Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя
Дифференциальное исчисление значительно облегчает задачу раскрытия неопределенностей при вычислении пределов. Простой прием раскрытия неопределенностей вида
и 
дает правило Лопиталя, сущность которого заключается в следующей теореме.
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций при x → x0 равен пределу отношения их производных, если последний существует, то есть
(K может быть конечным и бесконечным).
Другой вид неопределенность 0/0
можно раскрыть другим методом.
Пример №2. Найти 
.
Решение. 
.
или 
.Пример №3. Найти 
.
.
Замечание 1. Применяя неоднократно правило Лопиталя, нужно каждый раз проверять, не раскрылась ли уже неопределенность, иначе можно получить неверный результат.
Замечание 2. В теореме требование существования 
является существенным, так как если он не существует, то это не означает, что 
тоже не существует. Например, 
– не существует, однако 
.
Неопределенность 0·∞ возникает, если требуется найти
при условии 
. В результате преобразования 
(либо 
) получается неопределенность 0/0 (либо ∞/∞).
Если нужно найти
, причем 
и 
, то, представив разность f(x) – g(x) = 
, получим неопределенность 0/0. Неопределенности вида 00, 1∞, ∞0 путем логарифмирования выражения [f(x)]g(x)сводятся к неопределенности 0·∞, рассмотренной выше.
Пример №4. Найти 
.
Решение. Здесь имеем неопределенность 0·∞. Перепишем данное выражение в виде 
.
Теперь можно применить правило Лопиталя:
.Перейти к онлайн решению своей задачи
Пример №5. Найти 
.
.
Пример №6. Найти 
.
Решение.Данное выражение представляет собой неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем его к другому виду:
Пример №7. Найти 
.
.Пример №8. Найти 
.
Решение.Здесь неопределенность вида 00. Обозначим y=xx и прологарифмируем: lny = x·lnx, откуда в силу непрерывности логарифмической функции 
(пример 4). Итак, 
, откуда 
, т.е. 
.
Пример №9. Найти 
.
Решение.Имеем неопределенность 1∞, которую можно было бы раскрыть с помощью второго замечательного предела, однако мы иллюстрируем другой прием. Обозначим 
, тогда
.
, тогда по определению логарифма 
.
Пример №10. Найти предел, используя правило Лопиталя–Бернулли: 
.
Решение.
Функция f(x)=ln(x) дифференцируема на всей области определения, функция φ(x) = x3 дифференцируема для любого x из R, при x→∞; x3→∞. Имеем неопределенность 
. Применяем правило Лопиталя–Бернулли:
.Пример №11. Найти предел, используя правило Лопиталя–Бернулли:
.
Решение. Логарифмируем функцию 
, получим: 
.
Функции ln(x) и ln(ex-1) дифференцируемы на (0;+∞). Применяем правило Лопиталя–Бернулли для неопределенности :
.Пример №12. Вычислите предел, применяя правило Лопиталя.
Решение. Для нашего примера:
Для нашего примера:
f(x) = π-2arctg(x)
g(x) = 1/x
Находим первую производную
g'(x) = -1/x2
f’(x) = 2x
g’(x) = 2x
Ответ: 2
Пример №13. Используя правило Лопиталя, найдите пределы функции.
Решение. Записываем как: 
Для нашего примера:
f(x) = sin(1/x)
g(x) = 1/x
Находим первую производную
f'(x) = -(cos(1/x))/x2
g'(x) = -1/x2
Упростим:
Пример №14. Раскрыть неопределённости по правилам Лопиталя: 
Представим в виде:
Тогда можно записать как:
Пример №15. Найти данный предел, используя правило Лопиталя.
Решение.
Для нашего примера:
f(x) = ln(1-2x)
g(x) = x
Находим первую производную
Пример №15. 
Для нашего примера:
f(x) = e2x-1
g(x) = sin(x)
Находим первую производную
f'(x) = 2e2x
g'(x) = cos(x)
