Задача оптимизация на основе метода Коши

Найти максимум функции f(x) методом Коши (методом наискорейшего спуска).
f(x) = 4x1 + 2x2 – x12 – x22 + 5 → max
x0=[4;5]

Решение.
Сведем поиск максимального значения на поиск минимального значения функции. Для этого умножим функцию на (-1).
f(x) = -4x1 - 2x2 + x12 + x22 - 5 → min
Дальнейшие вычисления производим на основе калькулятора Метод Коши.


Итерация №1. В качестве направления поиска выберем вектор градиент в текущей точке:
▽f(X) =
-4+2*x1
-2+2*x2

Значение градиента в точке X1:
▽f(X1) =
4
8

Проверим критерий остановки:
|▽f(X1)| < ε
Имеем:
|▽f(X1)| = 8.94427190999916>0.1
Вычислим значение функции в начальной точке f(X1) = 10. Сделаем шаг вдоль направления антиградиента
X2 = X1 - λ 1▽f(X1) =
4
5
- λ 1
4
8
=
4-4*λ 1
5-8*λ 1

Вычислим значение функции в новой точке.
f(X2) = -4*(4-4*λ1)-2*(5-8*λ1)+(4-4*λ1)2+(5-8*λ1)2-5
Найдем такой шаг, чтобы целевая функция достигала минимума вдоль этого направления. Из необходимого условия существования экстремума функции (f'(X)=0):
-80+160*λ1 = 0
Получим шаг: λ1 = 0.5
Выполнение этого шага приведет в точку:
X2 =
4
5
- 0.5
4
8
=
2
1

Итерация №2.
Значение градиента в точке X1:
▽f(X1) =
0
0

Проверим критерий остановки:
|▽f(X2)| < ε
Имеем:
|▽f(X1)| = 0<0.1
Итерация №3.
Значение градиента в точке X1:
▽f(X1) =
0
0

Проверим критерий остановки:
|▽f(X3)| < ε
Имеем:
|▽f(X1)| = 0<0.1

Ответ: x1=2; x2=1. F(X) = 10.