Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса
Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера
Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Примеры нахождения частных производных

Задача 2. Найти частные производные , и , если переменные x, y, и z связаны равенством 4x2 y ez – cos(x3z) + 2y2 + 3x = 0.
Решение находим с помощью калькулятора.
Для F(x, y, z) = 4x2 y ez – cos(x3z) + 2y2 + 3x получаем:
Fx= (4x2 yez – cos(x3z) + 2y2 + 3x)’x = [считаем y и z постоянными] =
= 8x y ez + sin( x3z)3x2 + 3 = 8x y ez + 3x2 sin( x3z) + 3;
Fy= (4x2 y ez – cos(x3z) + 2y2 + 3x)’y = [считаем x и z постоянными] =
= 4x2 ez + 4y;
Fz = (4x2 y ez – cos(x3z) + 2y2 + 3x)’z = [считаем x и y постоянными] =
= 4x2 y ez – sin (x3z).
По формулам находим частные производные:
;
и по формуле (3) получаем: .
Ответы: ;
.

Задание. Найти частные производные функции z в точке A(-1;0).
z = ln(x2+y2)+y/x
Решение.
Находим частные производные:

Задание №2. Найти частные производные 1-го и 2-го порядка.
z = x3 + 3x2y – sin(xy)
Скачать решение

Задача 1. Дана функция z = f(x,y). Требуется:
1) найти частные производные dz/dx и dz/dy;
2) найти полный дифференциал dz;
3) показать, что для данной функции справедливо равенство: d2z/dxdy = d2z/dydx.

Пример 1. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .
Решение.
Найдем частные производные и .
,
.
Подставим их в уравнение
.
Получим тождество. Следовательно, функция z удовлетворяет данному уравнению.

Пример 2. Дана функция и две точки A(4;2 )и B(4.03;1.96). Требуется: 1) вычислить значение функции в точке В;
2) вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;
3) оценить в процентах относительную погрешность, возникшую при замене приращения функции ее дифференциалом.
Решение.
1. .
2..
Итак, z0=5, z≈z0+df(A); .
Найдем . , ;
, ;
f(4.03;1.96)=≈5+0.8·0.03+1.2·(-0.04)=5.072.
;.

Перейти к онлайн решению своей задачи