Т-критерий Вилкоксона

Критерий применяется для сопоставления показателей, измеренных в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых.
Он позволяет установить не только направленность изменений, но и их выраженность. С его помощью определяется, является ли сдвиг показателей в каком-то одном направлении более интенсивным, чем в другом.
Инструкция. Укажите количество исходных данных. Полученное решение сохраняется в файле Word.
Количество строк (исходных данных)

Этот критерий применим в тех случаях, когда признаки измерены по крайней мере по шкале порядка, и сдвиги между вторым и первым замерами тоже могут быть упорядочены. Для этого они должны варьировать в достаточно широком диапазоне. В принципе, можно применять критерий Т и в тех случаях, когда сдвиги принимают только три значения: -1, 0 и +1, но тогда критерий Т вряд ли добавит что-нибудь новое к тем выводам, которые можно было бы получить с помощью критерия знаков. Вот если сдвиги изменяются, скажем, от -30 до +45, тогда имеет смысл их ранжировать и потом суммировать ранги.
Суть метода состоит в сопоставлении выраженности сдвигов в том и ином направлениях по абсолютной величине. Для этого сначала ранжируются все абсолютные величины сдвигов, а потом суммируются ранги. Если сдвиги в положительную и в отрицательную сторону происходят случайно, то суммы рангов абсолютных значений их будут примерно равны. Если же интенсивность сдвига в одном из направлений перевешивает, то сумма рангов абсолютных значений сдвигов в противоположную сторону будет значительно ниже, чем это могло бы быть при случайных изменениях.
Первоначально исходят из предположения о том, что типичным сдвигом будет сдвиг в более часто встречающемся направлении, а нетипичным, или редким, сдвигом– сдвиг в более редко встречающемся направлении.

Гипотезы.
H0: Интенсивность сдвигов в типичном направлении не превосходит интенсивности сдвигов в нетипичном направлении.
H1: Интенсивность сдвигов в типичном направлении превышает интенсивность сдвигов в нетипичном направлении.

Ограничения в применении Т-критерия Вилкоксона

  1. Минимальное количество испытуемых, прошедших измерения в двух условиях – 5 человек. Максимальное количество испытуемых– 50 человек, что диктуется верхней границей имеющихся таблиц.
  2. Нулевые сдвиги из рассмотрения исключаются, и количество наблюденийn уменьшается на количество этих нулевых сдвигов. Можно обойти это ограничение, сформулировав гипотезы, включающие отсутствие изменений, например: "Сдвиг в сторону увеличения значений превышает сдвиг в сторону уменьшения значений и тенденцию сохранения их на прежнем уровне".

Алгоритм подсчета Т-критерия Вилкоксона

  1. Составить список испытуемых в любом порядке, например, алфавитном.
  2. Вычислить разность между индивидуальными значениями во втором и первом замерах ("после" – "до"). Определить, что будет считаться"типичным" сдвигом и сформулировать соответствующие гипотезы.
  3. Перевести разности в абсолютные величины и записать их отдельным столбцом (иначе трудно отвлечься от знака разности).
  4. Проранжировать абсолютные величины разностей, начисляя меньшему значению меньший ранг. Проверить совпадение полученной суммы рангов с расчетной.
  5. Отметить кружками или другими знаками ранги, соответствующие сдвигам в"нетипичном" направлении.
  6. Подсчитать сумму этих рангов по формуле: Т=∑R{\\sub r}, где R{\\sub r} – ранговые значения сдвигов с более редким знаком.
  7. Определить критические значения Т для данного n по таблице.
    Если Тэмп. меньше или равен Ткр., сдвиг в"типичную" сторону по интенсивности достоверно преобладает.
Пример. Для проверки эффективности новой развивающей программы были созданы две группы детей шестилетнего возраста. Одна группа(экспериментальная) занималась по новой программе,  вторая(контрольная) – по старой. После эксперимента дети обеих групп были протестированы по методике Керна-Йерасика(школьная зрелость). Результаты тестирования по вербальной шкале занесены в таблицу. Можно ли сделать заключение об эффективности новой программы и ее преимуществе перед старой.
№ исп. эксп. контр.
1 14 13
2 13 13
3 11 14
4 8 12
5 12 14
6 13 14
7 13 12
8 13 13
9 11 15
10 12 13
11 14 11
12 13 12
13 12 14
14 14 9
15 10 14

Решение. Для подсчета этого критерия нет необходимости упорядочивать ряды значений по нарастанию признака.
Первый шаг в подсчете T-критерия – вычитание каждого индивидуального значения "до" из значения"после".

До измерения, tдо После измерения, tпосле Разность (tдо-tпосле) Абсолютное значение разности
14 13 -1 1
13 13 0 0
11 14 3 3
8 12 4 4
12 14 2 2
13 14 1 1
13 12 -1 1
13 13 0 0
11 15 4 4
12 13 1 1
14 11 -3 3
13 12 -1 1
12 14 2 2
14 9 -5 5
10 14 4 4

Так как в матрице имеются связанные ранги (одинаковый ранговый номер) 1-го ряда, произведем их переформирование. Переформирование рангов производиться без изменения важности ранга, то есть между ранговыми номерами должны сохраниться соответствующие соотношения (больше, меньше или равно). Также не рекомендуется ставить ранг выше 1 и ниже значения равного количеству параметров (в данном случае n = 15). Переформирование рангов производится в табл.
Номера мест в упорядоченном ряду Расположение факторов по оценке эксперта Новые ранги
1 0 1.5
2 0 1.5
3 1 5
4 1 5
5 1 5
6 1 5
7 1 5
8 2 8.5
9 2 8.5
10 3 10.5
11 3 10.5
12 4 13
13 4 13
14 4 13
15 5 15

Гипотезы.
H0: Показатели после проведения опыта превышают значения показателей до эксперимента.
H1: Показатели после проведения опыта меньше значений показателей до эксперимента.
До измерения, tдо После измерения, tпосле Разность (tдо-tпосле) Абсолютное значение разности Ранговый номер разности
14 13 -1 1 5
13 13 0 0 1.5
11 14 3 3 10.5
8 12 4 4 13
12 14 2 2 8.5
13 14 1 1 5
13 12 -1 1 5
13 13 0 0 1.5
11 15 4 4 13
12 13 1 1 5
14 11 -3 3 10.5
13 12 -1 1 5
12 14 2 2 8.5
14 9 -5 5 15
10 14 4 4 13
Сумма 120

Сумма по столбцу рангов равна ∑=120
Проверка правильности составления матрицы на основе исчисления контрольной суммы:

Сумма по столбцу и контрольная сумма равны между собой, значит, ранжирование проведено правильно.
Теперь отметим те направления, которые являются нетипичными, в данном случае – отрицательными. В Таблице эти направления и соответствующие им ранги выделены цветом. Сумма рангов этих «редких» направлений составляет эмпирическое значение критерия Т:
T=∑Rt=5+5+10.5+5+15=40.5
По таблице Приложения находим критические значения для Т-критерия Вилкоксона для n=15:
Tкр=19 (p≤0.01)
Tкр=30 (p≤0.05)
Зона значимости в данном случае простирается влево, действительно, если бы "редких", в данном случае положительных, направлений не было совсем, то и сумма их рангов равнялась бы нулю.
В данном же случае эмпирическое значение Т попадает в зону незначимости: Тэмпкр(0,05).
Гипотеза H0 отвергается. Показатели после эксперимента не превышают значения показателей до опыта.

Критерий Вилкоксона для независимых выборок

Этот критерий используется для проверки однородности двух независимых выборок x1,x2,…,xn1 и y1,y2,…,yn2. Он применяется к случайным величинам, распределения которых неизвестны, но являются непрерывными.
Основная гипотеза имеет вид H0: F1(x)=F2(x) а альтернативная гипотеза может быть левосторонней, правосторонней или двусторонней.
При использовании критерия Вилкоксона все вычисления проводятся не для самих наблюдаемых значений xi,yi а для их рангов. Ранг — это порядковый номер наблюдения в данной выборке, если наблюдаемые значения расположить по возрастанию.
Последовательность действий при проверке гипотезы однородности с помощью критерия Вилкоксона следующая:
1) составляем объединение выборок x1,x2,…,xn1 и y1,y2,…,yn2.
2) находим ранги объединенной выборки (обозначим ранги первой выборки r1,r2,..,rn1 а ранги второй - s1,s2,..,sn2)
3) вычисляем наблюдаемое значение статистики Вилкоксона равную сумме рангов второй выборки.
Если распределение второй выборки сдвинуто вправо относительно первой (альтернативная гипотеза H1: F1(x)<F2(x) то статистика K будет принимать значения, большие критического Kkp=K(n1,n2;α) и гипотеза H0 отвергается в пользу альтернативы H1
Если рассматривается альтернатива H1: F1(x)≠F2(x) то гипотеза H0 отвергается, если выполняется одно из двух условий: Kнабл>Kkp=K(n1,n2;α/2) или Kнабл=n2(n2+n1+1)-K(n1,n2;α/2).

Пример №2. В биохимическом исследовании, проведенном методом меченных атомов, по результатам изучения 7 препаратов опытной группы получены следующие показания счетчика импульсов (в импульсах в минуту): 340, 343, 322, 332, 320, 313, 304. Результаты контрольной группы: 318, 321, 318, 301, 312.
Можно ли считать, что полученные значения опытной и контрольной групп различны α=0.05.

Решение. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы.
H0: F1(x)=F2(x) — выборки однородны; различия в результатах опытной и контрольной групп можно отнести на счет случайных воздействий.
H1: F1(x)≠F2(x) - выборки извлечены из генеральных совокупностей с разными распределениями; различие между контрольной и опытной группами существенно.
Объединим выборки и расположим полученные данные в порядке возрастания: — здесь подчеркнуты элементы второй выборки (контрольной группы). Занумеровав все элементы в порядке возрастания, получим ранговую последовательность: — подчеркнуты ранги контрольной группы.
Наблюдаемое значение статистики Вилкоксона равно
Kнабл=1+3+5,5+5,5+8=23
Критическая область является двусторонней, ее правая граница при α=0.1
,
левая граница
Клев= n2(n2+n1+1)-Kпр=5*14-44=26.
Наблюдаемое значение попадает в критическую область: Kнабл< Клев поэтому основная гипотеза отвергается в пользу альтернативной.
Итак, на уровне значимости 0.1 можно утверждать, что разница между показаниями счетчика в контрольной и опытной группах существенна.

Критические точки критерия Вилкоксона при α=0.05

n2 n1
5 7 9 10
5 36 44 51 54

Табличные значения T-критерия Вилкоксона

В таблице указаны критические значения T-критерия Вилкоксона в зависимости от уровня значимости.
N p<0,05 p<0,01
5 0
6 2
7 3 0
8 5 1
9 8 3
10 10 5
11 13 7
12 17 9
13 21 12
14 25 15
15 30 19
16 35 23
17 41 27
18 47 32
19 53 37
20 60 43
21 67 49
22 75 55
23 83 62
24 91 69
25 100 76
26 110 84
27 119 92
28 130 101
29 140 110
30 151 120
31 163 130
32 175 140
33 187 151
34 200 162
35 213 173
36 227 185
37 241 198
38 256 211
39 271 224
40 286 238
41 302 252
42 319 266
43 336 281
44 353 296
45 371 312
46 389 328
47 407 345
48 426 362
49 446 379
50 466 397
В таблице критических значений T-критерия Вилкоксона находиться Т-критическое. Если Е-критическое выше Т-эмпирического, то сдвиги в типичную сторону достоверное не преобладают.