Базисные решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса

Назначение сервиса. С помощью данного онлайн-калькулятора находятся базисные решения системы линейных уравнений, определяется опорное решение. Полученное решение сохраняется в файле Word.

Инструкция. Для получения решения необходимо выбрать

Скачать пример оформления

При решении используется метод прямоугольника, в результате применения которого получается диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Система линейных уравнений:
2x₁ + x₂ - x₃ + 3x₄ - 2x₅ = 2
x₁ - x₂ + x₄ = 0
x₁ - x₃ + x₄ - 2x₅ = -1
Запишем ее через матрицу.

2	1	-1	3	-2
1	-1	0	1	0
1	0	-1	1	-2

Векторы столбцы базисного решения представляют собой единичные векторы и образуют базис, а соответствующие им переменные называются базисными. Чтобы получить единичные векторы и используют метод Жордана-Гаусса (см. также правило прямоугольника). Опорным решением называется базисное неотрицательное решение.

Решение системы линейных уравнений называется базисным, если свободные переменные (m>n) обращаются в ноль.

Пример №1. Найти три базисных решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса, указать среди них опорные.
Решение. Запишем систему в виде:

2	1	-1	3	-2	2
1	-1	0	1	0	0
1	0	-1	1	-2	-1

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (2).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
РЭ - разрешающий элемент (2), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	B
2 / 2 = 1	1 / 2 = 0.5	-1 / 2 = -0.5	3 / 2 = 1.5	-2 / 2 = -1	2 / 2 = 1

или

1	0.5	-0.5	1.5	-1	1
0	-1.5	0.5	-0.5	1	-1
0	-0.5	-0.5	-0.5	-1	-2

Разрешающий элемент равен (-1.5).
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	B

0 / -1.5 = 0	-1.5 / -1.5 = 1	0.5 / -1.5 = -0.33	-0.5 / -1.5 = 0.33	1 / -1.5 = -0.67	-1 / -1.5 = 0.67

или

1	0	-0.33	1.33	-0.67	0.67
0	1	-0.33	0.33	-0.67	0.67
0	0	-0.67	-0.33	-1.33	-1.67

Разрешающий элемент равен (-0.67). После пересчета получим общее решение системы:
x₁ = 1.5 - 1.5x₄
x₂ = 1.5 - 0.5x₄
x₃ = 2.5 - 0.5x₄ + 2x₅
Необходимо переменные x₄,x₅ принять в качестве свободных переменных и через них выразить базисные.
Приравняем переменные x₄ и x₅ к 0. Получим базисное решение системы.
x₁ = 1.5, x₂ = 1.5, x₃ = 2.5
Поскольку среди базисного решения нет отрицательных значений, то полученное решение является опорным.
Для получения частного решения, необходимо задать любые значения x₄ и x₅. Пусть x₄=1 и x₅=1.
x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 4

Пример №2. Используя метод Жордана-Гаусса, привести систему к единичному базису. Найти одно из: а) базисных решений, б) опорных решений системы.
Запишем систему в виде:

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (1).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x₁	x₂	x₃	B
1 / 1 = 1	1 / 1 = 1	-1 / 1 = -1	-2 / 1 = -2

или

Разрешающий элемент равен (-7).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы: