Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Калькуляторы по этой теме
Список наиболее популярных калькуляторов по дисциплине Теория игр и Исследование операций.
Подробнее
Примеры решений Метод Брауна Системы массового обслуживания Матрица рисков Седловая точка Платежная матрица Цена игры Смешанные стратегии Матричная игра онлайн Чистые стратегии

Нижняя и верхняя цена игры

Найдем наилучшую стратегию игрока A, для чего проанализируем последовательно все его стратегии. Выбирая стратегию Ai, мы должны рассчитывать, что игрок B ответит на нее такой стратегией Bj, для которой выигрыш A будет минимальным. Поэтому среди чисел первой строки выбираем минимальное, обозначим его , запишем его в добавочный столбец. Аналогично для каждой стратегии Ai выбираем , т.е. αi – минимальный выигрыш при применении стратегии Ai.
В примере 1:
α1 = min {0, –1, –2} = –2;
α 2 = min {1, 0, –1} = –1;
α 3 = min {0, –1, –2} = 0.
Эти числа запишем в добавочном столбце. Какую же стратегию должен выбрать игрок A? Конечно же, ту стратегию, для которой αi максимально. Обозначим . Это гарантированный выигрыш, который может обеспечить себе игрок A, т.е. ; этот выигрыш называется нижней ценой игры или максимином. Стратегия Ai, обеспечивающая получение нижней цены игры, называется максиминной (перестраховочной). Если игрок A будет придерживаться этой стратегии, то ему гарантирован выигрыш ≥α при любом поведении игрока B.
В примере 1 . Это означает, что если A будет писать «3», то он хотя бы не проиграет. Игрок B заинтересован уменьшить выигрыш A. Выбирая стратегию B1, он из соображений осторожности учитывает максимально возможный при этом выигрыш A. Обозначим . Аналогично при выборе стратегии Bj максимально возможный выигрыш A– ; запишем эти числа в добавочной строке. Чтобы уменьшить выигрыш A, надо из чисел β j выбрать наименьшее . Число  называется верхней ценой игры или минимаксом. Это гарантированный проигрыш игрока B (т. е. он проиграет не больше, чем β). Стратегия игрока B, обеспечивающая выигрыш ≥ - β, называется его минимаксной стратегией.
В примере 1:
β1=max{0,1,2}=2;
β2=max{-1,0,1}=1;
β3=max{-2,-1,0}=0;
β=min{2,1,0}=0;
Это означает, что оптимальная стратегия B – писать «3», тогда он хотя бы не проиграет.
 BA B1 B2 B3 αi
A1 0 – 1 –2 –2
A2 1 0 –1 –1
A3 2 1 0 0
βj 2 1 0 0
Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее «осторожных» минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.
Можно доказать, что , т.е. α≤β.
В примере 1 α=β. Если α=β, т.е. минимакс совпадает с максимином, то такая игра называется игрой с седловой точкой. Седловая точка – это пара оптимальных стратегий ( Ai, Bj). В примере 1 игра имеет седловую точку (А3, B3). В этом случае число α = β называется (чистой) ценой игры (нижняя и верхняя цена игры совпадают). Это означает, что матрица содержит такой элемент, который является минимальным в своей строке и одновременно максимальным в своем столбце. В примере 1 это элемент 0. Цена игры равна 0.
Оптимальные стратегии в любой игре обладают важным свойством, а именно – устойчивостью. Это означает, что каждый из игроков не заинтересован в отходе от своей оптимальной стратегии, т. к. это ему невыгодно. Отклонение от оптимальной стратегии игрока А приводит к уменьшению его выигрыша, а одностороннее отклонение игрока В – к увеличению проигрыша. Говорят, что седловая точка дает положение равновесия.

Перейти к онлайн решению

Пример 2. Первая сторона (игрок А) выбирает один из трех типов вооружения – А1, А2, А3, а противник (игрок В) – один из трех видов самолетов: В1, В2, В3. Цель В – прорыв фронта обороны, цель А – поражение самолета. Вероятность поражения самолета В1 вооружением А1 равна 0,5, самолета В2 вооружением А1 равна 0,6, самолета В3 вооружением А1 равна 0,8 и т.д., т.е. элемент aij платежной матрицы – вероятность поражения самолета В j вооружением Аi. Платежная матрица имеет вид:

В / А Вид самолета
В1 В2 В3
Тип вооружения А1 0,5 0,6 0,8
А2 0,9 0,7 0,8
А3 0,7 0,5 0,6
Решить игру, т.е. найти нижнюю и верхнюю цену игры и оптимальные стратегии.
Решение. В каждой строке находим минимальный элемент и записываем его в добавочном столбце. В каждом столбце находим максимальный элемент и записываем его в добавочной строке.
В / А В1 В2 В3 α i
А1 0,5 0,6 0,8 0,5
А2 0,9 0,7 0,8 0,7
А3 0,7 0,5 0,6 0,5
β j 0,9 0,7 0,8 0,7 / 0,7
В добавочном столбце находим максимальный элемент &alpha=max αi=0,7, в добавочной строке находим минимальный элемент β= min βj=0,7.
Ответ: α=β=0,7. Оптимальные стратегии – А2 и В2.

Пример 3. Игра в орлянку. Каждый игрок при своем ходе может выбирать одну из двух стратегий: орел или решка. При совпадении выбранных стратегий А получает выигрыш +1, при несовпадении B получает выигрыш 1 (т. е. А получает выигрыш –1). Платежная матрица:

В / А В1 (орел) В2 (решка)
А1 (орел) 1 -1
А2(решка) -1 1
Найти нижнюю и верхнюю цену игры. Имеет ли игра седловую точку?

Решение.

В1 В2 αi
А1 1 -1 -1
А2 -1 1 1
βj 1 1 -1 1

α = -1, β = 1, т. е. А проиграет не больше 1, и B проиграет не больше 1. Так как α ≠ β, игра не имеет седловой точки. Положения равновесия в этой игре не существует, и оптимального решения в чистых стратегиях найти нельзя.

Пример. Найдите нижнюю цену игру, верхнюю цену игры, определите седловые точки, оптимальные чистые стратегии и цену игры (если они существуют).

Найти верхнюю и нижнюю цену игры.

ИгрокиB1B2B3B4a = min(Ai)
A176454
A221971
A345353
b = max(Bi)7697

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 4, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 6.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 4≤y≤6. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии)
Стратегия A1 доминирует над стратегией A3 (все элементы строки 1 больше или равны значениям 3-ой строки), следовательно исключаем 3-ую строку матрицы. Вероятность p3 = 0.
7645
2197
Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:
1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A1, правый - стратегии A2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2).
2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A1. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A2.
Решение игры (2 x n) проводим с позиции игрока A, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.
Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B2B2 и B3B3, для которых можно записать следующую систему уравнений:
y = 6 + (1 - 6)p2
y = 4 + (9 - 4)p2
Откуда
p1 = 4/5
p2 = 1/5
Цена игры, y = 5
Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений, исключив стратегию B1,B4, которая дает явно больший проигрыш игроку B, и, следовательно, q1 = 0,q4 = 0.
6q2+4q3 = y
q2+9q3 = y
q2+q3 = 1
или
6q2+4q3 = 5
q2+9q3 = 5
q2+q3 = 1
Решая эту систему методом Гаусса, находим: q2 = 1/2, q3 = 1/2