Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Дискриминант Интегралы онлайн Пределы онлайн
Производная онлайн Ряд Тейлора Решение уравнений
Метод матриц Обратная матрица Умножение матриц

Уравнение высоты треугольника и ее длина

Пример. Даны вершины треугольника АВС.
Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) Внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
Длина сторон треугольника:
|AB| = 15
|AC| = 11.18
|BC| = 14.14
Расстояние d от точки M: d = 10
Даны координаты вершин треугольника: A(-5,2), B(7,-7), C(5,7).
2) Длина сторон треугольника
Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле:




8) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB
Каноническое уравнение прямой: или
или y = -3/4x -7/4 или 4y + 3x +7 = 0
Уравнение прямой AC
Каноническое уравнение прямой: или
или y = 1/2x + 9/2 или 2y -x - 9 = 0
Уравнение прямой BC
Каноническое уравнение прямой: или
или y = -7x + 42 или y + 7x - 42 = 0
3) Угол между прямыми
Уравнение прямой AB:y = -3/4x -7/4
Уравнение прямой AC:y = 1/2x + 9/2
Угол φ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y = k1x + b1 и y2 = k2x + b2, вычисляется по формуле:

Угловые коэффициенты данных прямых равны -3/4 и 1/2. Воспользуемся формулой, причем ее правую часть берем по модулю:

tg φ = 2
φ = arctg(2) = 63.440 или 1.107 рад.
9) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:


y = 4/3x + 1/3 или 3y -4x - 1 = 0
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AB.
Уравнение AB: y = -3/4x -7/4, т.е. k1 = -3/4
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим :
-3/4k = -1, откуда k = 4/3
Так как перпендикуляр проходит через точку C(5,7) и имеет k = 4/3,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = 5, k = 4/3, y0 = 7 получим:
y-7 = 4/3(x-5)
или
y = 4/3x + 1/3 или 3y -4x - 1 = 0
Найдем точку пересечения с прямой AB:
Имеем систему из двух уравнений:
4y + 3x +7 = 0
3y -4x - 1 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем: x = -1; y = -1
D(-1;-1)
9) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины C
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой C(5;7) и прямой AB (4y + 3x +7 = 0)


Длину высоты можно вычислить и по другой формуле, как расстояние между точкой C(5;7) и точкой D(-1;-1).
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:

5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр;
Уравнение окружности радиуса R с центром в точке E(a;b) имеет вид:
(x-a)2 + (y-b)2 = R2
Так как CD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:


Следовательно, Е(2;3) и R = CD / 2 = 5. Использую формулу, получаем уравнение искомой окружности: (x-2)2 + (y-3)2 = 25

6) система линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
Уравнение прямой AB: y = -3/4x -7/4
Уравнение прямой AC : y = 1/2x + 9/2
Уравнение прямой BC : y = -7x + 42

Система линейных неравенств:
y ≥ -3/4x -7/4 или y + 3/4x ≥ -7/4 или 3x + 4y ≥ -7
y ≤ 1/2x + 9/2 или y - 1/2x ≤ 9/2 или - x + 2y ≤ 9
y ≤ -7x + 42 или y + 7x ≤ 42 или 7x + y ≤ 42