Интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница

Рассмотрим функцию

. Эту функцию называют: интеграл как функция верхнего предела. Отметим несколько свойств этой функции.
Теорема 2.1. Если f(x) интегрируемая на [a,b] функция, то Ф(x) непрерывна на [a,b].
Доказательство. По свойству 9 определенного интеграла (теорема о среднем) имеем

, откуда, при

, получаем требуемое.
Теорема 2.2. Если f(x) непрерывная на [a,b] функция, то Ф’(x) = f(x) на [a,b].
Доказательство. По свойству 10 определенного интеграла (вторая теорема о среднем), имеем

где с – некоторая точка отрезка [x,x+h]. В силу непрерывности функции f получаем

Таким образом, Ф(x) - одна из первообразных функции f(x) следовательно, Ф(x) = F(x) + C, где F(x) - другая первообразная f(x). Далее, так как Ф(a) = 0, то 0 = F(a) + C, следовательно, C = -F(a) и поэтому Ф(x) = F(x) – F(a). Полагая x=b, получаем формулу Ньютона-Лейбница

Примеры
1.

Интегрирование по частям в определённом интеграле

В определенном интеграле сохраняется формула интегрирования по частям. В этом случае она приобретает вид

Пример.

Замена переменных в определённом интеграле

Один из вариантов результатов о замене переменных в определённом интеграле следующий.
Теорема 2.3. Пусть f(x)- непрерывна на отрезке [a,b] и

удовлетворяет условиям:
1) φ(α) = a
2) φ(β) = b
3) производная φ’(t) определена всюду на отрезке [α, β]
4)

для всех t из [α, β]
Тогда

Доказательство. Если F(x) первообразная для f(x)dx то F(φ(t)) первообразная для

Поэтому F(b) – F(a) = F(φ(β)) – F(φ(α)). Теорема доказана.
Замечание. При отказе от непрерывности функции f(x) в условиях теоремы 2.3 приходится требовать монотонности функции φ(t).

Пример. Вычислить интеграл Положим Тогда dx = 2tdt и поэтому