Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса
Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера
Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Оптимальное распределение заказа между фирмами

Предприниматель должен принять решение о приобретении d единиц продукции, которую выпускают две фирмы. Известно, что если он закажет первой фирме х изделий, то ему придется заплатить ей
f1(x) = a0 + a1x + a2x2 (руб.),
а при выполнении этого заказа второй фирмой его затраты составят
f2(x) = b0 + b1x + b2x2 (руб.).
Нужно найти оптимальное распределение заказа между фирмами, при котором общие затраты будут минимальными, а также определить максимальный уровень затрат, соответствующий самому неудачному решению предпринимателя.
Исходные значения параметров представлены в таблице:
d a0 a1 a2 b0 b1 b2
100 25 2 0.2 15 6 0.3
Требуется:
1) составить математическую модель оптимального распределения заказа между фирмами;
2) найти графическим методом распределения заказа с минимальными и максимальными затратами;
3) определить оптимальное распределение заказа методом множителей Лагранжа; дать экономическую интерпретацию множителю Лагранжа.

Решение.
1. Построение математической модели
В данной задаче следует определить
х1 — число изделий, заказанное первой фирме;
х2 — число изделий, заказанное второй фирме.
Эти величины являются переменными модели. Ясно, что они должны принимать неотрицательные значения, т.е. х1 ≥ 0 и х2 ≥ 0; причем их сумма должна равняться общему числу заказанных изделий, т.е. х1 + х2 = 100.
Цель предпринимателя — минимизировать суммарные затраты на выполнение заказа. Так как стоимость х1 изделий, заказанных первой фирме составляет
f1(x1) = 25 + 2 x1+ 0.2x12,
а стоимость х2 изделий, заказанных второй фирме, составляет
f2(x2) = 15 + 6 x2+ 0.3x22,
то суммарные затраты Z на выполнение всего заказа равны
Z = f(x1, x2) = f1(x1) + f2(x2) = 25 + 2 x1+ 0.2x12 + 15 + 6 x2+ 0.3x22 (руб.).
Таким образом, целевая функция (ЦФ) имеет вид:
f(x1, x2) = 40 + 2 x1+ 0.2x12 + 6 x2+ 0.3x22.
Математическая модель задачи может быть записана в таком виде: найти неизвестные значения переменных х1 и х2, доставляющие минимальное значение ЦФ
Z = 40 + 2 x1 + 0.2x12 + 6 x2 + 0.3x22 → min (1)
и удовлетворяющие ограничениям
х1 + х2 = 100, (2)
х1 ≥ 0, х2 ≥ 0. (3)
2. Нахождение графическим методом распределений заказа с минимально и максимально возможными уровнями затрат.
а) Построение ОДР
ОДР состоит из точек плоскости с неотрицательными координатами, которые лежат на прямой, задаваемой уравнением (2). Следовательно, ОДР представляет собой отрезок прямой АВ (см. рис. 1).
б) Построение и анализ линий уровня ЦФ
Приведем ЦФ к более удобному для анализа виду, выделив полные квадраты по каждой ее переменной:
f(х1, х2) = 40 + 2 x1 + 0.2x12 + 6 x2 + 0.3x22 =
0.2(x12 + 10x1 + 25) + 0.3(x22 + 20 x2 + 100) + 5 =
0.2(х1 + 5)2 + 0.3(x2 + 10)2 + 5.
Пусть С — некоторое фиксированное число. Тогда линия уровня функции
f(х1, х2) = С
состоит из всех точек х = (х1, х2) плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
0.2(х1 + 5)2 + 0.3(x2 + 10)2 + 5 = С
или 0.2(х1 + 5)2 + 0.3(x2 + 10)2 = С – 5. (4)
Так как левая часть этого уравнения неотрицательна при любых значениях х1 и х2, то ясно, что должно выполняться неравенство С ≥ 5, поскольку при С < 5 это уравнение не имеет решений.
Если С = 5, то линия уровня целевой функции содержит единственную точку О = (-5, -10), так как левая часть уравнения (4) равна нулю лишь при х1 = -5 и х2 = ‑10.
При С > 5 линии уровня являются эллипсами с общим центром в точке О, размеры которых увеличиваются с ростом параметра С (см. рис. 1).

Рис. 1. Графическое решение задачи 1
в) Нахождение точки минимума ЦФ
С ростом параметра С линии уровня ЦФ становятся все ближе к ОДР задачи — отрезку АВ. Сначала они не имеют с ним общих точек, но при определенном значении С = Сmin линия уровня коснется этого отрезка в некоторой точке х* = (x1*, x2*). Эта точка соответствует наименьшему значению С, при котором линия уровня имеет общие точки с АВ. Значит, точка х* является решением задачи, так как в ней ЦФ достигает минимума на этом отрезке.
Для определения ее координат воспользуемся следующим фактом. Если прямая
х1 + х2 = 100,
касается в некоторой точке линии уровня ЦФ, задаваемой уравнением
f(х1, х2) = С,
то градиент Ñf = , вычисленный в точке касания, перпендикулярен этой прямой. Это означает, что координаты ее вектора нормали прямой, т.е. вектора а = (1, 1), пропорциональны координатам вектора Ñf. Таким образом, выполняется соотношение
или .
Поскольку = 0.4х1 + 2, а = 0.6х2 + 6, то из равенства частных производных получаем, что координаты точки касания удовлетворяют уравнению
0.4·x1+2=0.6·x2+6.
Значит, точку минимума ЦФ можно найти, решив систему уравнений

или (5)
Ее решение: x1*= 64, x2* = 36. Вычислим значение ЦФ в этой точке:
Z* = f(x1*, x2*) = 0.2(64 + 5)2 + 0.3(36 + 10)2 + 5 = 1592 (руб.).
Итак, получено решение задачи (1) – (3): предприниматель должен заказать первой фирме 62 изделия, а второй фирме — 36 изделий. В этом случае его затраты будут минимальными и составят 1592 руб.
г) Нахождение точки максимума ЦФ
При дальнейшем увеличении параметра С линии уровня будут пересекать ОДР в точках, которым соответствуют все возрастающие значения ЦФ. Поэтому последняя точка пересечения является точкой максимума ЦФ на отрезке АВ. Из рис. 1 видно, что в нашей задаче ЦФ достигает максимума в точке А = (0, 100). В этой точке значение ЦФ равно
Zmax = f(0, 100) = 0.2(0 + 5)2 + 0.3(100 + 10)2 + 5 = 3635 (руб.).
Таким образом, самым неудачным решением предпринимателя будет выбор второй фирмы в качестве единственного исполнителя заказа. В этом случае его затраты будут максимальными и составят 3635 руб.
Замечание. Графический анализ показывает, что ЦФ достигает своего максимума в одной из крайних точек отрезка АВ. Поэтому для определения точки максимума проще всего сравнить значения ЦФ в точках А и В. Та точка, в которой это значение больше, будет искомой. Если же значения ЦФ в этих точках равны, то это означает, что обе они являются точками максимума.
3. Нахождение оптимального решения методом множителей Лагранжа
Сначала убедимся в том, что задача (1) – (3) является задачей ВП. Проверим, что ЦФ — выпуклая функция. Для этого вычислим ее гессиан.
Найдем первые частные производные ЦФ:
и ,
а затем ее вторые частные производные:
;
;
.
Следовательно, гессиан Н функции f имеет следующий вид:
.
Главные миноры первого порядка равны 0.4 и 0.6, а главный минор второго порядка равен
= 0.4·0.6 – 0·0 = 0.24.
Значения всех главных миноров не зависят от точки х = (x1, x2) и положительны. Поэтому ЦФ — строго выпуклая функция (см. теорему 1). Так как ограничения модели линейны, то это означает, что задача (1) – (3) является задачей ВП и имеет единственное оптимальное решение.
Чтобы применить метод множителей Лагранжа для решения задачи, следует отбросить условие неотрицательности переменных (3). Тогда исходная задача может быть переформулирована следующим образом: найти неизвестные значения переменных х1 и х2, доставляющие минимальное значение функции
Z = 40 + 2 x1+ 0.2x12> + 6 x2+ 0.3x22> → min (6)
и удовлетворяющие условию
х1 + х2 = 100. (7)
Ясно, что эта задача также является задачей ВП. Отказ от условия (3) приводит к расширению ОДР, так что оптимальное решение задачи (6) – (7) может оказаться недопустимым в исходной задаче (1) – (3). Однако очевидно, что если оптимальное решение задачи (6) – (7) удовлетворяет условию неотрицательности, то это решение будет оптимально и в исходной задаче.
Построим функцию Лагранжа задачи (6) – (7) по формуле (8). Она имеет вид
L(x1, x2, λ) = 40 + 2 x1+ 0.2x12> + 6 x2+ 0.3x22> + λ (100 – х1х2). (8)
Найдем частные производные функции L по x1, x2 и λ, а затем приравняем их к нулю. Получим следующую систему уравнений:
(9)
Исключим переменную λ, вычтя из первого уравнения второе. Тогда получим систему уравнений:
(10)
Она фактически совпадает с системой (5) и, значит, имеет такое же решение: x1*=64 и x2*=36. Поскольку задача (6) – (7) является задачей ВП, то из теоремы 6 следует, что вектор х*= (x1*, x2*) = (64, 36) является ее оптимальным решением. Так как найденное решение удовлетворяет условию неотрицательности, то оно будет оптимальным в исходной задаче (1) – (3).
Итак, методом множителей Лагранжа получено оптимальное решение, совпадающее с решением, полученным ранее графическим методом: предприниматель должен распределить заказ между фирмами следующим образом: заказать первой фирме 62 изделия, а второй фирме — 36 изделий. В этом случае его затраты будут минимальными и составят 1592 руб.
Из первого уравнения в системе (9) легко найти оптимальное значение множителя Лагранжа: λ* = 0.4×64 + 2 = 27.6 (руб./ед.).
Множитель Лагранжа λ* имеет такую экономическую интерпретацию: его величина приближенно показывает насколько возрастут минимальные общие затраты Z*(d), если величина заказа d увеличится на единицу, т.е.
λ* ≈ ΔZ*(d) = Z*(d + 1) – Z*(d).
Таким образом, при увеличении заказа от 100 ед. до 101 ед. затраты возрастут примерно на 27.6 руб.
Замечание 1. Точное значение прироста затрат несколько выше: оно равно 27.72 руб. Его можно получить, решив задачу 1 для d = 101. Для этого достаточно найти решение системы, аналогичной (10), в которой второе уравнение имеет следующий вид: 101 – х1х2 = 0.
Замечание 2. Решение задачи 1 можно свести к отысканию минимума функции одной переменной на заданном отрезке. Для этого достаточно выразить одну из переменных через другую, используя уравнение (2), а затем подставить полученное выражение в формулу (1), определяющую ЦФ. Однако этот упрощающий прием возможен лишь потому, что ограничение в задаче имеет очень простой вид, и не применим в общем случае. Универсальным способом решения оптимизационных задач с ограничениями типа равенства является метод множителей Лагранжа.