Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Найти производную Найти интеграл Формула Байеса
Система СВ X,Y Уравнение регрессии Проверка гипотезы
Корреляционная таблица Формула Бернулли Математическое ожидание

Геометрическая вероятность

Формула P(A)=m/n теряет смысл, если число всех равновозможных несовместных случаев неограниченo (образует бесконечное множество). Однако возможно иногда всей совокупности бесконечных равновозможных несовместных случаев дать количественную характеристику S в некоторых мерах длины, площади, объема, времени и так далее, а части этой совокупности, благоприятствующей наступлению рассматриваемого события A — характеристику Sб в тех же мерах. Тогда вероятность появления события A определяется соотношением:

Пример №1. Из промежутка [0; 2] наудачу выбраны два числа x и y. Найдите вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам x2 ≤ 4y ≤ 4x.
Решение. Испытание состоит в случайном выборе из промежутка [0; 2] пары чисел x и y. Будем это интерпретировать как выбор наудачу точки M(x;y) из множества всех точек квадрата, сторона которого равна двум. Рассмотрим фигуру Ф, представляющую собой множество всех точек квадрата, координаты которых удовлетворяют системе неравенств x2 ≤ 4y ≤ 4x. Интересующее событие происходит тогда и только тогда, когда выбранная точка M(x;y) принадлежит фигуре Ф.

По формуле (8) искомая вероятность равна отношению площади фигуры Ф к площади квадрата:

Пример №2. Двое договорились о встрече в определенном месте. Каждый из них приходит в условленное место независимо друг от друга в случайный момент времени из [0;T] и ожидает не более чем время . Какова вероятность встречи на таких условиях?

Решение. Обозначим через x время прихода первого в условленное место, а через y — время прихода туда второго лица. Из условия вытекает, что x и y независимо друг от друга пробегают промежуток времени [0;T]. Испытание состоит в фиксации времени прихода указанных лиц к месту встречи. Тогда пространство элементарных исходов данного испытания интерпретируется как совокупность всех точек M(x;y) квадрата Ω={(x;y) : 0 ≤ x ≤ T, 0 ≤ y ≤ T}. Интересующее нас событие A — “встреча произошла” наступает в том и только том случае, когда выбранная точка M(x;y) окажется внутри фигуры Ф, представляющей собой множество всех точек квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенству |x – y| ≤ t. По формуле (8) искомая вероятность
представляет собой отношение площади фигуры Ф к площади квадрата Ω:


Анализируя полученный в этой задаче результат, видим, что с возрастанием увеличивается вероятность встречи. Пусть, например, T = 1 час, t = 20 мин, тогда , то есть чаще чем в половине случаев встречи будут происходить, если многократно договариваться на указанных выше условиях.

Пример №3. На отрезке l наугад выбраны две точки.
P(0<k<l) - ? , вероятность того, что расстояние между ними меньше k-l

Пример №4. В круг радиуса r случайным образом брошена точка так, что любое ее расположение в круге равновозможно. Найти вероятность того, что она окажется внутри находящегося в круге квадрата со стороной a.
Решение. Вероятность того, что точка окажется внутри лежащего в круге квадрата со стороной а будет равна отношению площади квадрат к площади круга.
Площадь квадрата: Sкв = a2.
Площадь круга: S = πr2
Тогда вероятность составит: p = Sкв / S = a2 / πr2

см. также Площадь треугольника

Пример №5. С промежутке [0, 4] выбирают наугад два действительных числа. Найдите вероятность того, что их сумма будет больше 4, а произведение - меньше 4.
Решение.
Всего чисел 5: 0,1,2,3,4. Вероятность их появления p=1/5 = 0.2
а) вероятность того, что их сумма будет больше 4
Всего количество таких исходов равно 8:
1+4, 2+3, 2+4, 3+4 и 4+1, 3+2, 4+2, 4+3
P = 0.2*0.2*8 = 0.32
б) произведение - меньше 4.
Всего количество таких исходов равно 13:
0*1, 0*2, 0*3, 0*4, 1*1, 1*2,1*3 и 1*0, 2*0, 3*0, 4*0, 2*1, 3*1
P = 0.2*0.2*13 = 0.52

Задачи для самостоятельного решения
4.3. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 45-м и 50-м километром линии? (Вероятность обрыва провода в любом месте считать одинаковой).
Ответ: 1/6.

4.4. В круг радиуса r наугад брошена точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в данный круг правильного треугольника.
Ответ:

4.5. Найдите вероятность того, что сумма двух случайно выбранных чисел из промежутка [-1; 1] больше нуля, а их произведение отрицательно.
Ответ: 0;25.

4.6. Во время боевой учебы н-ская эскадрилья бомбардировщиков получила задание атаковать нефтебазу “противника”. На территории нефтебазы, имеющей форму прямоугольника со сторонами 30 и 50 м, находятся четыре круглых нефтебака диаметром 10 м каждый. Найдите вероятность прямого поражения нефтебаков бомбой, попавшей на территорию нефтебазы, если попадание бомбы в любую точку этой базы равновероятно.
Ответ: π/15.

4.7. Два действительных числа x и y выбираются наудачу так, что сумма их квадратов меньше 100. Какова вероятность, что сумма квадратов этих чисел окажется больше 64?
Ответ: 0;36.

4.8. Двое друзей условились встретиться между 13 и 14 часами. Пришедший первым ждет второго в течение 20 минут, после чего уходит. Определите вероятность встречи друзей, если моменты их прихода в указанном промежутке времени равновозможны.
Ответ: 5/9.

4.9. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов равновозможно в течение данных суток. Определите вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода равно одному часу, а второго — двум часам.
Ответ: ≈ 0;121.

4.10. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает двух. Найдите вероятность того, что произведение x · y будет не больше единицы, а частное y/x не больше двух.
Ответ: ≈ 0;38.

4.11. В области G, ограниченной эллипсоидом , наудачу зафиксирована точка. Какова вероятность того, что координаты (x; y; z) этой точки будут удовлетворять неравенству x2+y2+z2≤4?
Ответ: 1/3.

4.12. В прямоугольник с вершинами R(-2;0), L(-2;9), M (4;9), N (4;0) брошена точка. Найдите вероятность того, что ее координаты будут удовлетворять неравенствам 0 ≤ y ≤ 2x – x2+8.
Ответ: 2/3.

4.13. Область G ограничена окружностью x2 + y2 = 25, а область g — этой окружностью и параболой 16x - 3y2 > 0. Найдите вероятность попадания в область g.
Ответ: ≈ 0;346.

4.14. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает единицы. Найдите вероятность того, что сумма x + y не превышает единицы, а произведение x · y не меньше 0,09.
Ответ: ≈ 0;198.