Игры с природой. Пример решения задачи

Фирма производит платья и костюмы, реализация которых зависит от состояния погоды. Затраты фирмы в течение апреля-мая на единицу продукции составят: платья – 5 ден. ед., костюмы – 25 ден. ед. Цена реализации составит 10 ден. ед. и 40 ден. ед. соответственно. По данным наблюдений за несколько предыдущих лет фирма может реализовать в условиях теплой погоды 1 220 платьев и 550 костюмов, при прохладной погоде – 410 платьев и 930 костюмов. В связи с возможными изменениями погоды определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую ей максимальный доход. Задачу решить графическим методом и с использованием критерия Гурвица, приняв степень оптимизма 0,4.
Решение. У фирмы две стратегии: A1: выпустить продукцию, считая, что погода будет теплой; A2: выпустить продукцию, считая, что погода будет прохладной.
У природы две стратегии: B1: погода теплая; B2: погода прохладная.
Найдем элементы платежной матрицы:
1) a11 – доход фирмы при выборе стратегии A1 при условии B1:
a11 = (10-5)*1220+(40-25)*550 = 14350
2) a12 – доход фирмы при выборе A1 при условии B2. Фирма выпустит 1220 платьев, а продаст 410, доход от реализации платьев
a12 = (10-5)*410-5*(1220-410)+(40-25)*550=6250
3) аналогично при стратегии A2 в условиях B1 фирма выпустит 930 костюмов, а продаст 550;
a21 = (10-5)*410+(40-25)*550-25*(930-550)=800
4) a22 = (10-5)*410+(40-25)*930=16000
Платежная матрица: .

Далее решаем через калькулятор. Рассмотрим игру двух лиц, интересы которых противоположны. Такие игры называют антагонистическими играми двух лиц. В этом случае выигрыш одного игрока равен проигрышу второго, и можно описать только одного из игроков.
Чистой стратегией игрока I (производитель) является выбор одной из n строк матрицы выигрышей А, а чистой стратегией игрока II (природа) является выбор одного из столбцов этой же матрицы.

1. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.
Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки B1 B2 a = min(Ai)
A1 14350 6250 6250
A2 800 16000 800
b = max(Bi) 14350 16000

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 6250, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 14350.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 6250 ≤ y ≤ 14350. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии).
Так как игроки выбирают свои чистые стратегии случайным образом, то выигрыш игрока I будет случайной величиной. В этом случае игрок I должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы получить максимальный средний выигрыш.
Аналогично, игрок II должен выбрать свои смешанные стратегии так, чтобы минимизировать математическое ожидание игрока I.

3. Находим решение игры в смешанных стратегиях.
Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:
1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A1, правый - стратегии A2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2).
2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A1. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A2.
Решение игры (2xn) проводим с позиции игрока A, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.

Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B1B1 и B2B2, для которых можно записать следующую систему уравнений:
y = 14350 + (800 - 14350)p2
y = 6250 + (16000 - 6250)p2
Откуда
p1 = 152/233 = 0,652
p2 = 81/233 = 0,348
Цена игры, y = 2246000/233
Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений
14350q1+6250q2 = y
800q1+16000q2 = y
q1+q2 = 1
или
14350q1+6250q2 = 9639113/233
800q1+16000q2 = 9639113/233
q1+q2 = 1
Решая эту систему, находим:
q1 = 195/466.
q2 = 271/466.
Ответ:
Цена игры: y = 2246000/233 = 9639.49, векторы стратегии игроков:
Q(195/466, 271/466), P(152/233, 81/233)
Таким образом, если придерживаться стратегии на 65%, что погода будет теплой, это обеспечит максимальный доход в размере 9640 ден.ед. Оптимальный план производства швейных изделий составит: 0.652 (1 220; 550) + 0.348 (410; 930) = (938.4; 682.1). Таким образом, фирме целесообразно производить в течение апреля-мая 938 платьев и 682 костюма, тогда при любой погоде она получит доход не менее 9 639.485 ден.ед.
4. Проверим правильность решения игры с помощью критерия оптимальности стратегии.
∑aijqj ≤ v
∑aijpi ≥ v
M(P1;Q) = (14350•195/466) + (6250•271/466) = 9639.485 = v
M(P2;Q) = (800•195/466) + (16000•271/466) = 9639.485 = v
M(P;Q1) = (14350•152/233) + (800•81/233) = 9639.485 = v
M(P;Q2) = (6250•152/233) + (16000•81/233) = 9639.485 = v
Все неравенства выполняются как равенства или строгие неравенства, следовательно, решение игры найдено верно.

В условиях неопределённости, если не представляется возможным фирме использовать смешанную стратегию (договоры с другими организациями), для определения оптимальной стратегии фирмы используем критерии природы и платежную матрицу (1).
Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:
max(si), где si = y min(aij) + (1-y)max(aij)
Рассчитываем si.
s1 = 0.4•6250+(1-0.4)•14350 = 11110
s2 = 0.4•800+(1-0.4)•16000 = 9920

Ai П1 П2 min(aij) max(aij) y min(aij) + (1-y)max(aij)
A1 14350 6250 6250 14350 11110
A2 800 16000 800 16000 9920

Выбираем из (11110; 9920) максимальный элемент max=11110
Вывод: выбираем стратегию N=1.
Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A1 (выпустить продукцию, считая, что погода будет теплой).

см. также решение задачи про запасы сырья.

Задать вопрос или оставить комментарий Помощь в решении Поиск Поддержать проект