Оптимальная стратегия предприятия
Задача 3. Дана задача выпуклого программирования. Требуется: 1) Найти решение графическим методом, 2) Написать функцию Лагранжа данной задачи и найти ее седловую точку, используя решение задачи, полученное графически.(x1-7)2+(x2-1)2 → min
7x1+4x2≤43
5x1-x2≥-4
x1-2x2≤1
x1≥0,x2≥0
Задача 8. Швейное предприятие реализует свою продукцию через магазин. Сбыт зависит от состояния погоды. В условиях теплой погоды предприятие реализует а костюмов и b платьев, а при прохладной погоде – d костюмов и c платьев. Затраты на изготовление одного костюма равны zb рублям, а платья – za рублям, цена реализации соответственно равна pb рублей и pa рублей.
Определить оптимальную стратегию предприятия.
Задача заключается в максимизации средней величины дохода от реализации выпущенной продукции, учитывая капризы погоды. Фабрика располагает в этих ситуациях двумя следующими стратегиями: в расчете на теплую погоду (стратегия А); в расчете на холодную погоду (стратегия В).
Если предприятие примет стратегию А, т.е. продукция, соответствующая теплой погоде (стратегия природы С), будет полностью реализована, то доход фабрики в этой ситуации составит:
AC = a(pb - zb) +b(pa - za)
Если продажа осуществляется в условиях прохладной погоды (стратегия природы D), то костюмы будут проданы полностью, а платья только в количестве c шт. Доход предприятия в данном случае составит:
AD = a(pb - zb) + c(pa - za) - (b - c) • za
Аналогично, определим доход предприятия в случае применения им стратегии В. Для условий теплой погоды доход фабрики определяется суммой:
BC = a(pb - zb) + c(pa - za) - (d - a) • zb
Применение той же стратегии, но в условиях холодной погоды, приведет к другим результатам:
BD = d(pb - zb) + c(pa - za)
| Игроки | P2 (Природа) | ||
| P1 (Производитель) | Стратегии | Стратегия C | Стратегия D |
| Стратегия A | AC | AD | |
| Стратегия B | BC | BD | |
Задача 4. В таблице приведена платежная матрица антагонистической игры двух лиц с нулевой суммой. Найдите оптимальные стратегии игроков и цену игры. Далее осуществить перевод в задачу линейного программирования и решить симплекс методом.
Пример. Определить производственную программу предприятия в условиях риска и неопределённости для фирмы-производителя медикаментов и биомедицинских изделий в регионе. Известно, что на летний период приходится пик спроса на лекарственные препараты сердечно-сосудистой группы и анальгетики, на осенний и весенний периоды – на препараты антиинфекционной группы.
Затраты на 1 усл. ед. продукции за сентябрь-октябрь составили: по первой группе (препараты сердечно-сосудистые и анальгетики) – 20 р.; по второй группе (антиинфекционные препараты) – 15 р.
Маркетинговые исследования позволили установить, что фирма может реализовать в течение этих месяцев в условиях теплой погоды 3050 усл. ед. продукции первой группы и 1100 усл. ед. продукции второй группы; в условиях холодной погоды – 1525 усл. ед. продукции первой группы и 3690 усл. ед. второй группы.
В связи с возможными изменениями погоды ставится задача – определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую максимальный доход от реализации при цене продажи 40 р. за 1 усл. ед. продукции первой группы и 30 р. – второй группы.
Решение
Устанавливается две стратегии:
А1– в этом году будет теплая погода;
А2– погода будет холодная.
Если фирма примет стратегию А1 и в действительности будет теплая погода (стратегия природы B1), то выпущенная продукция (3050 усл. ед. препаратов первой группы и 1100 усл. ед. второй группы) будет полностью реализована и доход составит
3050 × (40 – 20) +1100 × (30 – 15) = 77 500 р.
В условиях холодной погоды (стратегия природы В2) препараты второй группы будут проданы полностью, а первой группы только в количестве 1525 усл. ед. и часть препаратов останется нереализованной. Доход составит
1525 × (40 – 20) + 1100 × (30 – 15) – 20 × (3050 – 1525) = 16500 р.
Аналогично, если фирма примет стратегию А2 и в действительности будет холодная погода, то доход составит
1525 × (40 – 20) + 3690 × (30 – 15) = 85 850 р.
При теплой погоде доход составит
1525 × (40 – 20) + 1100 × (30 – 15) – (3690 – 1100) × 15 = 8150 р.
Рассматривая фирму и погоду в качестве двух игроков, получим платежную матрицу:
| В1 | В2 | |
| А1 | 77 500 | 16 500 |
| А2 | 8 150 | 85 850 |
a = max(16 500, 8150) = 16 500 р.,
b = min(77 500, 85 850) = 77 500 р.
Цена игры лежит в диапазоне 16 500 р. ≤ n ≤ 77 500 р.
Из платежной матрицы (1) видно, что при всех условиях доход фирмы будет не меньше 16 500 р., но если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то доход фирмы может составить 77 500 р.
Найдём решение игры графическим методом (2 ´n).
Для этого обозначаем вероятность применения фирмой стратегии А1через x1, стратегии А2 – через х2, причём x2= 1 – х1.
Ожидаемые выигрыши рассчитываются по платёжной матрице (1), в которой доходы обозначаются как коэффициенты aij.
| 2 игрок – "Природа" | ||||
| В1 | В2 | |||
| 1 игрок (производитель) | А1 | x1 | a11 | a12 |
| А2 | x2= 1 – х1 | a21 | a22 | |
При этом ожидаемые выигрыши первого игрока (производителя) в зависимости от стратегии второго игрока (состояния "Природы") рассчитываются по зависимостям:
· для 1-й стратегии – (a11– a12)х1 + a21;
· для 2-й стратегии – (a12– a22)х1 + a22.
Следовательно, для платёжной матрицы (1)
| Стратегии 2-го игрока | Ожидаемые выигрыши 1-го игрока |
| 1 | (77 500 – 8 150) × x1 + 8 150 = 69 350 ×x1 + 8 150 |
| 2 | (16 500 – 85 850) × x1 + 85 850 = –69 350 × x1 + 85 850 |