Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Показатели вариации Доверительный интервал
Коэффициент Спирмена Коэффициент Фехнера Коэффициент Кендалла
Нелинейная регрессия Корреляционное отношение Построить распределение

Аналитическая группировка

Аналитическая группировка – группировка, выявляющая взаимосвязи между изучаемыми явлениями и их признаками.

Назначение сервиса. С помощью сервиса в онлайн режиме производится аналитическая группировка ряда (метод статистических группировок), по которой проводится дисперсионный анализ - вычисляются: общая дисперсия, межгрупповая и средняя из групповых дисперсий, а также коэффициент детерминации (см. пример). Результаты аналитической группировки также можно использовать для построения типологической группировки или комбинированной группировки.

Инструкция. Укажите вид исходных данных и количество строк, нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word.
Вид исходных данных
XY1Y2
22556
251012
314036
357075
489044
453093
Необходимо будет построить группировку
Xf1f2f3
120511
2251015
3304018
4357021
5409024
6453029
По существующей группировке рассчитать показатели

Количество строк
Количество результативных признаков:

Результаты аналитической группировки также используется для отбора значимых факторов для построения множественного уравнения регрессии.
Для построения типологической группировки можно использовать алгоритм К-средних.

Пример №1. По ряду предприятий получены данные, указанные в таблице (Среднесписочное число рабочих, чел.; основные средства, тыс. руб.; объем произведенной продукции за год, млн. руб.):

  1. Постройте ряд распределения предприятий по числу рабочих, образовав, пять групп с равными интервалами;
  2. Охарактеризуйте ряд числом рабочих, объемом произведенной продукции за год, объемом основных средств;
  3. Рассчитайте по полученным данным среднюю, модальную и медианную численность работников предприятий отрасли, показатели вариации.
Решение. Для решения п.2 необходимо будет использовать сервис "Аналитическая группировка". Решение состоит из двух шагов:
  1. скопировать два столбца: Среднесписочное число рабочих и Объем произведенной продукции (по каждой группе будет рассчитан объем произведенной продукции - столбец Y);
  2. скопировать два столбца: Среднесписочное число рабочих и Основные средства(по каждой группе будет рассчитан объем основных средств - столбец Y).

Алгоритм метода аналитической группировки

Всю совокупность признаков можно разделить на две группы: факторные и результативные. Факторными называются признаки, под воздействием которых меняются, другие результативные, признаки. Взаимосвязь проявляется в том, что с возрастанием значения факторного признака возрастает или убывает среднее значение результативного.
  1. Упорядочить совокупность данных по X.
  2. Найти ширину интервала h = (Xmax - Xmin)/n, где n - количество групп
  3. Образовать интервальный ряд, подсчитывая в каждую группу сумму значений Y.

Особенности аналитической группировки:

  1. в основу группировки кладется факторный признак;
  2. каждая выделенная группа характеризуется средними значениями результативного признака.

Пример №2. По данным таблицы 2 :
1) произвести группировку 40 коммерческих банков РФ по величине:
а) кредитных вложений;
б) объём вложений в ценные бумаги.
К каждой выделенной группе подберите 3-4 наиболее экономически связанных и существенных показателя, имеющихся в таблице, а также вычислите показатели в относительном выражении. Результаты группировки изложите в свободных таблицах и проанализируйте;
2) с помощью аналитической группировки проанализируйте зависимость величины прибыли от других экономических показателей, характеризующих деятельность 40 коммерческих банков. Результаты оформите в таблице. Сделайте выводы;
3) проведите комбинационную группировку 40 коммерческих банков по двум признакам: величине кредитных вложений и объему вложений в ценные бумаги.
Проанализируйте полученную группировку. Сделайте выводы.

Решение:

Описание параметров
Количество строк: количество исходных данных. Если размерность ряда небольшая, укажите его количество. Если выборка достаточно объемная, то нажмите кнопку Вставить из Excel. Скопируйте из Excel два столбца (первый столбец - первичный признак для группировки, второй столбец - вторичный).
Количество групп: 0 – число групп будет определяться по формуле Стэрджесса.
Если задано конкретное число групп, укажите его (например, 5).

Проанализируем зависимость величины прибыли от объёма вложений в ценные бумаги. Вставляем из Excel следующие данные: первый столбец - значения прибыли, второй столбец – значения объёма вложений в ценные бумаги.

Пример №3. Имеются данные о заработной плате рабочих бригады за месяц.

Табельный номер рабочего12345678
Процент выполнения норм выработки110,8102,0111,0107,8106,4109,0100,0105,0
Заработная плата за месяц, руб.1173010800123001440011550119401020011100
Требуется для выявления зависимости заработной платы рабочих от процента выполнения норм выработки произвести аналитическую группировку рабочих бригады по проценту выполнения норм выработки, выделив три группы: а) рабочие, выполняющие норму до 105,0%; б) рабочие, выполняющие норму от 105% до 110%; в) рабочие, выполняющие норму на 110% и более.
На основе выполненной группировки построить групповую таблицу.
Сформулировать выводы.

Метод статистических группировок в изучении производственных показателей

Задание №1: Имеются следующие данные по группе промышленных предприятий за отчетный год:
Таблица №1
№ предприятия Среднегодовая стоимость основных средств, млрд. руб Прибыль, млн. руб.
1 10 13,5
2 22,8 136,2
3 18,4 97,6
4 12,6 44,4
5 22 146
6 19 110,4
7 21,6 138,7
8 9,4 30,6
9 19,4 111,8
10 13,6 49,6
11 17,6 105,8
12 8,8 30,7
13 14 64,8
14 10,2 33,3
Выполнить группировку предприятий по среднегодовой стоимости основных средств. Для этого сформировать интервальный ряд, пользуясь формулой Стерджесса. По каждой группе и в целом по всем предприятиям определить: число предприятий, среднегодовую стоимость основных средств в целом на группу и в среднем на одно предприятие, прибыль в целом на группу и в среднем на одно предприятие. Результаты группировки представить в виде аналитической таблицы. Озаглавить ее. Сформулировать выводы.

Решение:
1. Для решения подобных задач служит сервис «Аналитическая группировка». Первым шагом необходимо будет ввести исходные данные. Возможны два способа ввода: вручную и вставкой из Excel. Если данных очень много, рекомендуем воспользоваться вторым способом. В данном примере используем именно этот способ, поэтому поле «Количество строк» не заполняем.
2. Поскольку в задании имеется требование о применении формулы Стерджесса, то поле «Количество групп» оставляем без изменений (значение 0).
3. Нажимаем кнопку «Вставить из Excel». Появится страница следующего вида (рис. 1):

Ввод исходных данных через Excel
Рисунок 1 – Ввод исходных данных через Excel

4. Вставляем наши данные в поле для ввода.

Вставка данных из Excel
Рисунок 2 – Вставка данных из Excel

5. Нажимаем кнопку «Далее», получаем заполненные исходные данные для обработки:



Рисунок 3 – Заполненные исходные данные для обработки

6. Получаем решение в формате Word (скачать).
Группировка строится на основе следующей таблицы.
Таблица №2

8.8

8.8 - 11.8

1

9.4

8.8 - 11.8

2

10

8.8 - 11.8

3

10.2

8.8 - 11.8

4

12.6

11.8 - 14.8

1

13.6

11.8 - 14.8

2

14

11.8 - 14.8

3

17.6

14.8 - 17.8

1

18.4

17.8 - 20.8

1

19

17.8 - 20.8

2

19.4

17.8 - 20.8

3

21.6

20.8 - 23.8

1

22

20.8 - 23.8

2

22.8

20.8 - 23.8

3

Например, значения 8.8, 9.4, 10, 10.2 входят в группу [8.8 - 11.8] и их общее количество равно четырем. Сумма их равна 38.4 (8.8+9.4+10+10.2). Для этой же группы суммарная прибыль составит 108.1 млн. руб.(30.7+30.6+33.3+13.5).

Дадим интерпретацию полученным результатам.

Таблица №3

Группы

∑X Кол-во, n Xcp = ∑X / n ∑Y Ycp = ∑Y / n

8.8 - 11.8

38.4 4 9.6 108.1 27.03

11.8 - 14.8

40.2 3 13.4 158.8 52.93

14.8 - 17.8

17.6 1 17.6 105.8 105.8

17.8 - 20.8

56.8 3 18.93 319.8 106.6

20.8 - 23.8

66.4 3 420.9 140.3 42.93

14 1113.4

Здесь ∑X – сумма среднегодовой стоимости основных средств, значения которых лежат в заданных пределах, млрд. руб.;
n – количество предприятий в каждой группе;
∑Y – сумма прибыли, значения которых лежат в заданных пределах, млн. руб.

7. Какие показатели можно рассчитать на основе полученных данных? Обычно это отношение столбцов 4 и 6. Например, если разделить значения столбца 4 на значения столбца 6, то получим, сколько основных фондов (руб.) приходится на 1 рубль прибыли.
Кроме этого, можно сказать о предварительной взаимосвязи анализируемых показателей, нанеся средние значения Хср и Ycp на график.


Рисунок 4 – График для X, Y (определение связи)

Судя по графику, можно судить о прямой зависимости, т.е. чем больше Х (стоимость основных фондов), тем больше Y (средняя прибыль на группу).

Примечание:
Иногда в задачах требуется сгруппировать данные из трех столбцов. Пусть имеется следующая таблица.

№ предприятия Среднегодовая стоимость основных средств, млрд. руб Прибыль, млн. руб. Валовая продукция,

млн. руб.

1 10 13,5 13,5
2 22,8 136,2 136,2
3 18,4 97,6 97,6
4 12,6 44,4 44,4
5 22 146 146
6 19 110,4 110,4
7 21,6 138,7 138,7
8 9,4 30,6 30,6
9 19,4 111,8 111,8
10 13,6 49,6 49,6
11 17,6 105,8 105,8
12 8,8 30,7 30,7
13 14 64,8 64,8
14 10,2 33,3 33,3
Требуется сгруппировать прибыль и валовую продукцию по основным фондам. Для этого:
а) получаем решение для столбцов «Среднегодовая стоимость основных средств» и «Прибыль»;
б) получаем решение для столбцов «Среднегодовая стоимость основных средств» и «Валовая продукция»;
в) объединяем решения.

Задание №2. Имеются отчетные данные 22 заводов одной из отраслей промышленности, приведенные в приложении А. С целью изучения зависимости между среднегодовой стоимостью основных производственных фондов (Ф) и выпуском валовой продукции (ВП) произведите группировку заводов по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, образовав, пять групп заводов с равными интервалами. По каждой группе и совокупности подсчитайте:
а) число заводов, построив для этого табл. 1.2;
б) среднегодовую стоимость основных производственных фондов, всего и в среднем на один завод;
в) стоимость валовой продукции на один рубль основных производственных фондов (фондоотдачу).

Решение.
1. Нажимаем кнопку Вставить из Excel. Копируем два столба (первый столбец - среднегодовая стоимость основных производственных фондов, второй столбец - выпуск валовой продукции) в поле ввода.
2. Число заводов будет подсчитано в третьем столбце таблицы (см. таблицу №3).
3. Среднегодовая стоимость основных производственных фондов (всего) - во втором столбце (∑X); в среднем на один завод - в четвертом столбце (∑X/n).
4. Стоимость валовой продукции на один рубль основных производственных фондов (фондоотдача) - необходимо будет найти отношение четвертого столбца к шестому ([Xср]/[Yср]).

Задание №3. За отчетный период имеются следующие данные об электровооруженности труда и выработке продукции рабочими завода: Электровооруженность труда одного рабочего, кВт/ч; Выработка продукции на одного рабочего, млн. руб.
Для изучения зависимости между электровооруженностью труда и выработкой продукции сгруппируйте рабочих по электровооруженности труда, образовав четыре группы с равными интервалами. По каждой группе и в целом по совокупности рабочих подсчитайте:
1) число рабочих;
2) среднюю электровооруженность труда рабочих;
3) среднюю выработку продукции на одного рабочего.
Результаты представьте в таблице. Дайте анализ показателей и сделайте выводы.

Решение.
Указываем Количество групп: 4. Нажимаем кнопку Вставить из Excel.
В отчете в таблице будут указаны:
1) число рабочих (столбец №3, n);
2) средняя электровооруженность труда рабочих (столбец №4, Xср);
3) средняя выработка продукции на одного рабочего(столбец №6, Yср).

Пример №2. Имеются следующие выборочные данные за отчетный период по предприятиям одной из корпораций (выборка 10%-ная, механическая):

№ предприятия Среднесписочная численность работников, чел. Объем выпуска продукции, млн руб. № предприятия Среднесписочная численность работников, чел Объем выпуска продукции, млн руб.
1 221 426,45 16 232 466,94
2 156 391,95 17 108 273,33
3 225 436,54 18 264 561,22
4 251 499,75 19 122 315,67
5 265 581,42 20 150 358,20
6 158 356,20 21 199 381,80
7 120 269,20 22 242 459,20
8 190 444,72 23 293 597,13
9 253 430,42 24 178 368,44
10 179 360,21 25 227 483,34
11 267 512,42 26 308 716,20
12 304 654,32 27 266 551,83
13 191 461,61 28 307 689,35
14 201 395,82 29 211 475,90
15 110 256,20 30 189 450,22

Задание 2
По исходным данным с использованием результатов выполнения задания 1:
1) установите наличие и характер корреляционной связи между признаками «среднесписочная численность работников» и «объем выпуска продукции», используя метод аналитической группировки;
2) оцените силу и тесноту корреляционной связи между названными признаками, используя коэффициент детерминации, эмпирическое корреляционное отношение;
3) оцените статистическую значимость показателя силы связи. Сделайте выводы по результатам выполнения задания.

Решение. Задачу выполняем с помощью калькулятора метод аналитической группировки.
Ширина интервала составит:


Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал. Для этого сортируем ряд по возрастанию.

108 108 - 148 1
110 108 - 148 2
120 108 - 148 3
122 108 - 148 4
150 148 - 188 1
156 148 - 188 2
158 148 - 188 3
178 148 - 188 4
179 148 - 188 5
189 188 - 228 1
190 188 - 228 2
191 188 - 228 3
199 188 - 228 4
201 188 - 228 5
211 188 - 228 6
221 188 - 228 7
225 188 - 228 8
227 188 - 228 9
232 228 - 268 1
242 228 - 268 2
251 228 - 268 3
253 228 - 268 4
264 228 - 268 5
265 228 - 268 6
266 228 - 268 7
267 228 - 268 8
293 268 - 308 1
304 268 - 308 2
307 268 - 308 3
308 268 - 308 4
Аналитическая группировка.
Группы Кол-во, nj ∑X Xcp = ∑Xj / nj ∑Y Ycp = ∑Yj / nj
108 - 148 1,2,3,4 4 460 115 1114.4 278.6
148 - 188 5,6,7,8,9 5 821 164.2 1835 367
188 - 228 10,11,12,13,14,15,16,17,18 9 1854 206 3956.4 439.6
228 - 268 19,20,21,22,23,24,25,26 8 2040 255 4063.2 507.9
268 - 308 27,28,29,30 4 1212 303 2657 664.25
Итого 30 6387 13626
По аналитической группировке измеряют связь при помощи эмпирического корреляционного отношения. Оно основано на правиле разложения дисперсии: общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий.
1. Находим средние значения каждой группы.





Общее средние значение для всей совокупности:

2. Дисперсия внутри группы при относительном постоянстве признака-фактора возникает за счет других факторов (не связанных с изучением). Эта дисперсия называется остаточной:

Расчет для группы: 108 - 148 (1,2,3,4)
yj (yj - yср)2 Результат
273.33 (273.33 - 278.6)2 27.77
256.2 (256.20 - 278.6)2 501.76
269.2 (269.20 - 278.6)2 88.36
315.67 (315.67 - 278.6)2 1374.18
Итого 1992.08
Определим групповую (частную) дисперсию для 1-ой группы:

Расчет для группы: 148 - 188 (5,6,7,8,9)
yj (yj - yср)2 Результат
358.2 (358.20 - 367)2 77.44
391.95 (391.95 - 367)2 622.5
356.2 (356.20 - 367)2 116.64
368.44 (368.44 - 367)2 2.07
360.21 (360.21 - 367)2 46.1
Итого 864.76
Определим групповую (частную) дисперсию для 2-ой группы:

Расчет для группы: 188 - 228 (10,11,12,13,14,15,16,17,18)
yj (yj - yср)2 Результат
450.22 (450.22 - 439.6)2 112.78
444.72 (444.72 - 439.6)2 26.21
461.61 (461.61 - 439.6)2 484.44
381.8 (381.80 - 439.6)2 3340.84
395.82 (395.82 - 439.6)2 1916.69
475.9 (475.90 - 439.6)2 1317.69
426.45 (426.45 - 439.6)2 172.92
436.54 (436.54 - 439.6)2 9.36
483.34 (483.34 - 439.6)2 1913.19
Итого 9294.13
Определим групповую (частную) дисперсию для 3-ой группы:

Расчет для группы: 228 - 268 (19,20,21,22,23,24,25,26)
yj (yj - yср)2 Результат
466.94 (466.94 - 507.9)2 1677.72
459.2 (459.20 - 507.9)2 2371.69
499.75 (499.75 - 507.9)2 66.42
430.42 (430.42 - 507.9)2 6003.15
561.22 (561.22 - 507.9)2 2843.02
581.42 (581.42 - 507.9)2 5405.19
551.83 (551.83 - 507.9)2 1929.84
512.42 (512.42 - 507.9)2 20.43
Итого 20317.47
Определим групповую (частную) дисперсию для 4-ой группы:

Расчет для группы: 268 - 308 (27,28,29,30)
yj (yj - yср)2 Результат
597.13 (597.13 - 664.25)2 4505.09
654.32 (654.32 - 664.25)2 98.6
689.35 (689.35 - 664.25)2 630.01
716.2 (716.20 - 664.25)2 2698.8
Итого 7932.51
Определим групповую (частную) дисперсию для 5-ой группы:

3. Внутригрупповые дисперсии объединяются в средней величине внутригрупповых дисперсий:

Средняя из частных дисперсий:

4. Межгрупповая дисперсия относится на счет изучаемого фактора, она называется факторной

δ2 = ((278.6-454.2)2*4 + (367-454.2)2*5 + (439.6-454.2)2*9 + (507.9-454.2)2*8 + (664.25-454.2)2*4)/30 = 12094.42
Определяем общую дисперсию по всей совокупности, используя правило сложения дисперсий:

σ2 = 1346.7 + 12094.42 = 13441.12
Проверим этот вывод путем расчета общей дисперсии обычным способом:
yi (yi - yср)2 Результат
273.33 (273.33 - 454.2)2 32713.96
256.2 (256.20 - 454.2)2 39204
269.2 (269.20 - 454.2)2 34225
315.67 (315.67 - 454.2)2 19190.56
358.2 (358.20 - 454.2)2 9216
391.95 (391.95 - 454.2)2 3875.06
356.2 (356.20 - 454.2)2 9604
368.44 (368.44 - 454.2)2 7354.78
360.21 (360.21 - 454.2)2 8834.12
450.22 (450.22 - 454.2)2 15.84
444.72 (444.72 - 454.2)2 89.87
461.61 (461.61 - 454.2)2 54.91
381.8 (381.80 - 454.2)2 5241.76
395.82 (395.82 - 454.2)2 3408.22
475.9 (475.90 - 454.2)2 470.89
426.45 (426.45 - 454.2)2 770.06
436.54 (436.54 - 454.2)2 311.88
483.34 (483.34 - 454.2)2 849.14
466.94 (466.94 - 454.2)2 162.31
459.2 (459.20 - 454.2)2 25
499.75 (499.75 - 454.2)2 2074.8
430.42 (430.42 - 454.2)2 565.49
561.22 (561.22 - 454.2)2 11453.28
581.42 (581.42 - 454.2)2 16184.93
551.83 (551.83 - 454.2)2 9531.62
512.42 (512.42 - 454.2)2 3389.57
597.13 (597.13 - 454.2)2 20428.98
654.32 (654.32 - 454.2)2 40048.01
689.35 (689.35 - 454.2)2 55295.52
716.2 (716.20 - 454.2)2 68644
Итого 403233.56

Эмпирическое корреляционное отношение измеряет, какую часть общей колеблемости результативного признака вызывает изучаемый фактор. Это отношение факторной дисперсии к общей дисперсии:

Определяем эмпирическое корреляционное отношение:

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 < η < 0.3: слабая;
0.3 < η < 0.5: умеренная;
0.5 < η < 0.7: заметная;
0.7 < η < 0.9: высокая;
0.9 < η < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между признаком Y фактором X весьма высокая
Коэффициент детерминации.

Определим коэффициент детерминации:

Таким образом, на 89.98% вариация обусловлена различиями между признаками, а на 10.02% – другими факторами.

Скачать в формате Word

Пример. По данным приложения 1 с целью изучения зависимости между факторным и результативным признаками произведите аналитическую группировку с равными интервалами.
По каждой группе и по совокупности предприятий подсчитайте:

Результаты представьте в статистической таблице.