Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Метод Брауна Системы массового обслуживания
Матрица рисков Седловая точка Платежная матрица Цена игры
Смешанные стратегии Матричная игра онлайн Чистые стратегии

Биматричные игры

В играх с ненулевой суммой в выигрыше или проигрыше могут оказаться все участники игры. Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой. В этом случае для каждой игровой ситуации AiBj каждый из игроков имеет свой выигрыш aij для первого игрока и bij– для второго игрока. К биматричной игре сводится, например, поведение производителей на рынках несовершенной конкуренции. С помощью онлайн-калькулятора можно найти решение биматричной игры, а также ситуации оптимальные по Парето и ситуации устойчивые по Нэшу.
Инструкция. Выберите размерность матрицы, нажмите Далее. Решение оформляется в формате Word (см. пример).
Размерность платежной матрицы x

Рассмотрим конфликтную ситуацию, в которой каждый из двух участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения:

При этом их совместный выбор оценивается вполне определённо: если игрок А выбрал i-ю стратегию Аi, а игрок В – k-ю стратегию Вk, то в итоге выигрыш игрока А будет равен некоторому числу aik, а выигрыш игрока В некоторому, вообще говоря, другому числу bik.
Последовательно перебирая все стратегии игрока А и все стратегии игрока В, мы сможем заполнить их выигрышами две таблицы.

Первая из таблиц описывает выигрыш игрока А, а вторая – выигрыш игрока В. Обычно эти таблицы записывают в виде матрицы.
Здесь А – платёжная матрица игрока А, В – платёжная матрица игрока В.

Таким образом, в случае, когда интересы игроков различны (но не обязательно противоположны) получаются две платёжные матрицы: одна – матрица выплат игроку А, другая – матрица выплат игроку В. Поэтому совершенно естественно звучит название, которое обычно присваивается подобной игре – биматричная.

Равновесие Нэша – равновесие, когда каждый участник игры выбирает стратегию, которая является для него оптимальной при условии, что остальные участники игры придерживаются определенной стратегии.
Равновесие Нэша не всегда является наиболее оптимальным для участников. В этом случае говорят, что равновесие не является Парето-оптимальным.
Чистая стратегия – определенная реакция игрока на возможные варианты поведения других игроков.
Смешанная стратегия – вероятностная (не определенная точно) реакция игрока на поведение других игроков.

Пример №1. Борьба за рынки сбыта.
Фирма а намерена сбыть партию товара на одном из двух рынков, контролируемых более крупной фирмой b. С этой целью она проводит подготовительную работу, связанную с определенными затратами. Если фирма b разгадает, на каком из рынков фирма а будет продавать свой товар, она примет контрмеры и воспрепятствует "захвату" рынка (этот вариант означает поражение фирмы а); если нет, то фирма а одерживает победу. Предположим, что для фирмы а проникновение на первый рынок более выгодно, чем проникновение на второй, но и борьба на первом рынке требует от нее больших средств. Например, победа фирмы а на первом рынке приносит ей вдвое большую прибыль, чем победа на втором, но зато поражение на первом рынке полностью ее разоряет.
Составим математическую модель этого конфликта, считая фирму а игроком 1 и фирму b игроком 2. Стратегии игрока 1: А1 – проникновение на рынок 1, А2 – проникновение на рынок 2; стратегии игрока 2: В1 – контрмеры на рынке 1, В2 – контрмеры на рынке 2. Пусть для фирмы а ее победа на 1-м рынке оценивается в 2 единицы, а победа на 2-м рынке – в 1 единицу; поражение фирмы а на 1-м рынке оценивается в -10, а на 2-м в -1. Для фирмы b ее победа составляет соответственно 5 и 1 единицу, а поражение -2 и -1. Получаем в итоге биматричную игру Г с матрицами выигрышей
.
По теореме эта игра может иметь либо чистые, либо вполне смешанные ситуации равновесия. Ситуаций равновесия в чистых стратегиях здесь нет. Убедимся теперь, что данная игра имеет вполне смешанную ситуацию равновесия. Находим , .
Итак, рассматриваемая игра имеет единственную ситуацию равновесия (x0;y0), где , . Она может быть реализована при многократном повторении игры (то есть при многократном воспроизведении описанной ситуации) следующим образом: фирма а должна использовать чистые стратегии 1 и 2 с частотами 2/9 и 7/9, а фирма b – чистые стратегии 1 и 2 с частотами 3/14 и 11/14. Любая из фирм, отклонившись от указанной смешанной стратегии, уменьшает свой ожидаемый выигрыш.

Пример №2. Найти ситуации оптимальные по Парето и ситуации устойчивые по Нэшу для биматричной игры.

Пример №3. Имеются 2 фирмы: первая может произвести одно из двух изделий А1 и А2, вторая – одно из двух изделий B1, B2. Если первая фирма произведет продукцию Ai (i = 1, 2), а вторая - Bj (j = 1, 2), то прибыль этих фирм (зависящая от того, являются ли эти изделия взаимодополняющими или конкурирующими), определяется таблицей №1:

В1В2
А1(5, 6)(3, 2)
А2(2, 1)(5, 3)
Считая, что фирмы заключают между собой соглашение, определить справедливое распределение прибыли, используя арбитражное решение Нэша.