Платежная матрица
Парную игру с нулевой суммой удобно исследовать, если она описана в виде матрицы.Предположим, что игрок A имеет m стратегий (обозначим их А1, А2, …, Am), а игрок B (противник) – n стратегий (B1, B2, …, Bm). Такая игра называется игрой размерности m х n. Пусть игрок A выбрал одну из своих возможных стратегий Ai.
Игрок B, не зная результата выбора игрока A, выбрал стратегию Bj.
Для каждой пары стратегий (Ai,
Bj) определен платеж aij второго игрока первому, т.е. выигрыш игрока A.
Выигрышем игрока B будет соответственно (– aij). Никакой дискриминации по отношению ко второму игроку здесь нет, т. к. величины aij могут быть и отрицательны, тогда –aij > 0. Например, a13 = –2 – выигрыш A, –a13 = 2 – выигрыш B. Такая игра называется матричной; матрица, составленная из чисел aij , называется платежной. В примере 1 платежная матрица имеет вид
.| B A | B1 | B2 | … | Bj | … | Bn |
| A1 | a11 | a12 | … | a1j | … | a1n |
| A2 | a21 | a22 | … | a2j | … | a2n |
| … | … | |||||
| Ai | ai1 | ai2 | … | aij | … | ain |
| … | … | … | … | … | … | … |
| Am | am1 | am2 | … | amj | … | amn |
Пример №1. Игроки A и B играют в следующую игру. Игрок A записывает одно из чисел 3, 7, 8, а игрок B записывает одно из чисел 4, 5. Если сумма чисел четная, то это выигрыш игрока A. Если сумма чисел нечётная, то это выигрыш игрока B (проигрыш игрока A). Найти платёжную матрицу и оптимальное решение.
Решение. Если сумма чисел чётная, игрок A получает выигрыш +1, иначе игрок B получает выигрыш +1 (т.е. A получает выигрыш –1). Платежная матрица:
| 3 | 7 | 8 | |
| 4 | -1 | -1 | 1 |
| 5 | 1 | 1 | -1 |
Решение матричной игры.
Пример №2. Два игрока независимо друг от друга называют по одному числу из диапазона 1-5. Если сумма чисел нечетная, то игрок 2 платит игроку 1 сумму, равную максимальному из чисел; если четная, то платит игрок 1.
Решение. Будем записывать положительные числа, как плата первому игроку, отрицательные – плата второму.
Платежная матрица игры.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| 1 | -1 | 2 | -3 | 4 | -5 |
| 2 | 2 | -2 | 3 | -4 | 5 |
| 3 | -3 | 3 | -3 | 4 | -5 |
| 4 | 4 | -4 | 4 | -4 | 5 |
| 5 | -5 | 5 | -5 | 5 | -5 |
Пример №3. Небольшая частная фирма производит косметическую продукцию для подростков. В течение месяца реализуется 15, 16 или 17 упаковок товара. От продажи каждой упаковки фирма получает 75 руб. прибыли. Косметика имеет малый срок годности, поэтому, если упаковка не продана в месячный срок, она должна быть уничтожена. Поскольку производство одной упаковки обходится в 115 руб., потери фирмы составляют 115 руб., если упаковка не продана к концу месяца. Вероятности продать 15, 16 или 17 упаковок за месяц составляют соответственно 0,55; 0,1 и 0,35. Сколько упаковок косметики следует производить фирме ежемесячно? Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения? Сколько упаковок можно было бы производить при значительном продлении срока хранения косметической продукции?
Решени.
Затраты на производство: 115 руб. Доход: 115+75 = 190 руб.
Реализация только произведенной продукции по формуле: Прибыль = Цена * Объем продаж – Себестоимость * Объем производства
1125 = 15*190 – 15*115
1010 = 15*190 – 16*115
1200 = 16*190 – 16*115
895 = 15*190 – 17*115
1085 = 16*190 – 17*115
1275 = 17*190 – 17*115
| 15 | 16 | 17 | Средняя прибыль | Средняя прибыль с учетом вероятности | |
| 15 | 1125 | 1125 | 1125 | (1125 + 1125 + 1125)/3 = 1125 | 1125*0,55 + 1125*0,1 + 1125*0,35 = 1125 |
| 16 | 1010 | 1200 | 1200 | (1010 + 1200 + 1200)/3 = 1136,7 | 1010*0,55 + 1200*0,1 + 1200*0,35 = 1095,5 |
| 17 | 895 | 1085 | 1275 | (895 + 1085 + 1275)/3 = 1085 | 895*0,55 + 1085*0,1 + 1275*0,35 = 1047 |
Сколько упаковок косметики следует производить фирме ежемесячно?
Выгодно производить 16 упаковок исходя из средней прибыли и 15 упаковок, учитывая вероятность продаж.
Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения?
1136,7 руб. исходя из средней прибыли и 1125 руб., учитывая вероятность продаж.
Сколько упаковок можно было бы производить при значительном продлении срока хранения косметической продукции?
При увеличении срока хранения продукции появляется возможность реализации всего произведенного объема продукции, т.е. сколько произвели, столько же и реализовали.
В этом случае уже выгодно производить 17 упаковок (они все равно реализуются).