Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя
Дифференциальное исчисление значительно облегчает задачу раскрытия неопределенностей при вычислении пределов. Простой прием раскрытия неопределенностей вида![0/0 неопределенность 0/0 неопределенность](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image001.gif)
![бесконечность/бесконечность неопределенность бесконечность/бесконечность неопределенность](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image002.gif)
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций при x → x0 равен пределу отношения их производных, если последний существует, то есть
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image003.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image004.gif)
Другой вид неопределенность 0/0
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/l4_image001.gif)
Пример №2. Найти .
Решение. .
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image009.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image010.gif)
Пример №3. Найти .
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image012.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image013.gif)
Замечание 1. Применяя неоднократно правило Лопиталя, нужно каждый раз проверять, не раскрылась ли уже неопределенность, иначе можно получить неверный результат.
Замечание 2. В теореме требование существования является существенным, так как если он не существует, то это не означает, что
тоже не существует. Например,
– не существует, однако
.
Неопределенность 0·∞ возникает, если требуется найти
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image018.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image019.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image020.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image021.gif)
Если нужно найти
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image022.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image023.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image024.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image025.gif)
Пример №4. Найти .
Решение. Здесь имеем неопределенность 0·∞. Перепишем данное выражение в виде .
Теперь можно применить правило Лопиталя:
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image028.gif)
Перейти к онлайн решению своей задачи
Пример №5. Найти .
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image030.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image031.gif)
Пример №6. Найти .
Решение.Данное выражение представляет собой неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем его к другому виду:
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image033.gif)
Пример №7. Найти .
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image035.gif)
Пример №8. Найти .
Решение.Здесь неопределенность вида 00. Обозначим y=xx и прологарифмируем: lny = x·lnx, откуда в силу непрерывности логарифмической функции (пример 4). Итак,
, откуда
, т.е.
.
Пример №9. Найти .
Решение.Имеем неопределенность 1∞, которую можно было бы раскрыть с помощью второго замечательного предела, однако мы иллюстрируем другой прием. Обозначим , тогда
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image043.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image044.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image045.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/lopital_image046.gif)
Пример №10. Найти предел, используя правило Лопиталя–Бернулли: .
Решение.
Функция f(x)=ln(x) дифференцируема на всей области определения, функция φ(x) = x3 дифференцируема для любого x из R, при x→∞; x3→∞. Имеем неопределенность . Применяем правило Лопиталя–Бернулли:
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/math-image071.gif)
Пример №11. Найти предел, используя правило Лопиталя–Бернулли:
.
Решение. Логарифмируем функцию
, получим:
.
Функции ln(x) и ln(ex-1) дифференцируемы на (0;+∞). Применяем правило Лопиталя–Бернулли для неопределенности :
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/math-image075.gif)
Пример №12. Вычислите предел, применяя правило Лопиталя.
Решение. Для нашего примера:
Для нашего примера:
f(x) = π-2arctg(x)
g(x) = 1/x
Находим первую производную
g'(x) = -1/x2
f’(x) = 2x
g’(x) = 2x
Ответ: 2
Пример №13. Используя правило Лопиталя, найдите пределы функции.
Решение. Записываем как:
Для нашего примера:
f(x) = sin(1/x)
g(x) = 1/x
Находим первую производную
f'(x) = -(cos(1/x))/x2
g'(x) = -1/x2
Упростим:
Пример №14. Раскрыть неопределённости по правилам Лопиталя:
Представим в виде:
Тогда можно записать как:
Пример №15. Найти данный предел, используя правило Лопиталя.
Решение.
Для нашего примера:
f(x) = ln(1-2x)
g(x) = x
Находим первую производную
Пример №15.
Для нашего примера:
f(x) = e2x-1
g(x) = sin(x)
Находим первую производную
f'(x) = 2e2x
g'(x) = cos(x)