Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Ранг матрицы Метод Крамера Умножение матриц
Определитель матрицы Метод обратной матрицы Обратная матрица
Метод Гаусса онлайн LU разложение матрицы Производная онлайн

Общее решение (О.Р.) и Ф.С.Р. однородной СЛАУ

Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса:
.
Первый метод решения. Запишем систему в виде расширенной матрицы:
1-34
21-1
11-1217
2
1
3
Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
0-79
21-1
11-1217
3
1
3
Умножим 2-ую строку на (11). Умножим 3-ую строку на (-2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0-79
035-45
11-1217
3
5
3
Умножим 1-ую строку на (5). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
000
035-45
11-1217
20
5
3
Теперь общее решение системы можно записать как:
x2 = [5 - ( - 45x3)]/35
x1 = [3 - ( - 12x2 + 17x3)]/11
Необходимо переменную x3 принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.
Приравняем переменную x3 к 0
Из 2-ой строки выражаем x2

Из 3-ой строки выражаем x1

Частное решение системы: (0.43; 0.14; 0).

Второй метод решения. Запишем систему в виде расширенной матрицы:

1-34
21-1
11-1217
2
1
3
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
11-1217
21-1
1-34
3
1
2
Работаем со столбцом №1
Умножим 2-ую строку на (k = -1 / 2 = -1/2) и добавим к 3-ой:
11 -12 17 3
2 1 -1 1
0-7/29/23/2
Умножим 1-ую строку на (k = -2 / 11 = -2/11) и добавим к 2-ой:

11 -12 17 3
035/11-45/115/11
0-7/29/23/2
Работаем со столбцом №2
Умножим 2-ую строку на (k = 7/2 / 35/11 = 11/10) и добавим к 3-ой:

11 -12 17 3
035/11-45/115/11
0 0 0 2
Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:
1-12/1117/11
01-9/7
000
3/11
1/7
2
Теперь исходную систему можно записать как:
x1 = 3/11 - ( - 12/11x2 + 17/11x3)
x2 = 1/7 - ( - 9/7x3)
3-ая строка является линейной комбинацией других строк.
Необходимо переменную x3 принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.
Приравняем переменную x3 к 0
Из 2-ой строки выражаем x2

Из 1-ой строки выражаем x1

7. Найти О.Р. (общее решение) и Ф.С.Р. однородной СЛАУ:
.
Выпишем основную матрицу системы:

2-157
4275
2-11-5
x1x2x3x4
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
0-439
4275
2-11-5
Умножим 3-ую строку на (-2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0-439
04515
2-11-5
Добавим 2-ую строку к 1-ой:
00824
04515
2-11-5
Найдем ранг матрицы.
00824
04515
2-11-5
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 3.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2,x3, значит, неизвестные x1,x2,x3 – зависимые (базисные), а x4 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
008-24
045-15
2-115
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
8x3 = - 24x4
4x2 + 5x3 = - 15x4
2x1 - x2 + x3 = 5x4
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2,x3 через свободные x4, то есть нашли общее решение:
x3 = - 3x4
x2 = 0
x1 = 4x4

8. Найти О.Р. (общее решение) неоднородной СЛАУ:
.
Решение. Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли. Выпишем расширенную и основную матрицы:

23123
46345
69567
812719
x1x2x3x4
Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
00-101
46345
69567
812719
В матрице B 1-й и 2-й столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один. Для системы это означает перенос членов с x1 в правую часть уравнений.

0-10 1 0
634 5 -4
956 7 -6
1271 9 -8
x2 x3 x4 x1
Умножим 2-ую строку на (9). Умножим 3-ую строку на (-6). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0-1010
0-3030
9567-6
12719-8
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
0-3030
9567-6
12719-8
Умножим 2-ую строку на (12). Умножим 3-ую строку на (-9). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0-3030
0-36330
12719-8
Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
00-6300
0-36330
12719-8
Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x2,x3,x4, значит, неизвестные x2,x3,x4 – зависимые (базисные), а x1 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
00-6300
0-36330
12719-8
Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
- 63x4 = 0
- 3x3 + 63x4 = 3
12x2 + 7x3 + x4 = 9 - 8x1
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x2,x3,x4 через свободные x1, то есть нашли общее решение:
x4 = 0
x3 = - 1
x2 = 1.33 - 0.67x1
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.

Пример. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
.
Решение. Исходная матрица имеет вид:

2-2
6-5
Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(2-λ)x1-2x2 = 0
6x1 + (-5-λ)x2 = 0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его.
2-λ-2
6-5-λ
Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.
((2-λ)•(-5-λ)-6•(-2)) = 0
После преобразований, получаем:
λ2 +3λ + 2 = 0
D = 32 - 4 • 1 • 2 = 1


3x1-2y1 = 0
6x1-4y1 = 0
Собственный вектор, отвечающий числу λ1 = -1 при x1 = 2:
x1=(2;3)
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор:


или

Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ2 = -2, находим из системы:
4x1-2y1 = 0
6x1-3y1 = 0
x2=(1;2)

или

Пример. Задана матрица A линейного преобразования в некотором базисе , , . Найдите матрицу этого преобразования в базисе , , , если :
,


Скачать решение