Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Метод Брауна Системы массового обслуживания
Матрица рисков Седловая точка Платежная матрица Цена игры
Смешанные стратегии Матричная игра онлайн Чистые стратегии

Оптимальная стратегия предприятия

Задача 3. Дана задача выпуклого программирования. Требуется: 1) Найти решение графическим методом, 2) Написать функцию Лагранжа данной задачи и найти ее седловую точку, используя решение задачи, полученное графически.
(x1-7)2+(x2-1)2 → min
7x1+4x2≤43
5x1-x2≥-4
x1-2x2≤1
x1≥0,x2≥0

Задача 8. Швейное предприятие реализует свою продукцию через магазин. Сбыт зависит от состояния погоды. В условиях теплой погоды предприятие реализует а костюмов и b платьев, а при прохладной погоде – d костюмов и c платьев. Затраты на изготовление одного костюма равны zb рублям, а платья – za рублям, цена реализации соответственно равна pb рублей и pa рублей.
Определить оптимальную стратегию предприятия.

Задача заключается в максимизации средней величины дохода от реализации выпущенной продукции, учитывая капризы погоды. Фабрика располагает в этих ситуациях двумя следующими стратегиями: в расчете на теплую погоду (стратегия А); в расчете на холодную погоду (стратегия В).
Если предприятие примет стратегию А, т.е. продукция, соответствующая теплой погоде (стратегия природы С), будет полностью реализована, то доход фабрики в этой ситуации составит:
AC = a(pb - zb) +b(pa - za)
Если продажа осуществляется в условиях прохладной погоды (стратегия природы D), то костюмы будут проданы полностью, а платья только в количестве c шт. Доход предприятия в данном случае составит:
AD = a(pb - zb) + c(pa - za) - (b - c) • za
Аналогично, определим доход предприятия в случае применения им стратегии В. Для условий теплой погоды доход фабрики определяется суммой:
BC = a(pb - zb) + c(pa - za) - (d - a) • zb
Применение той же стратегии, но в условиях холодной погоды, приведет к другим результатам:
BD = d(pb - zb) + c(pa - za)

Игроки P2 (Природа)
P1 (Производитель) Стратегии Стратегия C Стратегия D
Стратегия A AC AD
Стратегия B BC BD
Далее задача решается с помощью данного сервиса (в условиях неопределённости). Если необходимо найти цену игры и определить чистые или смешанные стратегии, то используется решение матричной игры. см. также смешанный вариант решения.

Задача 4. В таблице приведена платежная матрица антагонистической игры двух лиц с нулевой суммой. Найдите оптимальные стратегии игроков и цену игры. Далее осуществить перевод в задачу линейного программирования и решить симплекс методом.

Пример. Определить производственную программу предприятия в условиях риска и неопределённости для фирмы-производителя медикаментов и биомедицинских изделий в регионе. Известно, что на летний период приходится пик спроса на лекарственные препараты сердечно-сосудистой группы и анальгетики, на осенний и весенний периоды – на препараты антиинфекционной группы.
Затраты на 1 усл. ед. продукции за сентябрь-октябрь составили: по первой группе (препараты сердечно-сосудистые и анальгетики) – 20 р.; по второй группе (антиинфекционные препараты) – 15 р.
Маркетинговые исследования позволили установить, что фирма может реализовать в течение этих месяцев в условиях теплой погоды 3050 усл. ед. продукции первой группы и 1100 усл. ед. продукции второй группы; в условиях холодной погоды – 1525 усл. ед. продукции первой группы и 3690 усл. ед. второй группы.
В связи с возможными изменениями погоды ставится задача – определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую максимальный доход от реализации при цене продажи 40 р. за 1 усл. ед. продукции первой группы и 30 р. – второй группы.

Решение
Устанавливается две стратегии:
А1– в этом году будет теплая погода;
А2– погода будет холодная.
Если фирма примет стратегию А1 и в действительности будет теплая погода (стратегия природы B1), то выпущенная продукция (3050 усл. ед. препаратов первой группы и 1100 усл. ед. второй группы) будет полностью реализована и доход составит
3050 × (40 – 20) +1100 × (30 – 15) = 77 500 р.

В условиях холодной погоды (стратегия природы В2) препараты второй группы будут проданы полностью, а первой группы только в количестве 1525 усл. ед. и часть препаратов останется нереализованной. Доход составит
1525 × (40 – 20) + 1100 × (30 – 15) – 20 × (3050 – 1525) = 16500 р.

Аналогично, если фирма примет стратегию А2 и в действительности будет холодная погода, то доход составит
1525 × (40 – 20) + 3690 × (30 – 15) = 85 850 р.

При теплой погоде доход составит
1525 × (40 – 20) + 1100 × (30 – 15) – (3690 – 1100) × 15 = 8150 р.
Рассматривая фирму и погоду в качестве двух игроков, получим платежную матрицу:

  В1 В2
А1 77 500 16 500
А2 8 150 85 850

a = max(16 500, 8150) = 16 500 р.,
b = min(77 500, 85 850) = 77 500 р.
Цена игры лежит в диапазоне 16 500 р. ≤ n ≤ 77 500 р.

Из платежной матрицы (1) видно, что при всех условиях доход фирмы будет не меньше 16 500 р., но если погодные условия совпадут с выбранной стратегией, то доход фирмы может составить 77 500 р.
Найдём решение игры графическим методом (2 ´n).
Для этого обозначаем вероятность применения фирмой стратегии А1через x1, стратегии А2 – через х2, причём x2= 1 – х1.
Ожидаемые выигрыши рассчитываются по платёжной матрице (1), в которой доходы обозначаются как коэффициенты aij.

  2 игрок – "Природа"
  В1 В2
1 игрок (производитель) А1 x1 a11 a12
А2 x2= 1 – х1 a21 a22

При этом ожидаемые выигрыши первого игрока (производителя) в зависимости от стратегии второго игрока (состояния "Природы") рассчитываются по зависимостям:
· для 1-й стратегии – (a11– a121 + a21;
· для 2-й стратегии – (a12– a221 + a22.

Следовательно, для платёжной матрицы (1)

Стратегии 2-го игрока Ожидаемые выигрыши 1-го игрока
1 (77 500 – 8 150) × x1 + 8 150 = 69 350 ×x1 + 8 150
2 (16 500 – 85 850) × x1 + 85 850 = –69 350 × x1 + 85 850