Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Найти производную Найти интеграл Формула Байеса
Система СВ X,Y Уравнение регрессии Проверка гипотезы
Корреляционная таблица Формула Бернулли Математическое ожидание

Последовательность независимых опытов

Производятся испытания, в каждом из которых может появиться событие A или событие . Если вероятность события A в одном испытании не зависит от появления его в любом другом, то испытания называются независимыми относительно события A. Будем считать, что испытания происходят в одинаковых условиях и вероятность появления события A в каждом испытании одна и та же. Обозначим эту вероятность через p, а вероятность появления события через q (q = 1 - p).
Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие A появится ровно k раз (и не появится n - k раз ), обозначим через Pn(k), тогда

где

Формула называется формулой Бернулли.
Число k0, которому при заданном n соответствует максимальная вероятность Pn(k0), называется наивероятнейшим числом появления события A. При заданных n и p это число определяется неравенствами



Вероятность того, что в n опытах схемы Бернулли событие A появится от k1 до k2 раз (0 ≤ k1 ≤ k2 ≤ n), обозначим через Pn(k1 ≤ k ≤ k2), тогда

Вероятность Pn(1 ≤ k ≤ n) того, что в n опытах событие A появится хотя бы один раз, определяется формулой

Вероятность того, что в n испытаниях событие A наступит:
а) менее k раз, находят по формуле

б) более k раз:

в) не менее k раз:

г) не более k раз, соответственно

Если , то удобнее перейти к противоположному событию.
Формулу Бернулли применяют, когда число испытаний n ≤ 10. В случае, когда число испытаний n достаточно велико, на практике пользуются локальной и интегральной теоремами Лапласа.