Уравнение регрессии
Уравнение парной регрессии
Решить онлайн
Примеры решений Коэффициент Спирмена Мультиколлинеарность Линейная регрессия Коэффициент детерминации Частные F-критерии Частные коэффициенты эластичности Проверка на автокорреляцию

Матрица парных коэффициентов корреляции

Матрица парных коэффициентов корреляции представляет собой матрицу, элементами которой являются парные коэффициенты корреляции. Например, для трех переменных эта матрица имеет вид:
-yx1x2x3
y1ryx1ryx2ryx3
x1rx1y1rx1x2rx1x3
x2rx2yrx2x11rx2x3
x3rx3yrx3x1rx3x21

Вставьте в поле матрицу парных коэффициентов.

Пример. По данным 154 сельскохозяйственных предприятий Кемеровской области 2003 г. изучить эффективность производства зерновых (табл. 13).

Задание

  1. Определите факторы, формирующие рентабельность зерновых в сельскохозяйственных предприятий в 2003 г.
  2. Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Установите, какие факторы мультиколлинеарны.
  3. Постройте уравнение регрессии, характеризующее зависимость рентабельности зерновых от всех факторов.
  4. Оцените значимость полученного уравнения регрессии. Какие факторы значимо воздействуют на формирование рентабельности зерновых в этой модели?
  5. Оцените значение рентабельности производства зерновых в сельскохозяйственном предприятии № 3.

Решение получаем с помощью калькулятора Уравнение множественной регрессии:

1. Оценка уравнения регрессии.
Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор   получается из выражения:
s = (XTX)-1XTY
Матрица X

1 0.43 2.02 0.29
1 0.87 1.29 0.55
1 1.01 1.09 0.7
1 0.63 1.68 0.41
1 0.52 0.3 0.37
1 0.44 1.98 0.3
1 1.52 0.87 1.03
1 2.19 0.8 1.3
1 1.8 0.81 1.17
1 1.57 0.84 1.06
1 0.94 1.16 0.64
1 0.72 1.52 0.44
1 0.73 1.47 0.46
1 0.77 1.41 0.49
1 1.21 0.97 0.88
1 1.25 0.93 0.91
1 1.31 0.91 0.94
1 0.38 2.08 0.27
1 0.41 2.05 0.28
1 0.48 1.9 0.32
1 0.58 1.73 0.38
1 0 0 0

Матрица Y
0.22
0.67
0.79
0.42
0.32
0.24
0.95
1.05
0.99
0.96
0.73
0.52
2.1
0.58
0.87
0.89
0.91
0.14
0.18
0.27
0.37
0

Матрица XT
Умножаем матрицы,  (XTX)

22 19.76 27.81 13.19
19.76 23.78 22.45 15.73
27.81 22.45 42.09 14.96
13.19 15.73 14.96 10.45

В матрице,  (XTX) число 22, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XTи 1-го столбца матрицы X
Умножаем матрицы,  (XTY)
14.17
15.91
16.58
10.56

Находим определитель det(XTX)T= 34.35
Находим обратную матрицу (XTX)-1
0.6821 0.3795 -0.2934 -1.0118
0.3795 9.4402 -0.133 -14.4949
-0.2934 -0.133 0.1746 0.3204
-1.0118 -14.4949 0.3204 22.7272

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен
s = (XTX)-1XTY =
0.1565
0.3375
0.0043
0.2986

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии): Y = 0.1565 + 0.3375X 1+ 0.0043X 2+ 0.2986X 3

Матрица парных коэффициентов корреляции

Число наблюдений n = 22. Число независимых переменных в модели ровно 3, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 5. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (22 х 5). Матрица ХTХ определяется непосредственным умножением или по следующим предварительно вычисленным суммам.
Матрица составленная из Y и X
1 0.22 0.43 2.02 0.29
1 0.67 0.87 1.29 0.55
1 0.79 1.01 1.09 0.7
1 0.42 0.63 1.68 0.41
1 0.32 0.52 0.3 0.37
1 0.24 0.44 1.98 0.3
1 0.95 1.52 0.87 1.03
1 1.05 2.19 0.8 1.3
1 0.99 1.8 0.81 1.17
1 0.96 1.57 0.84 1.06
1 0.73 0.94 1.16 0.64
1 0.52 0.72 1.52 0.44
1 2.1 0.73 1.47 0.46
1 0.58 0.77 1.41 0.49
1 0.87 1.21 0.97 0.88
1 0.89 1.25 0.93 0.91
1 0.91 1.31 0.91 0.94
1 0.14 0.38 2.08 0.27
1 0.18 0.41 2.05 0.28
1 0.27 0.48 1.9 0.32
1 0.37 0.58 1.73 0.38
1 0 0 0 0

Транспонированная матрица
Матрица ATA.

22 14.17 19.76 27.81 13.19
14.17 13.55 15.91 16.58 10.56
19.76 15.91 23.78 22.45 15.73
27.81 16.58 22.45 42.09 14.96
13.19 10.56 15.73 14.96 10.45

Полученная матрица имеет следующее соответствие:
∑n ∑y ∑x1 ∑x2 ∑x3
∑y ∑y² ∑x1y ∑x2y ∑x3
∑x1 ∑x1y ∑x²1 ∑x2x1 ∑x3x1
∑x2 ∑x2y ∑x2x1 ∑x²2 ∑x3x2
∑x3 ∑x3y ∑x3x1 ∑x3x2 ∑x²3

Найдем парные коэффициенты корреляции.
Для y и x1
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения



Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение


Коэффициент корреляции

Для y и x2
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения



Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение


Коэффициент корреляции

Для y и x3
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения



Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение


Коэффициент корреляции

Для x1  и x2
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения



Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение


Коэффициент корреляции

Для x1  и x3
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения



Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение


Коэффициент корреляции

Для x2  и x3
Уравнение имеет вид y = ax + b
Средние значения



Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение


Коэффициент корреляции

Матрица парных коэффициентов корреляции.
- y x1 x2 x3
y 1 0.62 -0.24 0.61
x1 0.62 1 -0.39 0.99
x2 -0.24 -0.39 1 -0.41
x3 0.61 0.99 -0.41 1

Анализ первой строки этой матрицы позволяет произвести отбор факторных признаков, которые могут быть включены в модель множественной корреляционной зависимости. Факторные признаки, у которых ryxi< 0.5 исключают из модели.
Коллинеарность – зависимость между факторами. В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств:
r(xjy) > r(xkxj) ; r(xky) > r(xkxj).
Если одно из неравенств не соблюдается, то исключается тот параметр xkили xj, связь которого с результативным показателем Y оказывается наименее тесной.

3. Анализ параметров уравнения регрессии.
Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации
Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:
Несмещенная ошибка e = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)

-0.18
0.05
0.08
-0.08
-0.12
-0.16
-0.03
-0.24
-0.13
-0.05
0.06
-0.02
1.55
0.01
0.04
0.04
0.03
-0.23
-0.21
-0.15
-0.1
-0.16

se2= (Y - X*s)T(Y - X*s)
Несмещенная оценка дисперсии равна

Оценка среднеквадратичного отклонения равна

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = a*(XTX)-1
0.26 0.15 -0.11 -0.39
0.15 3.66 -0.05 -5.61
-0.11 -0.05 0.07 0.12
-0.39 -5.61 0.12 8.8

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S 2i= Kii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали
С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле:


Частные коэффициент эластичности E1< 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Частные коэффициент эластичности E2< 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Частные коэффициент эластичности E3< 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.
Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции (от 0 до 1)

Связь между признаком Y факторами X  умеренная
Коэффициент детерминации
R2= 0.62 2= 0.38, т.е. в 38.0855 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - средняя

Значимость коэффициента корреляции

По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл(n-m-1;a) = (18;0.05) = 1.734
Поскольку Tнабл > Tтабл , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициента корреляции статистически - значим
Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал)

Доверительный интервал для коэффициента корреляции
r(0.3882;0.846)

5. Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии (проверка значимости параметров множественного уравнения регрессии).
1) t-статистика


Статистическая значимость коэффициента регрессии b0не подтверждается

Статистическая значимость коэффициента регрессии b1не подтверждается

Статистическая значимость коэффициента регрессии b2не подтверждается

Статистическая значимость коэффициента регрессии b3не подтверждается
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии (tтабл = 1.734)
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими:
(bi-tтабл·Si; bi+tтабл·Si)
b0: (-0.7348;1.0478)
b1: (-2.9781;3.6531)
b2: (-0.4466;0.4553)
b3: (-4.8459;5.4431)

2) F-статистика. Критерий Фишера


Fkp = 2.93
Поскольку F < Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим и уравнение регрессии статистически ненадежно.
6. Проверка на наличие гетероскедастичности методом графического анализа остатков.
В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной Xi, а по оси ординат квадраты отклонения ei2.

y y(x) e=y-y(x) e2
0.22 0.4 -0.18 0.03
0.67 0.62 0.05 0
0.79 0.71 0.08 0.01
0.42 0.5 -0.08 0.01
0.32 0.44 -0.12 0.02
0.24 0.4 -0.16 0.03
0.95 0.98 -0.03 0
1.05 1.29 -0.24 0.06
0.99 1.12 -0.13 0.02
0.96 1.01 -0.05 0
0.73 0.67 0.06 0
0.52 0.54 -0.02 0
2.1 0.55 1.55 2.41
0.58 0.57 0.01 0
0.87 0.83 0.04 0
0.89 0.85 0.04 0
0.91 0.88 0.03 0
0.14 0.37 -0.23 0.05
0.18 0.39 -0.21 0.04
0.27 0.42 -0.15 0.02
0.37 0.47 -0.1 0.01
0.16 -0.16 0.02
Статистика
Показатели динамики: цепные и базисные, средний темп прироста
Решить онлайн
Уравнение тренда
Аналитическое выраванивание ряда по прямой, параболе, экспоненте
Аналитическое выравнивание ряда
Решить онлайн
Нелинейная регрессия
Нелинейная регрессия: парабола, гипербола, экспонента, степенная, логарифмическая
Нелинейная регрессия
Решить онлайн
Курсовые на заказ