Деление отрезка в заданном отношении в пространстве
Найти точку M1, симметричную точке M относительно плоскости P.M(0;2;1), P: 2x + 4y -3 = 0
Решение. Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Найдем точку пересечения прямой
и плоскости 2x + 4y -3 = 0.
Для этого представим прямую в параметрическом виде:
x/2 = t или x = 2t
(y-2)/4 = t или y = 4t + 2
(z-1)/0 = t или z = 1
Подставив найденные значения x,y,z в уравнение плоскости, получаем:
2·2t + 4(4t + 2) -3 = 0
4t +16t + 8 -3 = 20t + 5 = 0
t = -1/4
Подставим значение t = -1/4 в параметрическое уравнение прямой. Тогда получим:
x = -½, y = 1, z = 1
Точка N(-1/2; 1;1) является серединой отрезка MM1. Следовательно,
;
;
;
;
Откуда xM1 = -1; yM1 = 0; zM1 = 1
Ответ: M1(-1;0;1)