Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Метод Брауна Системы массового обслуживания
Матрица рисков Седловая точка Платежная матрица Цена игры
Смешанные стратегии Матричная игра онлайн Чистые стратегии

Минимакс и максимакс

см. также критерии Вальда (минимаксный или максиминный).

Найти минимакс и максимакс (определить нижнюю и верхнюю границы игры).

Решаем через калькулятор. 1. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.
Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки B1B2B3B4a = min(Ai)
A15 0 6 8 0
A21 0 5 4 0
A37 9 6 5 5
A46 5 2 1 1
b = max(Bi ) 7 9 6 8 0

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 5, которая указывает на максимальную чистую стратегию A3.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 6.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 5 ≤ y ≤ 6. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).

2. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы.
Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью.
Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если aij ≥ akj для всех jЭ N и хотя бы для одного j aij > akj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) – доминирующая, k-я – доминируемая.
Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если для всех j Э M  aij ≤ ail и хотя бы для одного i aij < ail. В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю – доминируемой.
Стратегия A1 доминирует над стратегией A2 (все элемент строки 1 больше или равны значениям 2-ой строки), следовательно исключаем 2-ую строку матрицы.
Стратегия A3 доминирует над стратегией A4 (все элемент строки 3 больше или равны значениям 4-ой строки), следовательно исключаем 4-ую строку матрицы.

5 0 6 8
7 9 6 5
В платежной матрице отсутствуют доминирующие столбцы и доминирующие строки.
Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.
Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.

3. Находим решение игры в смешанных стратегиях.
Запишем систему уравнений.
Для игрока I
5p1+7p2 = y
+9p2 = y
6p1+6p2 = y
8p1+5p2 = y
p1+p2 = 1
Для игрока II
5q1+6q3+8q4 = y
7q1+9q2+6q3+5q4 = y
q1+q2+q3+q4 = 1

Перейти к онлайн решению своей задачи