Внутригрупповые дисперсии

Внутригрупповые дисперсии σ_i² объединяются в средней величине внутригрупповых дисперсий:

Пример. По данным приложения 1 с целью изучения зависимости между факторным и результативным признаками произведите аналитическую группировку с равными интервалами.
Цель исследований: На основе исходных данных, проанализируем, влияет ли общий стаж работы сотрудников предприятия на их заработную плату. В качестве инструмента решения будем использовать сервис Аналитическая группировка.

Данные группируются по признаку-фактору. Затем по каждой группе рассчитывается среднее значение. Задача состоит в том, чтобы увидеть, есть связь между признаками или нет; прямая связь или обратная; линейная или нелинейная.
Так как в основание группировки положен непрерывный количественный признак, то число групп определяют одновременно с размером интервала.
Когда совокупность единиц более или менее однородна (вариация по группировочному признаку мала), прибегают к равным интервалам, размер которых приближенно определяется по формуле Стэрджесса:
n = 1 + 3,2log n = 1 + 3,2log 30 = 6
Тогда ширина интервала составит:

Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал. Для этого сортируем ряд по возрастанию.

1	1 - 6	1
1	1 - 6	2
3	1 - 6	3
4	1 - 6	4
5	1 - 6	5
7	6 - 11	1
7	6 - 11	2
10	6 - 11	3
10	6 - 11	4
10	6 - 11	5
11	6 - 11	6
12	11 - 16	1
13	11 - 16	2
14	11 - 16	3
14	11 - 16	4
16	11 - 16	5
16	11 - 16	6
16	11 - 16	7
18	16 - 21	1
18	16 - 21	2
18	16 - 21	3
20	16 - 21	4
22	21 - 26	1
23	21 - 26	2
24	21 - 26	3
24	21 - 26	4
26	21 - 26	5
30	26 - 31	1
30	26 - 31	2
31	26 - 31	3

Аналитическая группировка представлена в таблице.

Группы	№	Кол-во, n	Общий стаж работы, ∑X	Средний стаж работы X = ∑X/n	Заработная плата за месяц, тыс. руб., ∑Y	Средняя заработная плата, Y=∑Y/n
1 - 6	1,2,3,4,5	5	14	2.8	5.6	1.12
6 - 11	6,7,8,9,10,11	6	55	9.17	8.7	1.45
11 - 16	12,13,14,15,16,17,18	7	101	14.43	10.6	1.51
16 - 21	19,20,21,22	4	74	18.5	6.3	1.58
21 - 26	23,24,25,26,27	5	119	23.8	8.5	1.7
26 - 31	28,29,30	3	91	30.33	6.1	2.03
Итого		30	454		45.8

По аналитической группировке измеряют связь при помощи эмпирического корреляционного отношения. Оно основан на правиле разложения дисперсии: общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий.
1. Находим средние значения каждой группы.

Общее средние значение для всей совокупности:

2. Дисперсия внутри группы при относительном постоянстве признака-фактора возникает за счет других факторов (не связанных с изучением). Эта дисперсия называется остаточной:

Расчет для группы: 1 - 6 (1,2,3,4,5)

y_j	(y_j- y_ср)²	Результат
0.9	(0.9 - 1.12)²	0.0484
0.9	(0.9 - 1.12)²	0.0484
1.3	(1.3 - 1.12)²	0.0324
1.2	(1.2 - 1.12)²	0.0064
1.3	(1.3 - 1.12)²	0.0324
Итого		0.17

Определим групповую (частную) дисперсию для 1-ой группы:

Расчет для группы: 6 - 11 (6,7,8,9,10,11)

y_j	(y_j- y₁)²	Результат
1.4	(1.4 - 1.45)²	0.0025
1.3	(1.3 - 1.45)²	0.0225
1.5	(1.5 - 1.45)²	0.0025
1.5	(1.5 - 1.45)²	0.0025
1.5	(1.5 - 1.45)²	0.0025
1.5	(1.5 - 1.45)²	0.0025
Итого		0.035

Определим групповую (частную) дисперсию для 2-ой группы:

Расчет для группы: 11 - 16 (12,13,14,15,16,17,18)

y_j	(y_j- y₂)²	Результат
1.6	(1.6 - 1.51)²	0.00735
1.7	(1.7 - 1.51)²	0.0345
1.7	(1.7 - 1.51)²	0.0345
1.4	(1.4 - 1.51)²	0.0131
1.4	(1.4 - 1.51)²	0.0131
1.4	(1.4 - 1.51)²	0.0131
1.4	(1.4 - 1.51)²	0.0131
Итого		0.13

Определим групповую (частную) дисперсию для 3-ой группы:

Расчет для группы: 16 - 21 (19,20,21,22)

y_j	(y_j- y₃)²	Результат
1.8	(1.8 - 1.58)²	0.0506
1.5	(1.5 - 1.58)²	0.00563
1.4	(1.4 - 1.58)²	0.0306
1.6	(1.6 - 1.58)²	0.000625
Итого		0.0875

Определим групповую (частную) дисперсию для 4-ой группы:

Расчет для группы: 21 - 26 (23,24,25,26,27)

y_j	(y_j- y₄)²	Результат
1.7	(1.7 - 1.7)²	0
1.7	(1.7 - 1.7)²	0
1.5	(1.5 - 1.7)²	0.04
1.8	(1.8 - 1.7)²	0.01
1.8	(1.8 - 1.7)²	0.01
Итого		0.06

Определим групповую (частную) дисперсию для 5-ой группы:

Расчет для группы: 26 - 31 (28,29,30)

y_j	(y_j- y₅)²	Результат
1.9	(1.9 - 2.03)²	0.0178
2	(2 - 2.03)²	0.00111
2.2	(2.2 - 2.03)²	0.0278
Итого		0.0467

Определим групповую (частную) дисперсию для 6-ой группы:

3. Внутригрупповые дисперсии объединяются в средней величине внутригрупповых дисперсий:

Средняя из частных дисперсий:

4. Межгрупповая дисперсия относится на счет изучаемого фактора, она называется факторной

δ² = ((1.12-1.53)²*5 + (1.45-1.53)²*6 + (1.51-1.53)²*7 + (1.58-1.53)²*4 + (1.7-1.53)²*5 + (2.03-1.53)²*3 + ...)/30 = 0.0598
Общая дисперсия по всей совокупности определяется по формуле сложения дисперсий: σ²=σ²_i+δ² = 0.0175+0.0598 = 0.0773
Проверим этот вывод путем расчета общей дисперсии обычным способом:

y_i	(y_i- y₆)²	Результат
0.9	(0.9 - 1.53)²	0.39
0.9	(0.9 - 1.53)²	0.39
1.3	(1.3 - 1.53)²	0.0514
1.2	(1.2 - 1.53)²	0.11
1.3	(1.3 - 1.53)²	0.0514
1.4	(1.4 - 1.53)²	0.016
1.3	(1.3 - 1.53)²	0.0514
1.5	(1.5 - 1.53)²	0.000711
1.5	(1.5 - 1.53)²	0.000711
1.5	(1.5 - 1.53)²	0.000711
1.5	(1.5 - 1.53)²	0.000711
1.6	(1.6 - 1.53)²	0.00538
1.7	(1.7 - 1.53)²	0.03
1.7	(1.7 - 1.53)²	0.03
1.4	(1.4 - 1.53)²	0.016
1.4	(1.4 - 1.53)²	0.016
1.4	(1.4 - 1.53)²	0.016
1.4	(1.4 - 1.53)²	0.016
1.8	(1.8 - 1.53)²	0.0747
1.5	(1.5 - 1.53)²	0.000711
1.4	(1.4 - 1.53)²	0.016
1.6	(1.6 - 1.53)²	0.00538
1.7	(1.7 - 1.53)²	0.03
1.7	(1.7 - 1.53)²	0.03
1.5	(1.5 - 1.53)²	0.000711
1.8	(1.8 - 1.53)²	0.0747
1.8	(1.8 - 1.53)²	0.0747
1.9	(1.9 - 1.53)²	0.14
2	(2 - 1.53)²	0.22
2.2	(2.2 - 1.53)²	0.45
Итого		2.32

Эмпирическое корреляционное отношение измеряет, какую часть общей колеблемости результативного признака вызывает изучаемый фактор. Это отношение факторной дисперсии к общей дисперсии:

Определяем эмпирическое корреляционное отношение:

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 < η < 0.3: слабая;
0.3 < η < 0.5: умеренная;
0.5 < η < 0.7: заметная;
0.7 < η < 0.9: высокая;
0.9 < η < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между заработной платой Y и стажем работника X высокая.
Коэффициент детерминации.

Определим коэффициент детерминации:

Вывод: Таким образом, на 77.33% вариация обусловлена различиями между признаками, а на 22.67% – другими факторами. Связь между заработной платой и стажем работника - высокая.

Внутригрупповые дисперсии

Правила ввода данных

Поиск

Процесс

Сообщение