Общее решение (О.Р.) и Ф.С.Р. однородной СЛАУ

Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса:

.
Первый метод решения. Запишем систему в виде расширенной матрицы:

1	-3	4
2	1	-1
11	-12	17

Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	-7	9
2	1	-1
11	-12	17

Умножим 2-ую строку на (11). Умножим 3-ую строку на (-2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	-7	9
0	35	-45
11	-12	17

Умножим 1-ую строку на (5). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	0
0	35	-45
11	-12	17

Теперь общее решение системы можно записать как:
x₂ = [5 - ( - 45x₃)]/35
x₁ = [3 - ( - 12x₂ + 17x₃)]/11
Необходимо переменную x₃ принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.
Приравняем переменную x₃ к 0
Из 2-ой строки выражаем x₂

Из 3-ой строки выражаем x₁

Частное решение системы: (0.43; 0.14; 0).

Второй метод решения. Запишем систему в виде расширенной матрицы:

1	-3	4
2	1	-1
11	-12	17

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

11	-12	17
2	1	-1
1	-3	4

Работаем со столбцом №1
Умножим 2-ую строку на (k = -1 / 2 = ^-1/₂) и добавим к 3-ой:

11	-12	17	3
2	1	-1	1
0	^-7/₂	⁹/₂	³/₂

Умножим 1-ую строку на (k = -2 / 11 = ^-2/₁₁) и добавим к 2-ой:

11	-12	17	3
0	³⁵/₁₁	^-45/₁₁	⁵/₁₁
0	^-7/₂	⁹/₂	³/₂

Работаем со столбцом №2
Умножим 2-ую строку на (k = ⁷/₂ / ³⁵/₁₁ = ¹¹/₁₀) и добавим к 3-ой:

11	-12	17	3
0	³⁵/₁₁	^-45/₁₁	⁵/₁₁
0	0	0	2

Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:

1	^-12/₁₁	¹⁷/₁₁
0	1	^-9/₇
0	0	0

³/₁₁

¹/₇

Теперь исходную систему можно записать как:
x₁ = ³/₁₁ - ( - ¹²/₁₁x₂ + ¹⁷/₁₁x₃)
x₂ = ¹/₇ - ( - ⁹/₇x₃)
3-ая строка является линейной комбинацией других строк.
Необходимо переменную x₃ принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.
Приравняем переменную x₃ к 0
Из 2-ой строки выражаем x₂

Из 1-ой строки выражаем x₁

7. Найти О.Р. (общее решение) и Ф.С.Р. однородной СЛАУ:
.
Выпишем основную матрицу системы:

2	-1	5	7
4	2	7	5
2	-1	1	-5
x₁	x₂	x₃	x₄

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	-4	3	9
4	2	7	5
2	-1	1	-5

Умножим 3-ую строку на (-2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	-4	3	9
0	4	5	15
2	-1	1	-5

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	8	24
0	4	5	15
2	-1	1	-5

Найдем ранг матрицы.

0	0	8	24
0	4	5	15
2	-1	1	-5

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 3.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x₁,x₂,x₃, значит, неизвестные x₁,x₂,x₃ – зависимые (базисные), а x₄ – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

0	0	8	-24
0	4	5	-15
2	-1	1	5

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
8x₃ = - 24x₄
4x₂ + 5x₃ = - 15x₄
2x₁ - x₂ + x₃ = 5x₄
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x₁,x₂,x₃ через свободные x₄, то есть нашли общее решение:
x₃ = - 3x₄
x₂ = 0
x₁ = 4x₄

8. Найти О.Р. (общее решение) неоднородной СЛАУ:
.
Решение. Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли. Выпишем расширенную и основную матрицы:

2	3	1	2	3
4	6	3	4	5
6	9	5	6	7
8	12	7	1	9
x₁	x₂	x₃	x₄

Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	-1	0	1
4	6	3	4	5
6	9	5	6	7
8	12	7	1	9

В матрице B 1-й и 2-й столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один. Для системы это означает перенос членов с x₁ в правую часть уравнений.

0	-1	0	1	0
6	3	4	5	-4
9	5	6	7	-6
12	7	1	9	-8
x₂	x₃	x₄		x₁

Умножим 2-ую строку на (9). Умножим 3-ую строку на (-6). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	-1	0	1	0
0	-3	0	3	0
9	5	6	7	-6
12	7	1	9	-8

В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.

0	-3	0	3	0
9	5	6	7	-6
12	7	1	9	-8

Умножим 2-ую строку на (12). Умножим 3-ую строку на (-9). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	-3	0	3	0
0	-3	63	3	0
12	7	1	9	-8

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	-63	0	0
0	-3	63	3	0
12	7	1	9	-8

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x₂,x₃,x₄, значит, неизвестные x₂,x₃,x₄ – зависимые (базисные), а x₁ – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

0	0	-63	0	0
0	-3	63	3	0
12	7	1	9	-8

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
- 63x₄ = 0
- 3x₃ + 63x₄ = 3
12x₂ + 7x₃ + x₄ = 9 - 8x₁
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x₂,x₃,x₄ через свободные x₁, то есть нашли общее решение:
x₄ = 0
x₃ = - 1
x₂ = 1.33 - 0.67x₁
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.

Пример. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
.
Решение. Исходная матрица имеет вид:

2	-2
6	-5

Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(2-λ)x₁-2x₂ = 0
6x₁ + (-5-λ)x₂ = 0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его.

2-λ	-2
6	-5-λ

Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.
((2-λ)•(-5-λ)-6•(-2)) = 0
После преобразований, получаем:
λ² +3λ + 2 = 0
D = 3² - 4 • 1 • 2 = 1

3x₁-2y₁ = 0
6x₁-4y₁ = 0
Собственный вектор, отвечающий числу λ₁ = -1 при x₁ = 2:
x₁=(2;3)
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор: