Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Найти производную Найти интеграл Формула Байеса
Система СВ X,Y Уравнение регрессии Проверка гипотезы
Корреляционная таблица Формула Бернулли Математическое ожидание

Геометрическое распределение

В геометрическом распределении опыты в схеме Бернулли проводятся до первого успеха, с вероятностью успеха р в единичном опыте.
Примерами таких величин могут быть:
Ряд геометрического распределения ДСВ имеет вид:
X 1 2 3 m
p p qp q2p qm-1p

Вероятности образуют геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, имеющей геометрическое распределение с параметром р, равны:

Гипергеометрическое распределение

Дискретная случайная величина имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, k, m, если она принимает значения 0, 1, 2, ... с вероятностями .
Гипергеометрическое распределение имеет случайная величина Х, равная числу объектов, обладающих заданным свойством, среди m объектов, случайно извлеченных (без возврата) из совокупности n объектов, k из которых обладают этим свойством.
Например:
Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей гипергеометрическое распределение, и ее дисперсия равны:

Пример №1. В урне 2 белых и 3 черных шара. Шары наудачу достают из урны без возвращения до тех пор, пока не появится белый шар. Как только это произойдет, процесс прекращается. Составить таблицу распределения случайной величины X – числа произведенных опытов, найти F(x), P(X ≤ 2), M(X), D(X).·
Решение: Обозначим через А – появление белого шара. Опыт может быть проведен только один раз, если белый шар появится сразу:. Если же в первый раз белый шар не появился, а появился при втором извлечении, то X=2. Вероятность такого события равна . Аналогично: , , . Запишем данные в таблицу:


X

1

2

3

4

P

0,4

0,3

0,2

0,1

НайдемF(x):

Найдем P(X ≤ 2) = P(X = 1 или X = 2) = 0,4 + 0,3 = 0,7
M(X) = 1 · 0,4 + 2 · 0,3 +3 · 0,2 + 4 · 0,1 = 2.
D(X) = (1-2)2 · 0,4 + (2-2)2 · 0,3 +(3-2)2 · 0,2 + (4-2)2 · 0,1 = 1.

Пример №2. В ящике содержится 11 деталей, среди которых 5 бракованных. Сборщик наудачу извлекает 4 деталей.
1. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей: a) 4 бракованных; b) одна бракованная; c) две бракованные; d) хотя бы одна бракованная.
2. Составить закон распределения случайной величины X– числа бракованных деталей среди извлеченных.
3. Найти M(X), D(X), σ(X).
4. Вычислить P(1<X<4)
Решение:
1. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей:
a) 4 бракованных;

b) одна бракованная;
Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 4 детали из 11:

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию (среди 4 деталей ровно 1 деталь дефектная):

Остальные 3 детали можно выбрать из 7:

Следовательно, число благоприятствующих исходов равно: 5*20 = 100
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов: P(1) = 100/330 = 0,303
c) две бракованные;

d) хотя бы одна бракованная.
Вероятность того, что нет дефектных деталей. X = 0.

Тогда вероятность того, что хотя бы одна бракованная составит:
P = 1 – P(0) = 1 – 0,0455 = 0,95

2. Составим закон распределения P(x), X -числа бракованных деталей среди извлеченных.
Найдем вероятность появления трех бракованных изделий.


X

0

1

2

3

4

P

0,0455

0,303

0,4545

0,182

0,015

2. Найдем M(X), D(X), σ(X).
Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 0*0.0455 + 1*0.303 + 2*0.4545 + 3*0.182 + 4*0.015 = 1.818
Дисперсию находим по формуле d = ∑x2ipi - M[x]2.
Дисперсия D[X].
D[X] = 02*0.0455 + 12*0.303 + 22*0.4545 + 32*0.182 + 42*0.015 - 1.8182 = 0.694
Среднее квадратическое отклонение σ(x).

3. Вычислим P(1<X<4). Для этого найдем функцию распределения F(X).
F(x≤0) = 0
F(0< x ≤1) = 0.0455
F(1< x ≤2) = 0.303 + 0.0455 = 0.349
F(2< x ≤3) = 0.455 + 0.349 = 0.803
F(3< x ≤4) = 0.182 + 0.803 = 0.985
F(x>4) = 1
Вероятность попадания СВ в тот ли иной интервал находится по формуле:
P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a)
Найдем вероятность того, что СВ будет находиться в интервале 1 ≤ X < 4
P(1 ≤ X < 4) = F(4) - F(1) = 0.985 - 0.0455 = 0.9395

Пример №3. В партии 7 деталей 3 бракованные. Контролер наудачу достает 4 детали. Составить закон распределения случайной величины Х – числа годных деталей в выборке. Найти математическое ожидание и дисперсию Х. Построить график функции распределения.
Всего исправных деталей: 7-3 = 4
1. Найдем вероятность того, что среди выбранных 4 деталей одна исправная.
Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 4 детали из 7:

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию:

а) одну деталь среди 4 годных можно выбрать способами, количество которых равно:

б) Остальные 3 бракованные детали можно выбрать из 3 бракованных:

Аналогично:
2. Найдем вероятность того, что среди выбранных 4 деталей 2 исправных.



3. Найдем вероятность того, что среди выбранных 4 деталей 3 исправных.



4. Найдем вероятность того, что все выбранные детали годные.

x

1

2

3

4

p

0.114

0.514

0.343

0.029


Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 1*0.114 + 2*0.514 + 3*0.343 + 4*0.029 = 2.287
Дисперсию находим по формуле d = ∑x2ipi - M[x]2.
Дисперсия D[X].
D[X] = 12*0.114 + 22*0.514 + 32*0.343 + 42*0.029 - 2.2872 = 0.491
Среднее квадратическое отклонение σ(x).