Метод секущих
Если итерации xn и xn+1 расположены достаточно близко друг к другу, то производную f’(xn) в алгоритме Ньютона можно заменить ее приближенным значением
Таким образом, из формулы метода Ньютона получим формулу секущих

Геометрический смысл такого изменения алгоритма Ньютона состоит в том, что от аппроксимации f(x) касательной мы переходим к секущей (см. рис.).

Рисунок - Геометрический смысл метода секущих
Здесь задаются в начале итерационного процесса две точки x0 и x1.
Останов: |xn+1-xn|<ε , где ε - заданная точность.
Достоинства и недостатки метода секущих
Метод секущих уступает методу Ньютона в скорости сходимости, однако не требует вычисления производной функции f(x).Алгоритм метода секущих
При нахождении нулей функции f, для которой вычисление f'(x) затруднено, часто лучшим выбором, чем метод Ньютона, является метод секущих. В этом алгоритме начинают с двумя исходными числами x1 и х2. На каждом шаге xk+1 получают из xk и xk-1 как единственный нуль линейной функции, принимающей значения f(xk) в xk и f(xk-1) в xk-1. Эта линейная функция представляет секущую к кривой у = f(х), проходящую через ее точки с абсциссами xk и xk-1 - отсюда название метод секущих.Реализация метода секущих на языке программирования Pascal.
procedure secant(var x0, x: real; e: real); var d, y, r: real; begin r := x – x0; d := f(x0); repeat y := f(x); r := r/(d – y)*y; d := y; x := x + r; until abs(r) < e; end;
Перейти к решению своей задачи
Пример решения
Найти нули функции, используя метод секущих.x3-2x-5=0, x Î [1.9, 2.94].

Найдем корни уравнения:
x3-2•x-5 = 0
Находим вторую производную:
d2F/dx2 = 6•x
Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [1.9;2.94] разобьем на 10 подынтервалов.
h1 = 1.9 + 1*(2.94-1.9)/10 = 2.004
h2 = 1.9 + (1+1)*(2.94-1.9)/10 = 2.108
Поскольку F(2.004)*F(2.108)<0, то корень лежит в пределах [2.004;2.108].
Вычисляем значения функций в точке a = 2.004.
f(2.004) = -0.96
f ''(2.004) = 12.024
Поскольку f(a)•f ''(a) < 0, то x0 = b = 2.108
Остальные расчеты сведем в таблицу.
N | x | F(x) | h' = (x-xn-1) / (f(x) - f(xn-1)) | h = f(x)*h' |
1 | 2.108 | 0.1512 | 0.09775 | 0.01478 |
2 | 2.0932 | -0.0149 | 0.08504 | -0.00127 |
3 | 2.0945 | -0.000769 | 0.07837 | -6.0E-5 |
Ответ: x = 2.09454285; F(x) = -9.6E-5