Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Найти производную Найти интеграл Формула Байеса
Система СВ X,Y Уравнение регрессии Проверка гипотезы
Корреляционная таблица Формула Бернулли Математическое ожидание

Задачи по теории вероятностей

см. также все возможные варианты задач про шары.

Пример 1.
Наугад взяты два положительных числа, каждое из которых не превышает двух.
Решение:
a) Произведение не больше 1
A1 – взяли «1», A2 – затем снова взяли «1».
{1, 2}
;
P(A)=P(A1);
b) Отношение первого ко второму не больше двух

Пример 2.
Цифры 0 до 6. Сколько шестизначных черных чисел можно составить
Решение:
Формат: XXX XXX
Четные: 0, 2, 4, 6

Пример 3 (тема "Полная вероятность").
По самолету производят 4 независимых выстрела. Вероятность попадания 0,1. Чтобы вывести самолет из строя достаточно 3 попаданий.
P1=0,6 – выход самолета при одном попадании
P2=0,8 – выход самолета при двух попаданиях
P3=1 – выход самолета при трех попаданиях
Найти вероятность поражения самолета
Решение:
P(A1) – попали по самолету один раз (из 4-х)
P(A2) - попали по самолету два раза (из 4-х)
P(A3) - попали по самолету три раза (из 4-х)
P(A4) попали по самолету четыре раза (из 4-х)
P(A1)=C14·p1·q4-1; P(A2)=C24·p2·q4-2; P(A3)=C34·p3·q4-3; P(A4)=C44·p4·q4-4
Вероятность поражения
P=P(A1)·P1+P(A2)·P2+P(A3)·P3+P(A4)·P4 =

Пример 4.
I: 30%, высший сорт: 60%
II: 32%, высший сорт: 25%
III:38%, высший сорт: 50%
Найти вероятность того, что из 300 изделий, взятых наугад, число изделий высшего сорта заключено между 130 и 170.
Решение:
A – высший сорт, Bi – с i-ого завода, Ci – высший сорт
P(A)=ΣP(Bi) P(Ci)
P(A)=P(B1) P(C1)+ P(B2) P(C2)+P(B3) P(C3)=0,3·0,6+0,32·0,25+0,38·0,5=0,45, p=0,45, q=0,55
Наивероятнейшее число:
n·p-q<k< n·p+p, 300·0,45-0,55<k<300·0,45+0,55
135,5<k<135,45, k=135
170-135=35, 170-130=40

I автомат – 20%, 0,2% - брака
II автомат – 30%, 0,3% - брака
III автомат – 50%, 0,1% - брака

Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь – бракованная.
- вероятность того, что деталь с I автомата
- с II станка,
- с III станка
- вероятность брака с I автомата
- вероятность брака с II автомата
- вероятность брака с III автомата
P=PI·PIб+PII·PIIб+PIII·PIIIб = 0,2·0,002+0,3·0,003+0,5·0,001=0,0018

Пример 10.
Задание: Охотник выстрелил 3 раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что охотник попал в цель хотя бы 1 раз.
Решение:
Произведено 3 выстрела
P1=0,8; P2=0,7; P3=0,6
P(A) – вероятность того, что охотник попал в цель хотя бы 1 раз
P(Ā) – охотник не попал ни разу
P(Ā)=P(B1)·P(B2)·P(B3)=0,2·0,3·0,4=0,024
P(A)=1- P(Ā)=1-0,024=0,976

Пример 11.
Задание: Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из 2-х орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если для второго орудия эта вероятность 0,8.
Решение:
P(A)=0,38 – вероятность попадания в цель при одном залпе из 2-х орудий
P(B2)=0,8 – вероятность поражения цели вторым орудием
P(A1) – поразили цель из 1-ого орудия
P(A)=P(A1)·P(B2)·P(B1) P(A2)
B2 – не попали из 2-го оружия
A1 – из второго орудия поразили цель
P(A2)=1- P(B2)
0,38=P(A1)·0,2+[1-P(A1)]·0,8
0,38=0,2·P(A1)+ 0,8-0,8P(A1)
-0,42=-0,6P(A1); P(A1)=0,7
Вероятность того, что первым попал снаряд из 1-го орудия P=0,7

Пример 12.
В магазин вошли n покупателей. Найти вероятность того, что m из них совершит покупку (P=0,1 – вероятность того, что кто-то купит)
n=11, m=7, p=0,1, q=0,9
Pn(m)=Cmn·pm·qn-m

Пример 13.
Брак 5%. Составить закон распределения числа брак. изделий из трех взятых наугад.
, , n=3
Pn(m)=Cmn·pm·qn-m
- нет бракованных
- одно брак.
- два бракованных
- три бракованных

X0123
P0,85740,13540,00710,000125

Пример 14.
Партия 100 деталей, из которых 10 бракованные. Выбраны случайным образом 5 для проверки качества. Выстроить закон распределения числа бракованных изделий, содержащихся в выборке.
Решение:
N=100, n=10 – брак, - вероятность брака
- деталь не бракованная
Всего возможны 6 вариантов:
1) нет бракованных
2) 1 бракованная
3) 2 бракованных
4) 3 бракованных
5) 4 бракованных
6) Все 5 бракованные
- нет бракованных
- 1 бракованная
- 2 бракованных
- 3 бракованных
- 4 бракованных
- 5 бракованных

X012345
P0,590,330,0730,00810,000450,00001
Итого: ΣPi=1

Пример 15.
Из 100 билетов 2 выигрышные: 210 и 60 руб.
Составить закон распределения суммы выигрыша для лица, имеющего 2 билета
Решение:
P0 – вероятность того, что ничего не выиграли

P1 – вероятность выигрыша одного билета.

P2 – вероятность выигрыша сразу 2-х билетов

X060210270
P0,98010,00990,00990,0001


D(x)=M(x2)-[M(x)]2=ΣPiXi2-[M(x)]2

Пример 16.
F(x)=4·e-4x
Мода: max(f(x))
Max(4·e-4x): нет max, нет моды
Медиана: P(x<me)= P(x>me), P(0<x< me)=½
;
;
;;;

Me=0,173
Вероятность попадания в интервал

Пример 17.
Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появления герба от вероятности 0,5 окажется по абсолютной величине не более 0,01
Решение:
ε=0,01; p=0,6; q=0,4




По таблице φ(0,84)=0,3;
, n=17,64≈18

Пример 18.
P=0,1 – вероятность наугад взятой детали
Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число годных было 50.
Решение:
Q=0,1 – брак, p=0,9 – годная
n·p-q≤k0≤n·p+p
n·0,9-0,1≤50≤n·0,9+0,9
n<55,67
n>54,56
n=55

Пример 19.
Диаметр детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону.
D(x)=0,0004 см.2, M(x)=3,7 см., P=0,9973
В каких границах можно гарантировать диаметр детали.
Решение:
P(|x-mx|<σt)=2φ(t)

По таблице x=3

Интервал: (mx-x·σ;mx+x·σ)
(3,7-3·0,02; 3,7+3·0,02)=(3,64; 3,88)
Ответ: (3,64; 3,88)

Пример 21.
20% деталей удовлетворяют определенным требованиям. Наугад берется 5 деталей. Число рассматриваемых – случайная величина.
Решение:
1) Распределение вероятностей
- удовлетворяют требованиям
- не удовлетворяют требованиям
Pn(K)=Cnk·pk·qn-k
(нет рассматриваемых деталей)
(рассмотрена 1 деталь)
(рассмотрено 2 детали)
(рассмотрено 3 детали)
(рассмотрено 4 детали)
(рассмотрено 5 деталей)

X012345
P0,327680,40960,20480,05120,00640,00032

2) График полигона.

3)Математическое ожидание
M(x)=Σpi·xi
M(x)=0·0,32768+1·0,4096+2·0,2048+3·0,0512+4·0,0064+5·0,00032=1
4) D(x)=M(x2)-[M(x)]2
D(x)= 02·0,32768+12·0,4096+22·0,2048+32·0,0512+42·0,0064+52·0,00032=12=1,8-1=0,8

5) Наивероятнейшее число
n·p-q≤k0<n·p+p
n=5, p=1/5, q=4/5
;
, k0=1