Критерий Гурвица

Критерий Гурвица основан на следующих двух предположениях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1 — y) и в самом выгодном состоянии с вероятностью y, где y — коэффициент доверия. Если результат h_ji — прибыль, полезность, доход и т.п., то критерий Гурвица записывается так:

W = max[ymax[h_ji]+(1-y)min[h_ji]]

Когда целевая функция представляет затраты (потери), то:

W = min[ymin[h_ji]+(1-y)max[h_ji]]

Назначение сервиса. С помощью онлайн калькулятора выбирается оптимальная стратегия по критерию Гурвица. Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word (см. Пример оформления).

Инструкция Для расчета и оформления решения в формате Word и Excel необходимо выбрать

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами (1 — y) и y, где 0<y<1. Значение y от 0 до 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или к оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности y = 0,5 представляется наиболее разумной.

Пример. Исходные данные:

8	4	6	20
7	7	7	7
6	12	8	10

Критерий Вальда.
По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
a = max(min a_ij)
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.

A_i	П₁	П₂	П₃	П₄	min(a_ij)
A₁	8	4	6	20	4
A₂	7	7	7	7	7
A₃	6	12	8	10	6

Выбираем из (4; 7; 6) максимальный элемент max=7
Вывод: выбираем стратегию N=2.
Критерий Севиджа.
Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:
a = min(max r_ij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Находим матрицу рисков.
Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце b_j = max(a_ij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r₁₁ = 8 - 8 = 0; r₂₁ = 8 - 7 = 1; r₃₁ = 8 - 6 = 2;
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.
r₁₂ = 12 - 4 = 8; r₂₂ = 12 - 7 = 5; r₃₂ = 12 - 12 = 0;
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.
r₁₃ = 8 - 6 = 2; r₂₃ = 8 - 7 = 1; r₃₃ = 8 - 8 = 0;
4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.
r₁₄ = 20 - 20 = 0; r₂₄ = 20 - 7 = 13; r₃₄ = 20 - 10 = 10

A_i	П₁	П₂	П₃	П₄
A₁	0	8	2	0
A₂	1	5	1	13
A₃	2	0	0	10

Результаты вычислений оформим в виде таблицы.

A_i	П₁	П₂	П₃	П₄	max(a_ij)
A₁	0	8	2	0	8
A₂	1	5	1	13	13
A₃	2	0	0	10	10

Выбираем из (8; 13; 10) минимальный элемент min=8
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Критерий Гурвица.
Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:
max(s_i)
где s_i = y min(a_ij) + (1-y)max(a_ij)
При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).
Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.
Рассчитываем s_i.
s₁ = 0.5•4+(1-0.5)•20 = 12
s₂ = 0.5•7+(1-0.5)•7 = 7
s₃ = 0.5•6+(1-0.5)•12 = 9

A_i	П₁	П₂	П₃	П₄	min(a_ij)	max(a_ij)	y min(a_ij) + (1-y)max(a_ij)
A₁	8	4	6	20	4	20	12
A₂	7	7	7	7	7	7	7
A₃	6	12	8	10	6	12	9

Выбираем из (12; 7; 9) максимальный элемент max=12
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Обобщенный критерий Гурвица.
Данный критерий является некоторым обобщением критериев крайнего пессимизма и крайнего оптимизма и также представляет собой частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей при следующем допущении:
λ₁=1-λ, λ2=λ3=…=λ_n-1=0, λ_n=λ, где 0 ≤ λ ≤ 1
Тогда показатель эффективности стратегии A_i по Гурвицу есть:
G_i=(1-λ)min a_ij + λmax a_ij
Оптимальной стратегией A_i0 считается стратегия с максимальным значением показателя эффективности.
Строим вспомогательную матрицу B, полученную путем упорядочивания показателей доходностей в каждой строке.
Подход пессимиста. λ выбирается из условия невозрастания среднего:

G₁ = 0.304 • 4+(1-0.304) • 20 = 15.143; G₂ = 0.304 • 7+(1-0.304) • 7 = 7; G₃ = 0.304 • 6+(1-0.304) • 12 = 10.179;
Подход оптимиста. λ выбирается из условия неубывания среднего:

G₁ = 0.696 • 4+(1-0.696) • 20 = 8.857; G₂ = 0.696 • 7+(1-0.696) • 7 = 7; G₃ = 0.696 • 6+(1-0.696) • 12 = 7.821

A_i	П₁	П₂	П₃	П₄	min(a_ij)	max(a_ij)	Подход пессимиста	Подход оптимиста
A₁	4	6	8	20	4	20	15.14	8.86
A₂	7	7	7	7	7	7	7	7
A₃	6	8	10	12	6	12	10.18	7.82

Выбираем из (15.143; 7; 10.179) максимальный элемент max=15.14
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Оптимальные стратегии по обобщенному критерию Гурвица.
b = 17 + 21 + 25 + 39 = 102
Показатели эффективности по Гурвицу.
Подход пессимиста