Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса
Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера
Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Решение классической задачи условной оптимизации

Рассмотрим задачу с ограничениями типа равенства:
Z = f(x1,…, xn) → min (max); (8)
gi (x1,…, xn) =bi, i=1,m. (9)
Будем считать, что m < n. Определим функцию Лагранжа
L(x, λ) = L(x1,…, xn, λ 1,…, λ m) = f (x1,…, xn) + λi (bi – gi (x1,…, xn)). (10)
Необходимые условия оптимальности решения задачи (8) – (9) дает следующая теорема.

Теорема 5. Пусть x*=(x*1,...,x*n) — точка локального оптимума задачи (8) ‑ (9), причем все функции f, g1,…, gm непрерывно дифференцируемы в окрестности этой точки и выполнено следующее условие регулярности: градиенты ограничений {} линейно независимы.
Тогда существует вектор λ*=(λ1,...,λ*m) такой, что вектор (x*, λ*) является стационарной точкой функции Лагранжа, т.е. выполнены соотношения:
; (11)
(12)
Итак, оптимальное решение задачи (8) ‑ (9) следует искать среди стационарных точек функции Лагранжа. Вектор λ*=(λ*1,...,λ*m) называется вектором множителей Лагранжа. Условие (11) можно записать в векторном виде: , где ▽f(x*) = — градиент целевой функции. Оно означает, что если точка x* является решением задачи (8) – (9) и выполнено условие регулярности, то в точке оптимума градиент целевой функции представим в виде линейной комбинации градиентов ограничений.
Если задача имеет лишь одно ограничение вида g(x) = b, то условие регулярности автоматически выполнено, а условие (11) означает, что в точке оптимума градиент целевой функции коллинеарен градиенту ограничения, т.е. , где λ* — некоторое число. Это значит, что
для всех . (13)
Замечание 1. Если все ограничения задачи линейные, то условие (9) можно записать в матричной форме: Ах = b, где А = (aij) — mxn матрица, а b = (bi) — m‑мерный вектор правых частей ограничений. Тогда условие регулярности означает, что строки матрицы А образуют линейно независимую систему или, что то же самое, матрица А имеет полный ранг, равный m.