Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Метод Брауна Системы массового обслуживания
Матрица рисков Седловая точка Платежная матрица Цена игры
Смешанные стратегии Матричная игра онлайн Чистые стратегии

Седловая точка

Седловая точка – это пара оптимальных стратегий (Ai, Bj). В этом случае число a=b называется (чистой) ценой игры (нижняя и верхняя цена игры совпадают). Это означает, что матрица содержит такой элемент, который является минимальным в своей строке и одновременно максимальным в своем столбце.

Пример №1. Найдите седловую точку и чистую цену в игре двух участников с нулевой суммой, в которой платежная матрица второго игрока имеет вид.

Решение. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

Игроки B1 B2 B3 B4 a = min(Ai)
A1 8 7 0 6 0
A2 6 8 5 10 5
b = max(Bi ) 8 8 5 10 0
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = (0,5,0) = 5, которая указывает на максимальную чистую стратегию A2.
Верхняя цена игры b = min(bj) = (8,8,5,10) = 5.
Седловая точка (2, 3) указывает решение на пару альтернатив (A2,B3). Цена игры равна 5.
Размерность платежной матрицы x

Пример №2. Игрок 1 выбирает число х из множества Х=[0; 1], игрок 2 выбирает число y из множества Y=[0; 1]. После этого игрок 2 платит игроку 1 сумму F(x,y)=2x2-y2. Имеет ли игра седловую точку?
Решение. Поскольку игрок 2 хочет минимизировать выигрыш игрока 1, то он определяет , то есть при этом y =1. Игрок 1 желает максимизировать свой выигрыш, и поэтому определяет , который достигается при х = 1.
Итак, нижняя цена игры равна α = 1. Верхняя цена игры , то есть в этой игре α=β= 1. Поэтому цена игры v = 1, а седловая точка – (1;1).