовместные события. 7. Одновременно произвели выстрел 4 пушки. Вероятность того, что в цель попаданий, с первого орудия равна 0,6, с другой - 0,65, с третьей - 0,75, с четвертой - 0,7. Найти вероятность того, что в цель:
а) не попаданий;
б) попаданий только из двух пушек.
Решение.
а) не попаданий;
P(0) = (1-0.6)*(1-0.65)*(1-0.75)*(1-0.7) = 0.0105
б) попаданий только из двух пушек.
P(2) = 0.6*0.65*(1-0.75)*(1-0.7) + 0.6*(1-0.65)*(1-0.75)*0.7 + (1-0.6)*(1-0.65)*0.75*0.7 + (1-0.6)*0.65*0.75*(1-0.7) = 0.198