Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Метод Брауна Системы массового обслуживания
Матрица рисков Седловая точка Платежная матрица Цена игры
Смешанные стратегии Матричная игра онлайн Чистые стратегии

Критерий Гурвица

Критерий Гурвица основан на следующих двух предположениях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1 — y) и в самом выгодном состоянии с вероятностью y, где y — коэффициент доверия. Если результат hji — прибыль, полезность, доход и т.п., то критерий Гурвица записывается так:
W = max[ymax[hji]+(1-y)min[hji]]
Когда целевая функция представляет затраты (потери), то:
W = min[ymin[hji]+(1-y)max[hji]]

Назначение сервиса. С помощью онлайн калькулятора выбирается оптимальная стратегия по критерию Гурвица. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word (см. Пример оформления).

Инструкция Для расчета и оформления решения в формате Word и Excel необходимо выбрать
размерность платежной матрицы x
Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами (1 — y) и y, где 0<y<1. Значение y от 0 до 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или к оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности y = 0,5 представляется наиболее разумной.

Пример. Исходные данные:

8 4 6 20
7 7 7 7
6 12 8 10
Критерий Вальда.
По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
a = max(min aij)
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Ai П1 П2 П3 П4 min(aij)
A1 8 4 6 20 4
A2 7 7 7 7 7
A3 6 12 8 10 6
Выбираем из (4; 7; 6) максимальный элемент max=7
Вывод: выбираем стратегию N=2.
Критерий Севиджа.
Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:
a = min(max rij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Находим матрицу рисков.
Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце bj = max(aij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r11 = 8 - 8 = 0; r21 = 8 - 7 = 1; r31 = 8 - 6 = 2;
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.
r12 = 12 - 4 = 8; r22 = 12 - 7 = 5; r32 = 12 - 12 = 0;
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.
r13 = 8 - 6 = 2; r23 = 8 - 7 = 1; r33 = 8 - 8 = 0;
4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.
r14 = 20 - 20 = 0; r24 = 20 - 7 = 13; r34 = 20 - 10 = 10
Ai П1 П2 П3 П4
A1 0 8 2 0
A2 1 5 1 13
A3 2 0 0 10
Результаты вычислений оформим в виде таблицы.
Ai П1 П2 П3 П4 max(aij)
A1 0 8 2 0 8
A2 1 5 1 13 13
A3 2 0 0 10 10
Выбираем из (8; 13; 10) минимальный элемент min=8
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Критерий Гурвица.
Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:
max(si)
где si = y min(aij) + (1-y)max(aij)
При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).
Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.
Рассчитываем si.
s1 = 0.5•4+(1-0.5)•20 = 12
s2 = 0.5•7+(1-0.5)•7 = 7
s3 = 0.5•6+(1-0.5)•12 = 9
AiП1П2 П3 П4 min(aij) max(aij) y min(aij) + (1-y)max(aij)
A1 8 4 6 20 4 20 12
A2 7 7 7 7 7 7 7
A3 6 12 8 10 6 12 9
Выбираем из (12; 7; 9) максимальный элемент max=12
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Обобщенный критерий Гурвица.
Данный критерий является некоторым обобщением критериев крайнего пессимизма и крайнего оптимизма и также представляет собой частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей при следующем допущении:
λ1=1-λ, λ2=λ3=…=λn-1=0, λn=λ, где 0 ≤ λ ≤ 1
Тогда показатель эффективности стратегии Ai по Гурвицу есть:
Gi=(1-λ)min aij + λmax aij
Оптимальной стратегией Ai0 считается стратегия с максимальным значением показателя эффективности.
Строим вспомогательную матрицу B, полученную путем упорядочивания показателей доходностей в каждой строке.
Подход пессимиста. λ выбирается из условия невозрастания среднего:

G1 = 0.304 • 4+(1-0.304) • 20 = 15.143; G2 = 0.304 • 7+(1-0.304) • 7 = 7; G3 = 0.304 • 6+(1-0.304) • 12 = 10.179;
Подход оптимиста. λ выбирается из условия неубывания среднего:

G1 = 0.696 • 4+(1-0.696) • 20 = 8.857; G2 = 0.696 • 7+(1-0.696) • 7 = 7; G3 = 0.696 • 6+(1-0.696) • 12 = 7.821
Ai П1 П2 П3 П4 min(aij) max(aij) Подход пессимиста Подход оптимиста
A1 4 6 8 20 4 20 15.14 8.86
A2 7 7 7 7 7 7 7 7
A3 6 8 10 12 6 12 10.18 7.82
Выбираем из (15.143; 7; 10.179) максимальный элемент max=15.14
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Оптимальные стратегии по обобщенному критерию Гурвица.
b = 17 + 21 + 25 + 39 = 102
Показатели эффективности по Гурвицу.
Подход пессимиста



Подход оптимиста




Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A1.