Модифицированный метод Ньютона
Примечание: метод Ньютона–РафсонаМодификация метода Ньютона заключается в замене производной f’(xn) в точке xn в формуле
на производную f’(x0) в точке x0, т.е. полагаем f’(xn)≈f’(x0). В результате получим
(n=0,1,...). (3.23)
Геометрически этот способ означает, что мы заменяем касательные в точках Bn прямыми, параллельными касательной к кривой y=f(x) в точке B0 (см. рис.3).
Рис.3. Модифицированный метод Ньютона
Преимущества метода: здесь не надо вычислять каждый раз производную f’(xn). Сходимость процесса (3.23) обеспечивается следующей теоремой.
Теорема 6. Пусть на [a,b] задана дважды дифференцируемая функция f(x), причем выполнены след. условия
а) f(a)f(b)<0
б) f’(x) и f’’(x)≠0 и сохраняют знаки на [a,b].
Тогда исходя из начального приближения x0∈[a,b] удовлетворяющего неравенству
f(x0)f’’(x0)>0
можно вычислить модифицированным методом Ньютона единственный корень ξ с любой степенью точности.
Доказательство: Пусть f’(x)>0, f’’(x0)>0 (см.рис.3) Тогда в качестве x0 берем точку x0=b, так как f(b)f’’(b)>0. Из (3.23) следует, что xn+1<xn, то есть последовательность {xn} является убывающей
b=x0>x1>…>xn>a (3.24)
Покажем теперь, что эта последовательность имеет предел ξ. Пусть xn-1> ξ. Докажем, что xn> ξ. Для этого запишем n-ое приближение, полученное по формуле Ньютона (см. формулу (3.17)) и по модифицированной формуле Ньютона (3.23)
и найдем разность
. (3.25)
Из теории выпуклых функций известно, что если f″(x) и сохраняет знак на [a,b], то f(x) является выпуклой. Для выпуклой функции f(x) производная f′(x) является неубывающей, то есть для ∀x2>x1, f′(x2)≥f′(x1). Поэтому
f′(xn-1) ≤ f′(x0) (3.26)
С учетом (3.26) из (11) следует 
. Из теоремы 5 сходимости метода Ньютона мы получали 
, поэтому 
. Отсюда
ξ≤xn. (3.27)
Таким образом, из (3.24) и (3.27) получили убывающую сходящуюся последовательность
x0>x1>…>xn≥ξ.
Следовательно, для любого сколь угодно малого ε>0 можно указать такое n, что
|xn-ξ|< ε. Теорема доказана.
Сходимость метода. В отличие от метода Ньютона здесь сходимость уже не будет квадратичной. Действительно, из (3.23) имеем
. (3.28)
Подставляя (3.21) в (3.28), получим
(3.29)
, 
.
Таким образом, сходимость модифицированного метода Ньютона будет линейной с параметром сходимости
.