Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Метод Брауна Системы массового обслуживания
Матрица рисков Седловая точка Платежная матрица Цена игры
Смешанные стратегии Матричная игра онлайн Чистые стратегии

Задача по теории игр

Задание. Предприятие рассматривает три стратегии сбыта своей продукции. Продукция может реализовываться на близких к производству рынках сбыта (стратегия A1), может отправляться в крупные мегаполисы страны (стратегия A2), а также возможен экспорт товаров (стратегия A3). Прибыль предприятия зависит от конъюнктуры рынка данных изделий. К моменту начала продаж рынок может оказаться в одном из двух состояний (B1 и B2). Прибыль, которую получает предприятие при каждом варианте сбыта и соответствующем состоянии спроса, определяется матрицей:
B1 B2
A1 6 8
A2 12 6
A3 14 6

Найти процентное соотношение вариантов сбыта продукции, обеспечивающее среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса.
Решение:
Игроки B1 B2 a = min(Ai)
A1 6 8 6
A2 12 6 6
A3 14 6 6
b = max(Bi) 14 8

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 6, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 8.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 6 <= y <= 8. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии)
Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:
1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии B1, правый - стратегии B2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2).
2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии B1. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии B2.
Решение игры (m x 2) проводим с позиции игрока B, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.
Максиминной оптимальной стратегии игрока B соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых A1A1 и A3A3, для которых можно записать следующую систему уравнений:
y = 6 + (8 - 6)q2
y = 14 + (6 - 14)q2
Откуда
q1 = 1/5
q2 = 4/5
Цена игры, y = 73/5
Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока A, записав соответствующую систему уравнений, исключив стратегию A2, которая дает явно больший проигрыш игроку A, и, следовательно, p2 = 0.
6p1+14p3 = y
8p1+6p3 = y
p1+p3 = 1
или
6p1+14p3 = 73/5
8p1+6p3 = 73/5
p1+p3 = 1
Решая эту систему методом обратной матрицы, находим:
p1 = 4/5
p3 = 1/5
Задача по теории игр - процентное соотношение вариантов сбыта продукции

Ответ: Цена игры: y = 73/5, векторы стратегии игроков: P(4/5, 0, 1/5), Q(1/5, 4/5)
Таким образом, для первой стратегии необходимо реализовывать 4/5 от всей продукции, или 80%, для третьей стратегии – 1/5 или 20%.