Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Ранг матрицы Метод Крамера Умножение матриц
Определитель матрицы Метод обратной матрицы Обратная матрица
Метод Гаусса онлайн LU разложение матрицы Производная онлайн

Базисные решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса

Назначение сервиса. С помощью данного онлайн-калькулятора находятся базисные решения системы линейных уравнений, определяется опорное решение. Полученное решение сохраняется в файле Word.
Инструкция. Для получения решения необходимо выбрать
количество переменных: и количество строк

При решении используется метод прямоугольника, в результате применения которого получается диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Система линейных уравнений:
2x1 + x2 - x3 + 3x4 - 2x5 = 2
x1 - x2 + x4 = 0
x1 - x3 + x4 - 2x5 = -1
Запишем ее через матрицу.

21-13-2
1-1010
10-11-2
Векторы столбцы базисного решения представляют собой единичные векторы и образуют базис, а соответствующие им переменные называются базисными. Чтобы получить единичные векторы и используют метод Жордана-Гаусса (см. также правило прямоугольника). Опорным решением называется базисное неотрицательное решение.

Решение системы линейных уравнений называется базисным, если свободные переменные (m>n) обращаются в ноль.

Пример №1. Найти три базисных решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса, указать среди них опорные.
Решение. Запишем систему в виде:

2 1 -1 3 -2 2
1 -1 0 1 0 0
1 0 -1 1 -2 -1
Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (2).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
РЭ - разрешающий элемент (2), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
x1 x2 x3 x4 x5 B
2 / 2 = 1 1 / 2 = 0.5 -1 / 2 = -0.5 3 / 2 = 1.5 -2 / 2 = -1 2 / 2 = 1
или
1 0.5 -0.5 1.5 -1 1
0 -1.5 0.5 -0.5 1 -1
0 -0.5 -0.5 -0.5 -1 -2
Разрешающий элемент равен (-1.5).
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
x1 x2 x3 x4 x5 B
0 / -1.5 = 0 -1.5 / -1.5 = 1 0.5 / -1.5 = -0.33 -0.5 / -1.5 = 0.33 1 / -1.5 = -0.67 -1 / -1.5 = 0.67
или
1 0 -0.33 1.33 -0.67 0.67
0 1 -0.33 0.33 -0.67 0.67
0 0 -0.67 -0.33 -1.33 -1.67

Разрешающий элемент равен (-0.67). После пересчета получим общее решение системы:
x1 = 1.5 - 1.5x4
x2 = 1.5 - 0.5x4
x3 = 2.5 - 0.5x4 + 2x5
Необходимо переменные x4,x5 принять в качестве свободных переменных и через них выразить базисные.
Приравняем переменные x4 и x5 к 0. Получим базисное решение системы.
x1 = 1.5, x2 = 1.5, x3 = 2.5
Поскольку среди базисного решения нет отрицательных значений, то полученное решение является опорным.
Для получения частного решения, необходимо задать любые значения x4 и x5. Пусть x4=1 и x5=1.
x1 = 0, x2 = 1, x3 = 4

Пример №2. Используя метод Жордана-Гаусса, привести систему к единичному базису. Найти одно из: а) базисных решений, б) опорных решений системы.
Запишем систему в виде:

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (1).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце  записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1 x2 x3 B
1 / 1 = 1 1 / 1 = 1 -1 / 1 = -1 -2 / 1 = -2
или

Разрешающий элемент равен (-7).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце  записываем нули.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
x1 x2 x3 B
0 / -7 = 0 -7 / -7 = 1 5 / -7 = -0.71 9 / -7 = -1.29
или

Разрешающий элемент равен (0.29).
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
x1 x2 x3 B
0 / 0.29 = 0 0 / 0.29 = 0 0.29 / 0.29 = 1 3.71 / 0.29 = 13
или

x1 = 3, x2 = 8, x3 = 13