Уравнение касательной к кривой. Подробный пример
Задание №1. Написать уравнения касательной и нормали к кривой x3 в точке M0 с абсциссой x0 = 2.Решение находим с помощью калькулятора.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
yk = y0 + y'(x0)(x - x0)
По условию задачи x0 = 2, тогда y0 = 23 = 8
Теперь найдем производную:
y' = (x3)' = 3•x2
следовательно:
f'(2) = 3•22 = 12
В результате имеем:
yk = y0 + y'(x0)(x - x0)
yk = 8 + 12(x - 2)
или
yk = 12•x-16
Запишем уравнения нормали в общем виде:
В результате имеем:
или
yk = -1/12•x+49/6
Задание №2. Написать уравнения касательной и нормали к кривой 1/3•x3-4•x+1 в точке M0 с абсциссой x0 = 3.
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
yk = y0 + y'(x0)(x - x0)
По условию задачи x0 = 3, тогда y0 = -2
Теперь найдем производную:
y' = (1/3•x3-4•x+1)' = x2-4
следовательно:
f'(3) = 32-4 = 5
В результате имеем:
yk = y0 + y'(x0)(x - x0)
yk = -2 + 5(x - 3)
или
yk = 5•x-17
Запишем уравнения нормали в общем виде:
В результате имеем:
или
yk = -1/5•x-7/5
Пример №3. Составьте уравнение касательной к кривой y=4-x2 в точке с абсциссой x=1.
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: yk = y0 + y'(x0)(x - x0)
По условию задачи x0 = 1, тогда y0 = 3. Теперь найдем производную: y' = (4-x2)' = -2x. следовательно: f'(1) = -2•1 = -2. В результате получаем уравнение касательной: yk = 3 -2(x - 1) или yk = 5-2x